Solution of quadratic equations and Nature of roots Questions in Gujarati

(A) આપેલ સમીકરણ $x^{10}-3x^8+5x^6-5x^4+3x^2-1=0$ છે.
પદોને જૂથબદ્ધ કરીને અવયવ પાડતા,$f(x) = (x^2-1)(x^4-x^2+1)^2$ મળે છે.
$f(x) = 0$ લેતા,$x^2-1=0$ અથવા $(x^4-x^2+1)^2=0$ મળે.
$x^2-1=0$ થી $x = \pm 1$ ($2$ વાસ્તવિક બીજ) મળે છે.
$x^4-x^2+1=0$ માટે,$x^2$ ના મૂલ્યો સંકર સંખ્યાઓ મળે છે,જે કુલ $8$ અવાસ્તવિક બીજ આપે છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+bx+c=0$ માટે $b=17$ છે.
બીજ $-2$ અને $-15$ હોવાથી,બીજનો સરવાળો $-2 + (-15) = -17$ થાય.
સમીકરણ $x^2+bx+c=0$ માં,બીજનો સરવાળો $-b$ થાય છે.
આમ,$-b = -17$,જે $b=17$ સાથે સુસંગત છે.
બીજનો ગુણાકાર $c = (-2) \times (-15) = 30$ થાય.
હવે,$b=13$ અને $c=30$ લેતા,સમીકરણ $x^2+13x+30=0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $x^2+10x+3x+30=0 \implies (x+10)(x+3)=0$.
તેથી બીજ $\alpha = -10$ અને $\beta = -3$ મળે.
માટે,$|\alpha-\beta| = |-10 - (-3)| = |-10+3| = |-7| = 7$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 2cx + ab = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોવાથી,તેનો વિવેચક $D_1 > 0$ થાય.
$D_1 = (-2c)^2 - 4(1)(ab) = 4c^2 - 4ab > 0$,જેનો અર્થ છે કે $c^2 > ab$.
હવે,સમીકરણ $x^2 - 2(a + b)x + a^2 + b^2 + 2c^2 = 0$ ધ્યાનમાં લો.
આ સમીકરણનો વિવેચક $D_2$ નીચે મુજબ છે:
$D_2 = [-2(a + b)]^2 - 4(1)(a^2 + b^2 + 2c^2)$
$D_2 = 4(a^2 + 2ab + b^2) - 4a^2 - 4b^2 - 8c^2$
$D_2 = 4a^2 + 8ab + 4b^2 - 4a^2 - 4b^2 - 8c^2$
$D_2 = 8ab - 8c^2 = 8(ab - c^2)$.
$c^2 > ab$ હોવાથી,$ab - c^2 < 0$ થાય.
તેથી,$D_2 < 0$.
વિવેચક ઋણ હોવાથી,સમીકરણના બીજ કાલ્પનિક છે.

(D) વિધાન $(A)$: ધારો કે $f(x) = -x^2+3x+1$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,$f'(x) = 0$ લઈને નિર્ણાયક બિંદુ શોધો.
$f'(x) = -2x+3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$.
કારણ કે $f''(x) = -2 < 0$,વિધેયને $x = \frac{3}{2}$ આગળ મહત્તમ કિંમત મળે છે.
મહત્તમ કિંમત $f\left(\frac{3}{2}\right) = -\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{3}{2}\right) + 1 = -\frac{9}{4} + \frac{9}{2} + 1 = \frac{13}{4}$ છે.
આપેલ વિધાનમાં મહત્તમ કિંમત $\frac{11}{4}$ આપેલી છે,તેથી વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
કારણ $(R)$: $f(x) = ax^2+bx+c$ માટે જ્યાં $a < 0$,શિરોબિંદુ $x = -\frac{b}{2a}$ પર મળે છે.
$f'(x) = 2ax+b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{2a}$.
કારણ કે $f''(x) = 2a < 0$,આ બિંદુ મહત્તમ છે.
તેથી,કારણ $(R)$ સાચું છે.

(D) ધારો કે $y = \frac{2(x^2+2x-11)}{2x-5}$.
$y(2x-5) = 2x^2+4x-22$.
$2x^2 + x(4-2y) + (5y-22) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$.
$D = (4-2y)^2 - 4(2)(5y-22) \geq 0$.
$16 + 4y^2 - 16y - 40y + 176 \geq 0$.
$4y^2 - 56y + 192 \geq 0$.
$y^2 - 14y + 48 \geq 0$.
$(y-6)(y-8) \geq 0$.
આમ,$y \in (-\infty, 6] \cup [8, \infty)$.
તેથી,પદની કોઈ કિંમત $(6,8)$ અંતરાલમાં નથી.

(B) આપેલ છે $y = \frac{11 x^2+12 x+6}{x^2+4 x+2}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$y(x^2+4x+2) = 11x^2+12x+6$
$(y-11)x^2 + (4y-12)x + (2y-6) = 0$
કારણ કે $x$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે,તેથી વિવેચક $D$ એ $0$ કરતા મોટો અથવા તેના બરાબર હોવો જોઈએ:
$D = (4y-12)^2 - 4(y-11)(2y-6) \geq 0$
$16(y-3)^2 - 8(y-11)(y-3) \geq 0$
$8(y-3) [2(y-3) - (y-11)] \geq 0$
$8(y-3)(2y-6-y+11) \geq 0$
$8(y-3)(y+5) \geq 0$
આ અસમતા ત્યારે સાચી ઠરે છે જ્યારે $y \leq -5$ અથવા $y \geq 3$ હોય.
આપેલ શરત $y < a$ અથવા $y \geq b$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = -5$ અને $b = 3$ મળે છે.

(B) ધારો કે $y = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$.
બંને બાજુ $(x^2+x+1)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $y(x^2+x+1) = x^2-x+1$.
પદોને $x$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા:
$(y-1)x^2 + (y+1)x + (y-1) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$.
$D = (y+1)^2 - 4(y-1)^2 \geq 0$.
$(y+1)^2 - [2(y-1)]^2 \geq 0$.
$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$[(y+1) - 2(y-1)][(y+1) + 2(y-1)] \geq 0$.
$(-y+3)(3y-1) \geq 0$.
$(y-3)(3y-1) \leq 0$.
આ અસમતા $\frac{1}{3} \leq y \leq 3$ માટે સાચી છે.
તેથી,$y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{3}$ છે.

(A) આપેલ બીજ $\alpha = \sin^2 18^{\circ}$ અને $\beta = \cos^2 36^{\circ}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ અને $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$.
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right)^2 = \frac{6-2\sqrt{5}}{16} + \frac{6+2\sqrt{5}}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot \beta = \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right)^2 = \left(\frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}{16}\right)^2 = \left(\frac{5-1}{16}\right)^2 = \left(\frac{4}{16}\right)^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x^2 - \frac{3}{4}x + \frac{1}{16} = 0$.
$16$ વડે ગુણતા,આપણને $16x^2 - 12x + 1 = 0$ મળે છે.

(D) ધારો કે $y = (x-\alpha)(x-\beta)$.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $y = x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta$ મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને $0$ ની બરાબર લઈએ:
$\frac{dy}{dx} = 2x - (\alpha+\beta) = 0$.
આનાથી $x = \frac{\alpha+\beta}{2}$ મળે છે.
બીજું વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2} = 2 > 0$ હોવાથી,વિધેય $x = \frac{\alpha+\beta}{2}$ આગળ ન્યૂનતમ છે.
આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$y_{min} = \left(\frac{\alpha+\beta}{2} - \alpha\right)\left(\frac{\alpha+\beta}{2} - \beta\right)$
$y_{min} = \left(\frac{\beta-\alpha}{2}\right)\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$
$y_{min} = -\frac{1}{4}(\alpha-\beta)(\alpha-\beta) = -\frac{1}{4}(\alpha-\beta)^2$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x-1}{\sqrt{2x^2-5x+2}} = \frac{41}{60}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{x^2-2x+1}{2x^2-5x+2} = \frac{1681}{3600}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$3600(x^2-2x+1) = 1681(2x^2-5x+2)$.
$3600x^2 - 7200x + 3600 = 3362x^2 - 8405x + 3362$.
$238x^2 + 1205x + 238 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(34x + 7)(7x + 34) = 0$.
તેથી,$x = -\frac{7}{34}$ અથવા $x = -\frac{34}{7}$.
કારણ કે $-\frac{1}{2} < \alpha < 0$ અને $-\frac{7}{34} \approx -0.205$ જ્યારે $-\frac{34}{7} \approx -4.857$,તેથી બીજ $\alpha = -\frac{7}{34}$ શરતનું પાલન કરે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $3x^3 + bx^2 + bx + 3 = 0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $3(x^3 + 1) + bx(x + 1) = 0$.
$3(x + 1)(x^2 - x + 1) + bx(x + 1) = 0$.
$(x + 1)(3x^2 - 3x + 3 + bx) = 0$.
$(x + 1)(3x^2 + (b - 3)x + 3) = 0$.
એક બીજ $x = -1$ છે. બાકીના બે બીજ $3x^2 + (b - 3)x + 3 = 0$ ના બીજ છે.
$f(x) = 3x^2 + (b - 3)x + 3$ ધારો.
$A$ માટે: બધા બીજ ઋણ છે. જો $b = 9$,$f(x) = 3x^2 + 6x + 3 = 3(x + 1)^2$. બીજ $-1, -1, -1$ છે. બધા ઋણ છે. તેથી $A \rightarrow IV$.
$B$ માટે: બે બીજ સંકર છે. વિવેચક $D < 0 \Rightarrow (b - 3)^2 - 4(3)(3) < 0 \Rightarrow (b - 3)^2 < 36 \Rightarrow -6 < b - 3 < 6 \Rightarrow -3 < b < 9$. તેથી $B \rightarrow II$.
$C$ માટે: બે બીજ ધન છે. જો $b = -3$,$f(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x - 1)^2$. બીજ $-1, 1, 1$ છે. બે ધન છે. તેથી $C \rightarrow V$.
$D$ માટે: બધા બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે. $D > 0$ અને $f(-1) \neq 0$. $D = (b - 3)^2 - 36 > 0 \Rightarrow b \in (-\infty, -3) \cup (9, \infty)$. તેમજ $f(-1) = 3 - (b - 3) + 3 = 9 - b \neq 0 \Rightarrow b \neq 9$. તેથી $D \rightarrow III$.
આમ,$A-IV, B-II, C-V, D-III$.

(B) વક્ર $f(x) = a x^2 + b x + c$ દ્વારા $X$-અક્ષ પર બનાવેલા અંતઃખંડની લંબાઈ $A = |x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{D}}{|a|}$ છે,જ્યાં $D = b^2 - 4 a c$.
$f_1(x) = 5 x^2 + 2 x + 1$ માટે,$D = 4 - 20 = -16$. $D < 0$ હોવાથી,વક્ર $X$-અક્ષને છેદતું નથી,તેથી $A_1$ વ્યાખ્યાયિત નથી.
$f_2(x) = 5 x^2 + 6 x + 1$ માટે,$D = 36 - 20 = 16$. તેથી,$A_2 = \frac{\sqrt{16}}{5} = 0.8$.
$f_3(x) = x^2 - 7 x + 6$ માટે,$D = 49 - 24 = 25$. તેથી,$A_3 = \frac{\sqrt{25}}{1} = 5$.
$f_4(x) = 64 x^2 + 48 x + 9$ માટે,$D = 2304 - 2304 = 0$. તેથી,$A_4 = 0$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $A_4 = 0, A_2 = 0.8, A_3 = 5$.
તેથી,$A_4 < A_2 < A_3$ સાચું છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $(p-3)x^2 + 2(p-3)x + 2p-5 = 0$ છે. બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોવા માટે વિવેચક $D > 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં $p \neq 3$.
$D = [2(p-3)]^2 - 4(p-3)(2p-5) > 0$
$4(p-3)^2 - 4(p-3)(2p-5) > 0$
$4(p-3)[(p-3) - (2p-5)] > 0$
$4(p-3)(-p+2) > 0$
$(p-3)(p-2) < 0$
તેથી,$2 < p < 3$. આમ,$\alpha = 2$ અને $\beta = 3$.
પદાવલિ $f(x) = -(2+3)x^2 + (2 \times 3)x + (2-3) = -5x^2 + 6x - 1$ થાય.
દ્વિઘાત પદાવલિ $ax^2 + bx + c$ (જ્યાં $a < 0$) નું મહત્તમ મૂલ્ય $\frac{4ac - b^2}{4a}$ છે.
અહીં $a = -5, b = 6, c = -1$.
અંતિમ મૂલ્ય $= \frac{4(-5)(-1) - (6)^2}{4(-5)} = \frac{20 - 36}{-20} = \frac{-16}{-20} = \frac{4}{5}$.

(D) ધારો કે $f(x) = ax^2 + bx + c$.
આપેલ છે કે $f(0) + f(1) = 0$,તેથી $c + (a + b + c) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a + b + 2c = 0$ $(i)$.
આપેલ છે કે $f(-2) = 0$,તેથી $4a - 2b + c = 0$ (ii).
$(i)$ પરથી,$b = -a - 2c$. (ii) માં મૂકતા:
$4a - 2(-a - 2c) + c = 0$ $\Rightarrow 4a + 2a + 4c + c = 0$ $\Rightarrow 6a + 5c = 0$.
ધારો કે $a = 5k$,તો $c = -6k$.
$(i)$ માં મૂકતા: $5k + b + 2(-6k) = 0$ $\Rightarrow 5k + b - 12k = 0$ $\Rightarrow b = 7k$.
આમ,$f(x) = k(5x^2 + 7x - 6) = k(5x^2 + 10x - 3x - 6) = k(5x(x + 2) - 3(x + 2)) = k(5x - 3)(x + 2)$.
બીજ $x = -2$ અને $x = \frac{3}{5}$ છે.
તેથી,$f\left(\frac{3}{5}\right) = 0$.

(A) સમીકરણ $x^3-5x^2+4x=0$ ના બીજ $0, 1, 4$ છે.
આથી $(\alpha-2)^2, (\beta-2)^2, (\gamma-2)^2$ ની કિંમતો $0, 1, 4$ થાય.
વિવિધ સંયોજનો ચકાસતા,$P+Q+R$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $5$ મળે છે.

(C) ધારો કે $P(x) = x^4-4x^3+3x^2+2x-2$.
રેશનલ રૂટ થિયરમ મુજબ,શક્ય પૂર્ણાંક બીજ $\pm 1, \pm 2$ છે.
$x=1$ ચકાસતા: $1-4+3+2-2 = 0$. તેથી,$(x-1)$ એક અવયવ છે.
$x=1$ ને ફરીથી $x^3-3x^2+2$ માં ચકાસતા: $1-3+2 = 0$. તેથી,$(x-1)^2$ એક અવયવ છે.
$x^3-3x^2+2$ ને $(x-1)$ વડે ભાગતા $x^2-2x-2$ મળે છે.
આમ,બીજ $\alpha=1, \beta=1$ છે અને $x^2-2x-2=0$ ના બીજ $\gamma, \delta = 1 \pm \sqrt{3}$ છે.
આપણે $\alpha+2\beta+\gamma^2+\delta^2$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$\gamma, \delta$ એ $x^2-2x-2=0$ ના બીજ હોવાથી,$\gamma+\delta=2$ અને $\gamma\delta=-2$.
તેથી $\gamma^2+\delta^2 = (\gamma+\delta)^2 - 2\gamma\delta = (2)^2 - 2(-2) = 4+4 = 8$.
કિંમતો મૂકતા: $1 + 2(1) + 8 = 11$.

(D) આપેલ વ્યસ્ત સમીકરણ $12x^4-56x^3+89x^2-56x+12=0$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $12(x^2+\frac{1}{x^2})-56(x+\frac{1}{x})+89=0$ મળે છે.
ધારો કે $u = x+\frac{1}{x}$. તો $x^2+\frac{1}{x^2} = u^2-2$.
આ કિંમત મૂકતા,$12(u^2-2)-56u+89=0$,જેનું સાદું રૂપ $12u^2-56u+65=0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $u$ શોધતા: $u = \frac{56 \pm \sqrt{56^2-4(12)(65)}}{2(12)} = \frac{56 \pm 4}{24}$.
તેથી,$u_1 = \frac{5}{2}$ અને $u_2 = \frac{13}{6}$.
$\alpha\beta=1$ હોવાથી,$\alpha+\beta$ એ $u$ ની કિંમતો પૈકીની એક છે. ધારો કે $\alpha+\beta = \frac{5}{2}$ અને $\gamma+\delta = \frac{13}{6}$.
તેથી $\frac{\alpha+\beta}{\gamma+\delta} = \frac{5/2}{13/6} = \frac{15}{13}$.
$\frac{15}{13} > 1$ હોવાથી,આ શરતનું પાલન થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^5+x^4-13x^3-13x^2+36x+36=0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^4(x+1) - 13x^2(x+1) + 36(x+1) = 0$
$(x+1)(x^4-13x^2+36) = 0$
$(x+1)(x^2-4)(x^2-9) = 0$
$(x+1)(x-2)(x+2)(x-3)(x+3) = 0$
બીજ $-3, -2, -1, 2, 3$ છે.
$\alpha < \beta < \gamma < \delta < \varepsilon$ હોવાથી:
$\alpha = -3, \beta = -2, \gamma = -1, \delta = 2, \varepsilon = 3$.
હવે,$\frac{\varepsilon}{\alpha}+\frac{\delta}{\beta}+\frac{1}{\gamma}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{3}{-3} + \frac{2}{-2} + \frac{1}{-1} = -1 - 1 - 1 = -3$.

(C) આપેલ ઘાત સમીકરણ $x^3 + 3 x^2 - 10 x - 24 = 0$ છે.
પૂર્ણાંક બીજ ચકાસતા,$x = 3$ માટે: $(3)^3 + 3(3)^2 - 10(3) - 24 = 27 + 27 - 30 - 24 = 0$.
તેથી,$(x - 3)$ એક અવયવ છે.
બહુપદીને $(x - 3)$ વડે ભાગતા,આપણને $(x - 3)(x^2 + 6 x + 8) = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત ભાગના અવયવ પાડતા: $(x - 3)(x + 4)(x + 2) = 0$.
બીજ $3, -2, -4$ છે.
$\alpha > \beta > \gamma$ આપેલ હોવાથી,$\alpha = 3, \beta = -2, \gamma = -4$ મળે.
આ કિંમતોને $\alpha^3 + 3 \beta^2 - 10 \gamma - 24$ માં મૂકતા:
$(3)^3 + 3(-2)^2 - 10(-4) - 24 = 27 + 12 + 40 - 24 = 55$.
$55 = 11 k$ આપેલ હોવાથી,$k = 5$ મળે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $12 x^{1/3} - 25 x^{1/6} + 12 = 0$.
ધારો કે $t = x^{1/6}$. તો સમીકરણ $12 t^2 - 25 t + 12 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $12 t^2 - 16 t - 9 t + 12 = 0 \Rightarrow 4 t(3 t - 4) - 3(3 t - 4) = 0$.
$(4 t - 3)(3 t - 4) = 0$,તેથી $t = \frac{3}{4}$ અથવા $t = \frac{4}{3}$.
$\alpha > \beta$ હોવાથી અને $x^{1/6} = t$,આપણને $\alpha^{1/6} = \frac{4}{3}$ અને $\beta^{1/6} = \frac{3}{4}$ મળે છે.
આપણે $\sqrt[6]{\frac{\alpha}{\beta}} = \frac{\alpha^{1/6}}{\beta^{1/6}}$ શોધવાનું છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{4/3}{3/4} = \frac{4}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{16}{9}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $f(x) = 16x^4 + 16x^3 - 4x - 1 = 0$ છે. તેને બહુવિધ બીજ હોવાથી,ધારો કે $\alpha$ એ બહુવિધ બીજ છે. તેથી $f(\alpha) = 0$ અને $f'(\alpha) = 0$.
$f'(x) = 64x^3 + 48x^2 - 4$. $f'(\alpha) = 0$ લેતા $16\alpha^3 + 12\alpha^2 - 1 = 0$ મળે.
$f(\alpha) = 16\alpha^4 + 16\alpha^3 - 4\alpha - 1 = 0$ માં $16\alpha^3 = 1 - 12\alpha^2$ મૂકતા $16\alpha^4 + (1 - 12\alpha^2) - 4\alpha - 1 = 0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $16\alpha^4 - 12\alpha^2 - 4\alpha = 0$ થાય.
અવયવ પાડતા $4\alpha(4\alpha^3 - 3\alpha - 1) = 0$ મળે. $\alpha \neq 0$ હોવાથી,$4\alpha^3 - 3\alpha - 1 = 0$ ઉકેલતા $(\alpha - 1)(2\alpha + 1)^2 = 0$ મળે.
$\alpha = 1$ ને $f(x)$ માં મૂકતા $16+16-4-1 \neq 0$ મળે છે. તેથી,$\alpha = -\frac{1}{2}$ એ બહુવિધ બીજ છે.
$f(x)$ ને $(x + \frac{1}{2})^2 = (x^2 + x + \frac{1}{4})$ વડે ભાગતા,$16x^2 - 4 = 0$ મળે,તેથી $x = \pm \frac{1}{2}$.
બીજ $\alpha = -\frac{1}{2}, \beta = -\frac{1}{2}, \gamma = -\frac{1}{2}, \delta = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી $\frac{1}{\alpha^4} + \frac{1}{\beta^4} + \frac{1}{\gamma^4} + \frac{1}{\delta^4} = (-2)^4 + (-2)^4 + (-2)^4 + (2)^4 = 16 + 16 + 16 + 16 = 64$.

(D) આપેલ છે $x^3+3x^2-9x+\lambda = (x-\alpha)^2(x-\beta) = x^3 - (2\alpha+\beta)x^2 + (2\alpha\beta+\alpha^2)x - \alpha^2\beta$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$2\alpha+\beta = -3$ $(i)$
$2\alpha\beta+\alpha^2 = -9$ (ii)
$-\alpha^2\beta = \lambda$ (iii)
$(i)$ પરથી,$\beta = -3-2\alpha$.
(ii) માં કિંમત મુકતા: $2\alpha(-3-2\alpha) + \alpha^2 = -9$ $\Rightarrow 3\alpha^2 + 6\alpha - 9 = 0$ $\Rightarrow \alpha^2 + 2\alpha - 3 = 0$.
$\alpha$ માટે ઉકેલતા: $(\alpha+3)(\alpha-1) = 0$,તેથી $\alpha = 1$ અથવા $\alpha = -3$.
જો $\alpha = 1$,તો $\beta = -5$. (iii) પરથી,$\lambda = -(1)^2(-5) = 5$.
જો $\alpha = -3$,તો $\beta = 3$. (iii) પરથી,$\lambda = -(-3)^2(3) = -27$.
તેથી,$\lambda$ ની કિંમતો $-27$ અને $5$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^4-4x^3-7x^2+22x+24=0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)=0$ મળે છે.
બીજ $x_1 = -1, x_2 = -2, x_3 = 3, x_4 = 4$ છે.
શરત ચકાસતા: $3 + (-1) = 2$ અને $4 + (-2) = 2$.
આમ,બીજના ઘનનો સરવાળો:
$(-1)^3 + (-2)^3 + (3)^3 + (4)^3 = -1 - 8 + 27 + 64 = 82$.

(C) આપેલ ઘાત સમીકરણ: $x^3+4x^2-9x-36=0$
સમીકરણનું અવયવીકરણ કરતા:
$x^2(x+4)-9(x+4)=0$
$(x^2-9)(x+4)=0$
$(x-3)(x+3)(x+4)=0$
બીજ $x = -4, -3, 3$ છે.
શરત $\alpha < \beta < \gamma$ મુજબ,$\alpha = -4$,$\beta = -3$,અને $\gamma = 3$ મળે.
હવે,$\alpha+2\beta+3\gamma$ ની ગણતરી કરતા:
$\alpha+2\beta+3\gamma = -4 + 2(-3) + 3(3)$
$= -4 - 6 + 9$
$= -10 + 9 = -1$.

(D) ધારો કે $f(x) = x^5-6x^4+11x^3-2x^2-12x+8$.
નાના પૂર્ણાંક બીજ તપાસતા,આપણને મળે છે કે $x=2$ એ એક બીજ છે.
બહુપદીના ભાગાકારનો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિનું અવયવીકરણ કરીએ છીએ:
$f(x) = (x-2)^3(x^2-1) = (x-2)^3(x-1)(x+1)$.
બીજ $x=2$ (જેની ગુણકતા $3$ છે),$x=1$,અને $x=-1$ છે.
કારણ કે $\alpha$ એ બહુવિધ બીજ છે,તેથી $\alpha=2$.
$3\alpha^2-2\alpha+1$ માં $\alpha=2$ મૂકતા:
$3(2)^2-2(2)+1 = 3(4)-4+1 = 12-4+1 = 9$.

(C) આપેલ ઘન સમીકરણ $x^3+2x^2-x-2=0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2(x+2)-1(x+2)=0$
$(x^2-1)(x+2)=0$
$(x-1)(x+1)(x+2)=0$
આમ,બીજ $\alpha=1, \beta=-1, \gamma=-2$ છે.
આપણે $\alpha^6+\beta^6+\gamma^6$ ની ગણતરી કરવાની છે:
$\alpha^6+\beta^6+\gamma^6 = (1)^6 + (-1)^6 + (-2)^6$
$= 1 + 1 + 64$
$= 66$

(A) આપેલ સમીકરણ $x^4+x^3-4x^2+x+1=0$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + (x + \frac{1}{x}) - 4 = 0$ મળે.
ધારો કે $y = x + \frac{1}{x}$,તો $y^2 - 2 + y - 4 = 0 \Rightarrow y^2 + y - 6 = 0$.
$(y+3)(y-2) = 0$,તેથી $y = 2$ અથવા $y = -3$.
જો $x + \frac{1}{x} = 2$,તો $x=1, 1$.
જો $x + \frac{1}{x} = -3$,તો $x^2 + 3x + 1 = 0$,તેથી $x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$.
ધારો કે બીજ $r_1, r_2, r_3, r_4$ છે. બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો $\sum r_i r_j = -4$ છે.
જ્યારે બીજને $h$ જેટલા ઘટાડવામાં આવે,ત્યારે નવા બીજ $r_i - h$ બને છે.
$x^2$ નો નવો સહગુણક $\sum (r_i - h)(r_j - h) = 0$ થાય.
આનું વિસ્તરણ $\sum r_i r_j - 3h \sum r_i + 6h^2 = 0$ થાય છે.
મૂળ સમીકરણ પરથી,$\sum r_i = -1$ અને $\sum r_i r_j = -4$.
આ કિંમતો મૂકતા,$-4 - 3h(-1) + 6h^2 = 0 \Rightarrow 6h^2 + 3h - 4 = 0$.
$h$ માં આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
તેથી,$\alpha + \beta = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$ અને $\alpha \beta = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$.
તેથી $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = (-\frac{1}{2})^2 - 4(-\frac{2}{3}) = \frac{1}{4} + \frac{8}{3} = \frac{35}{12}$.
તેથી,$12(\alpha - \beta)^2 = 12 \times \frac{35}{12} = 35$.

(B) આપેલ છે કે $1+\sqrt{2}$ અને $2-i$ એ સંમેય સહગુણકો ધરાવતા બહુપદી સમીકરણના બીજ છે,તેથી તેમના અનુબદ્ધ બીજ $1-\sqrt{2}$ અને $2+i$ પણ બીજ હોવા જોઈએ.
ધારો કે બીજ $\alpha_1 = 1+\sqrt{2}, \alpha_2 = 1-\sqrt{2}, \alpha_3 = 2-i, \alpha_4 = 2+i$ છે.
વિયેટાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$-b = \sum \alpha_i = 6 \Rightarrow b = -6$.
$c = \sum \alpha_i \alpha_j = 12$.
$-d = \sum \alpha_i \alpha_j \alpha_k = 6 \Rightarrow d = -6$.
સમીકરણ $bx^2+cx+d=0$ એ $-6x^2+12x-6=0$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2-2x+1=0$ થાય છે.
આ $(x-1)^2=0$ છે,તેથી બીજ $1, 1$ મળે છે,જે વાસ્તવિક અને સમાન છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^5-3x^4+5x^3-5x^2+3x-1=0$ છે.
પદોને જૂથબદ્ધ કરીને સમીકરણને ફરીથી લખતા: $(x^5-1) - 3x(x^3-1) + 5x^2(x-1) = 0$.
$(x-1)$ સામાન્ય લેતા: $(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) - 3x(x-1)(x^2+x+1) + 5x^2(x-1) = 0$.
$(x-1)[(x^4+x^3+x^2+x+1) - 3x(x^2+x+1) + 5x^2] = 0$.
$(x-1)(x^4-2x^3+3x^2-2x+1) = 0$.
ચતુર્થઘાત ભાગ માટે,$x^2$ વડે ભાગતા: $x^2-2x+3-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2} = 0$.
$(x^2+\frac{1}{x^2}) - 2(x+\frac{1}{x}) + 3 = 0$.
ધારો કે $y = x+\frac{1}{x}$,તો $y^2-2 - 2y + 3 = 0$,એટલે કે $y^2-2y+1 = 0$.
$(y-1)^2 = 0$,જે $y=1$ આપે છે.
$x+\frac{1}{x} = 1 \implies x^2-x+1 = 0$.
આમ,ભિન્ન બીજનો સરવાળો $1 + 1 = 2$ થાય છે.

(A) ધારો કે આપેલ સમીકરણ $x^4-2 x^3+6 x-21=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ છે. આપણે એવું સમીકરણ શોધવું છે જેના બીજ $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2, \delta^2$ હોય.
ધારો કે $y = x^2$,તેથી $x = \sqrt{y}$.
આપેલ સમીકરણને $x^4-21 = 2 x(x^2-3)$ તરીકે લખી શકાય.
$x^2 = y$ મૂકતા: $y^2-21 = 2 x(y-3)$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(y^2-21)^2 = 4 x^2(y-3)^2$.
$x^2 = y$ હોવાથી: $(y^2-21)^2 = 4 y(y-3)^2$.
વિસ્તરણ કરતા: $y^4-42 y^2+441 = 4 y(y^2-6 y+9)$.
$y^4-42 y^2+441 = 4 y^3-24 y^2+36 y$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $y^4-4 y^3-18 y^2-36 y+441=0$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,જરૂરી સમીકરણ $x^4-4 x^3-18 x^2-36 x+441=0$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $3x^3+4x^2-5x-2=0$ $(i)$.
ધારો કે $(i)$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
બીજને $h$ જેટલા ઘટાડતા,નવા બીજ $t = x - h$ થાય,જેનો અર્થ છે $x = t + h$.
$(i)$ માં $x = t + h$ મૂકતા:
$3(t+h)^3 + 4(t+h)^2 - 5(t+h) - 2 = 0$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$3t^3 + (9h + 4)t^2 + (9h^2 + 8h - 5)t + (3h^3 + 4h^2 - 5h - 2) = 0$.
કારણ કે $x^2$ (અથવા $t^2$) પદ ગેરહાજર છે,તેનો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$9h + 4 = 0 \Rightarrow h = -\frac{4}{9}$.
હવે,મૂળ સમીકરણ $3x^3+4x^2-5x-2=0$ ના બીજ શોધો.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x=1$ એ એક બીજ છે $(3+4-5-2=0)$.
$(x-1)$ વડે ભાગતા,આપણને $(x-1)(3x^2+7x+2) = 0$ મળે છે.
$(x-1)(3x+1)(x+2) = 0$.
બીજ $x_1 = 1, x_2 = -\frac{1}{3}, x_3 = -2$ છે.
નવા બીજ $x_i - h = x_i - (-\frac{4}{9}) = x_i + \frac{4}{9}$ છે.
નવા બીજ: $1 + \frac{4}{9} = \frac{13}{9}$,$-\frac{1}{3} + \frac{4}{9} = \frac{1}{9}$,અને $-2 + \frac{4}{9} = -\frac{14}{9}$.

(B) આપેલ છે કે,એક બીજ $-1+i$ છે.
સમીકરણના સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,તેનું સંકર અનુબદ્ધ $-1-i$ પણ બીજ થશે.
તેથી,$(x+1-i)(x+1+i) = x^2+2x+2$ એ આપેલ સમીકરણનો એક અવયવ છે.
$x^4+4x^3+5x^2+2x-2$ ને $x^2+2x+2$ વડે ભાગતા,આપણને ભાગફળ $x^2+2x-1$ મળે છે.
$x^2+2x-1 = 0$ માટે,દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.
તેથી,વાસ્તવિક બીજ $-1 \pm \sqrt{2}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{\frac{5x}{x-2}} + \sqrt{\frac{x-2}{5x}} = \frac{29}{10}$ છે.
ધારો કે $y = \sqrt{\frac{5x}{x-2}}$. તેથી સમીકરણ $y + \frac{1}{y} = \frac{29}{10}$ બને છે.
$10y$ વડે ગુણતા,$10y^2 - 29y + 10 = 0$ મળે છે.
અવયવ પાડતા: $10y^2 - 25y - 4y + 10 = 0 \Rightarrow 5y(2y - 5) - 2(2y - 5) = 0$.
તેથી,$(5y - 2)(2y - 5) = 0$,જે $y = \frac{2}{5}$ અથવા $y = \frac{5}{2}$ આપે છે.
કિસ્સો $1$: $\sqrt{\frac{5x}{x-2}} = \frac{2}{5}$ $\Rightarrow \frac{5x}{x-2} = \frac{4}{25}$ $\Rightarrow 125x = 4x - 8$ $\Rightarrow 121x = -8$ $\Rightarrow x = -\frac{8}{121}$.
કિસ્સો $2$: $\sqrt{\frac{5x}{x-2}} = \frac{5}{2}$ $\Rightarrow \frac{5x}{x-2} = \frac{25}{4}$ $\Rightarrow \frac{x}{x-2} = \frac{5}{4}$ $\Rightarrow 4x = 5x - 10$ $\Rightarrow x = 10$.
$\alpha > \beta$ હોવાથી,$\alpha = 10$ અને $\beta = -\frac{8}{121}$ મળે.
હવે,$\sqrt{\alpha^2 - 11^4 \beta^2} = \sqrt{10^2 - 11^4 \left(-\frac{8}{121}\right)^2} = \sqrt{100 - 11^4 \cdot \frac{64}{11^4}} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$.

(A) ધારો કે $f(x) = x^5-8x^4+25x^3-38x^2+28x-8$.
જો $\alpha$ એ $3$ ગુણકતા ધરાવતું બીજ હોય,તો $f(\alpha) = 0$,$f'(\alpha) = 0$,અને $f''(\alpha) = 0$ થાય.
વિકલન કરતા:
$f'(x) = 5x^4-32x^3+75x^2-76x+28$
$f''(x) = 20x^3-96x^2+150x-76$
$x = 2$ માટે ચકાસતા:
$f(2) = 32-128+200-152+56-8 = 0$
$f'(2) = 80-256+300-152+28 = 0$
$f''(2) = 160-384+300-76 = 0$
$f'''(2) = 60(4)-192(2)+150 = 6 \neq 0$.
આમ,$\alpha = 2$ એ $3$ ગુણકતા ધરાવતું બીજ છે.
તેથી,$\alpha^2-5\alpha+6 = (2)^2-5(2)+6 = 4-10+6 = 0$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $6x^6-25x^5+31x^4-31x^2+25x-6=0$
પદોને ગોઠવતા: $6(x^6-1) - 25x(x^4-1) + 31x^2(x^2-1) = 0$
$(x^2-1)$ સામાન્ય લેતા: $(x^2-1)[6(x^4+x^2+1) - 25x(x^2+1) + 31x^2] = 0$
$(x^2-1)[6x^4 - 25x^3 + 37x^2 - 25x + 6] = 0$
બીજા કૌંસને $x^2$ વડે ભાગતા: $x^2(x^2-1)[6(x^2+\frac{1}{x^2}) - 25(x+\frac{1}{x}) + 37] = 0$
ધારો કે $y = x+\frac{1}{x}$,તો $x^2+\frac{1}{x^2} = y^2-2$.
$6(y^2-2) - 25y + 37 = 0 \Rightarrow 6y^2 - 25y + 25 = 0$
$(2y-5)(3y-5) = 0 \Rightarrow y = \frac{5}{2}, \frac{5}{3}$
$x+\frac{1}{x} = \frac{5}{2}$ માટે,$x=2, \frac{1}{2}$ (વાસ્તવિક બીજ).
$x+\frac{1}{x} = \frac{5}{3}$ માટે,$3x^2-5x+3=0$. આ બીજ સંકર છે.
આ સંકર બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta = -\frac{b}{a} = -(\frac{-5}{3}) = \frac{5}{3}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^3-6x^2+6x-2=0$.
વિકલ્પ $(a)$ તપાસતા: $x=-1$ મૂકતા,$(-1)^3-6(-1)^2+6(-1)-2 = -15 \neq 0$.
વિકલ્પ $(b)$ તપાસતા: $x=2$ મૂકતા,$(2)^3-6(2)^2+6(2)-2 = -6 \neq 0$.
વિકલ્પ $(c)$ તપાસતા: ધારો કે $x = \frac{2^{1/3}}{2^{1/3}-1}$.
યોગ-વિયોગ પ્રમાણ લેતા: $\frac{x+1}{x-1} = \frac{2^{1/3}+2^{1/3}-1}{2^{1/3}-2^{1/3}+1} = 2 \cdot 2^{1/3}-1$.
$\frac{x+1}{x-1} + 1 = 2 \cdot 2^{1/3}$ $\Rightarrow \frac{2x}{x-1} = 2 \cdot 2^{1/3}$ $\Rightarrow \frac{x}{x-1} = 2^{1/3}$.
બંને બાજુ ઘન કરતા: $\frac{x^3}{(x-1)^3} = 2
$ $\Rightarrow x^3 = 2(x^3-3x^2+3x-1)
$ $\Rightarrow x^3 = 2x^3-6x^2+6x-2
$ $\Rightarrow x^3-6x^2+6x-2 = 0$.
આમ,વિકલ્પ $(c)$ સાચો જવાબ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $(x+1)^4+(x+3)^4=8$.
ધારો કે $x+2=y$,તેથી $x+1=y-1$ અને $x+3=y+1$.
સમીકરણ $(y-1)^4+(y+1)^4=8$ બને છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા: $(y^4-4y^3+6y^2-4y+1)+(y^4+4y^3+6y^2+4y+1)=8$.
$2y^4+12y^2+2=8$ $\Rightarrow 2y^4+12y^2-6=0$ $\Rightarrow y^4+6y^2-3=0$.
ધારો કે $t=y^2$,તો $t^2+6t-3=0$.
$t = \frac{-6 \pm \sqrt{36-4(1)(-3)}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{48}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{3}$.
વાસ્તવિક $y$ માટે $t=y^2$ અ-ઋણ હોવું જોઈએ,તેથી આપણે $y^2 = 2\sqrt{3}-3$ લઈએ છીએ.
$y=x+2$ પાછું મૂકતા: $(x+2)^2 = 2\sqrt{3}-3$.
$x^2+4x+4 = 2\sqrt{3}-3 \Rightarrow x^2+4x+(7-2\sqrt{3}) = 0$.
આ $x$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે જે $ax^2+bx+c=0$ સ્વરૂપમાં છે.
બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a} = \frac{7-2\sqrt{3}}{1} = 7-2\sqrt{3}$ થાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^4-10x^3+37x^2-60x+36=0$.
બીજ $\alpha, \alpha, \beta, \beta$ હોવાથી,વીએટાના સૂત્રો મુજબ:
બીજનો સરવાળો: $2\alpha + 2\beta = 10 \Rightarrow \alpha + \beta = 5$ $(i)$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha^2\beta^2 = 36 \Rightarrow \alpha\beta = 6$ $(ii)$.
$(i)$ પરથી,$\beta = 5 - \alpha$. તેને $(ii)$ માં મૂકતા: $\alpha(5 - \alpha) = 6 \Rightarrow \alpha^2 - 5\alpha + 6 = 0$.
$\alpha$ માટે ઉકેલતા: $(\alpha - 2)(\alpha - 3) = 0$,તેથી $\alpha = 2$ અથવા $\alpha = 3$.
$\alpha < \beta$ હોવાથી,$\alpha = 2$ અને $\beta = 3$.
હવે,$2\alpha + 3\beta - 2\alpha\beta$ ની ગણતરી કરતા:
$2(2) + 3(3) - 2(2)(3) = 4 + 9 - 12 = 1$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x^2-8x+9-\frac{8}{x}+\frac{1}{x^2}=0$
પદોને ગોઠવતા: $(x^2+\frac{1}{x^2}) - 8(x+\frac{1}{x}) + 9 = 0$
ધારો કે $t = x+\frac{1}{x}$. તેથી $t^2 = x^2+2+\frac{1}{x^2}$,એટલે કે $x^2+\frac{1}{x^2} = t^2-2$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(t^2-2) - 8t + 9 = 0$
$t^2 - 8t + 7 = 0$
$(t-7)(t-1) = 0$
કિસ્સો $1$: $t = 7$ $\Rightarrow x+\frac{1}{x} = 7$ $\Rightarrow x^2-7x+1 = 0$. વિવેચક $D = (-7)^2 - 4(1)(1) = 45 > 0$,તેથી બે વાસ્તવિક બીજ મળે છે. આ બીજનો ગુણાકાર $c/a = 1$ થાય.
કિસ્સો $2$: $t = 1$ $\Rightarrow x+\frac{1}{x} = 1$ $\Rightarrow x^2-x+1 = 0$. વિવેચક $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$,તેથી કોઈ વાસ્તવિક બીજ મળતા નથી.
આમ,તમામ વાસ્તવિક બીજનો ગુણાકાર $1$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $|x|^{6/5} - 26|x|^{3/5} - 27 = 0$ છે.
ધારો કે $|x|^{3/5} = t$.
$|x|^{3/5} \ge 0$ હોવાથી,$t \ge 0$ મળે.
સમીકરણ $t^2 - 26t - 27 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $(t - 27)(t + 1) = 0$.
તેથી $t = 27$ અથવા $t = -1$.
$t \ge 0$ હોવાથી,$t = -1$ શક્ય નથી.
તેથી,$|x|^{3/5} = 27 = 3^3$.
બંને બાજુ $5/3$ ઘાત લેતા: $|x| = (3^3)^{5/3} = 3^5$.
તેથી,$x = 3^5$ અથવા $x = -3^5$.
વાસ્તવિક ઉકેલોનો ગુણાકાર $(3^5) \times (-3^5) = -3^{10}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે,$f(x)=2 x^4-13 x^2+a x+b$ એ $x^2-3 x+2 = (x-2)(x-1)$ વડે વિભાજ્ય છે.
તેથી,$f(2)=0$ અને $f(1)=0$ થાય.
$f(2)=0$ માટે:
$2(2)^4-13(2)^2+a(2)+b=0$
$32-52+2a+b=0$
$2a+b=20$ ... $(i)$
$f(1)=0$ માટે:
$2(1)^4-13(1)^2+a(1)+b=0$
$2-13+a+b=0$
$a+b=11$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$a=9$
$a=9$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મુકતા:
$b=2$
આમ,$(a, b) = (9, 2)$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^3-3x-2=0$ છે.
$x=-1$ મૂકતા:
$(-1)^3-3(-1)-2 = -1+3-2 = 0$.
તેથી,$(x+1)$ એ એક અવયવ છે.
$x^3-3x-2$ ને $(x+1)$ વડે ભાગતા:
$x^3-3x-2 = (x+1)(x^2-x-2)$.
દ્વિઘાત પદના અવયવ પાડતા:
$x^2-x-2 = (x+1)(x-2)$.
આમ,સમીકરણ $(x+1)(x+1)(x-2)=0$ થાય છે.
તેથી બીજ $x = -1, -1, 2$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^4-2x^3+2x-1=0$ છે.
કારણ કે $1$ એ $3$ ક્રમનું બીજ છે,તેથી $(x-1)^3$ એ બહુપદીનો અવયવ છે.
આપણે બહુપદીને $(x-1)^3(x-k) = 0$ તરીકે લખી શકીએ,જ્યાં $k$ એ ચોથું બીજ છે.
$(x-1)^3 = x^3-3x^2+3x-1$ નું વિસ્તરણ કરતા.
$(x-k)$ સાથે ગુણાકાર કરતા: $(x^3-3x^2+3x-1)(x-k) = x^4 - (k+3)x^3 + (3k+3)x^2 - (3k+1)x + k = 0$.
મૂળ સમીકરણ $x^4-2x^3+0x^2+2x-1=0$ સાથે સરખાવતા:
અચળ પદ પરથી,$k = -1$.
તેથી,બીજું બીજ $-1$ છે.