Solution of quadratic equations and Nature of roots Questions in Gujarati

(B) આપેલ બહુપદી $f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c$ છે.
ધારો કે બહુપદીના બીજ $s - t$,$s$,અને $s + t$ છે,જ્યાં $s$ અને $t$ પૂર્ણાંક છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો સરવાળો:
$(s - t) + s + (s + t) = -a$.
આને સાદું રૂપ આપતા,$3s = -a$,અથવા $a = -3s$ મળે છે.
$s$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$a$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા:
$A: -642 = 3 \times (-214)$ ($3$ નો ગુણક છે)
$B: 1214$ ($3$ નો ગુણક નથી,કારણ કે $1+2+1+4 = 8$)
$C: 1323 = 3 \times 441$ ($3$ નો ગુણક છે)
$D: 1626 = 3 \times 542$ ($3$ નો ગુણક છે)
તેથી,'$a$' એ $1214$ કિંમત ધારણ કરી શકે નહીં.

(B) ધારો કે $x = 4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\ldots \infty}}}$.
અનંત શ્રેણી હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $x = 4 + \frac{1}{x}$.
$x$ વડે ગુણતા,$x^2 = 4x + 1$,જે $x^2 - 4x - 1 = 0$ માં પરિણમે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$.
અહીં પદ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $2-\sqrt{5}$ શક્ય નથી.
આમ,$x = 2+\sqrt{5}$.

(A) ધારો કે $x$ અને $x+2$ બે ક્રમિક ધન બેકી પૂર્ણાંકો છે.
આપેલ છે,$x^2 + (x+2)^2 = 290$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + x^2 + 4x + 4 = 290$.
$\Rightarrow 2x^2 + 4x - 286 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા: $x^2 + 2x - 143 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x + 13)(x - 11) = 0$.
તેથી,$x = -13$ અથવા $x = 11$.
કારણ કે $x$ ધન બેકી પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $x = -13$ શક્ય નથી.
જો $x = 11$ લઈએ,તો ક્રમિક બેકી પૂર્ણાંક $x+2 = 13$ મળે છે,જે બેકી સંખ્યા નથી.
તેથી,આવા કોઈ ક્રમિક ધન બેકી પૂર્ણાંકોની જોડી શક્ય નથી.
ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $4+6(e^{2x}+1) \tanh x = 11 \cosh x + 11 \sinh x$
$\tanh x = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$,$\cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2}$,અને $\sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2}$ મૂકતા:
$4+6(e^{2x}+1) \left(\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\right) = 11 \left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right) + 11 \left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)$
$4+6(e^{2x}+1) \left(\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\right) = 11 \left(\frac{2e^x}{2}\right)$
$4+6(e^{2x}-1) = 11e^x$
$6e^{2x} - 11e^x - 2 = 0$
ધારો કે $e^x = t$,જ્યાં $t > 0$:
$6t^2 - 11t - 2 = 0$
$(6t+1)(t-2) = 0$
$t = 2$ અથવા $t = -\frac{1}{6}$
$t > 0$ હોવાથી,$e^x = 2$,જેનો અર્થ થાય છે $x = \log_e 2$.

(C) આપેલ સમીકરણ $2 \cosh^2 x - 3 \sinh x - k = 0$ છે.
નિત્યસમ $\cosh^2 x = 1 + \sinh^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2(1 + \sinh^2 x) - 3 \sinh x - k = 0$
$2 \sinh^2 x - 3 \sinh x + (2 - k) = 0$.
ધારો કે $t = \sinh x$,જ્યાં $t \in R$. દ્વિઘાત સમીકરણ $2t^2 - 3t + (2 - k) = 0$ ને $x$ માટે કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ ન હોય જો વિવેચક $D < 0$ હોય.
$D = (-3)^2 - 4(2)(2 - k) < 0$
$9 - 8(2 - k) < 0$
$9 - 16 + 8k < 0$
$8k - 7 < 0$
$k < \frac{7}{8}$.

(C) આપેલા સમીકરણો $x^2+5x-6=0$ અને $y^2-8y-20=0$ છે.
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x^2+6x-x-6=0$ $\Rightarrow (x+6)(x-1)=0$ $\Rightarrow x_1=-6, x_2=1$.
$y$ માટે ઉકેલતા:
$y^2-10y+2y-20=0$ $\Rightarrow (y-10)(y+2)=0$ $\Rightarrow y_1=10, y_2=-2$.
લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $(-6, 10), (1, 10), (1, -2), (-6, -2)$ છે.
વિકર્ણનું મધ્યબિંદુ એ સામસામેના શિરોબિંદુઓને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે,જેમ કે $(-6, 10)$ અને $(1, -2)$.
મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{-6+1}{2}, \frac{10-2}{2}\right) = \left(\frac{-5}{2}, \frac{8}{2}\right) = \left(\frac{-5}{2}, 4\right)$.

(C) શેષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,શેષ $P(2)$ થાય.
આપેલ $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7$.
બહુપદીમાં $x = 2$ મૂકતા:
$P(2) = 2(2)^3 - 5(2)^2 + 7$
$P(2) = 2(8) - 5(4) + 7$
$P(2) = 16 - 20 + 7$
$P(2) = 3$
તેથી,શેષ $3$ છે.

(B) આપેલ છે કે $x^4+x^2+1$ એ $x^2+mx+1$ અને $x^2+nx+1$ બંને વડે વિભાજ્ય છે.
બહુપદી $4$ ઘાતની હોવાથી અને ભાજક $2$ ઘાતની હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$x^4+x^2+1 = (x^2+mx+1)(x^2+nx+1)$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$x^4 + (m+n)x^3 + (mn+2)x^2 + (m+n)x + 1$
બંને બાજુ $x^3$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$m+n = 0$

(B) આપેલ સમીકરણો છે:
$1) x+y+z=1$
$2) x^2+y^2+z^2=1$
$3) x^3+y^3+z^3=1$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$z = 1 - x - y$. આ કિંમતને $(2)$ માં મૂકતા:
$x^2 + y^2 + (1 - x - y)^2 = 1$
$x^2 + y^2 + 1 + x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2xy = 1$
$2x^2 + 2y^2 + 2xy - 2x - 2y = 0$
$x^2 + y^2 + xy - x - y = 0$
જો આપણે બે ચલ $0$ લઈએ,તો ત્રીજો ચલ $1$ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે,જો $x=1, y=0, z=0$ લઈએ,તો $1+0+0=1$,$1^2+0^2+0^2=1$,અને $1^3+0^3+0^3=1$ મળે છે. આ ત્રણેય સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે.
$(1, 0, 0)$ ના ક્રમચયો લેતા,આપણને $(1, 0, 0)$,$(0, 1, 0)$,અને $(0, 0, 1)$ મળે છે.
આમ,કુલ $3$ ઉકેલો મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{(x^2+1)^3}{x^3} + \frac{x^2+1}{3x} = 0$ છે,જ્યાં $x \neq 0$.
ધારો કે $t = \frac{x^2+1}{x}$. તો સમીકરણ $t^3 + \frac{t}{3} = 0$ બને છે.
$t$ સામાન્ય લેતા,આપણને $t(t^2 + \frac{1}{3}) = 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $t = 0$ અથવા $t^2 = -\frac{1}{3}$.
કારણ કે $t$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવી જોઈએ,$t^2 = -\frac{1}{3}$ નો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
તેથી,$t = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $\frac{x^2+1}{x} = 0$.
આ સૂચવે છે કે $x^2 + 1 = 0$,અથવા $x^2 = -1$.
કારણ કે $x^2 = -1$ માટે $x$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી,તેથી આપેલ સમીકરણ માટે કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
તેથી,વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $3^{x^2-x} = 25 - 4^{x^2-x}$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $4^{x^2-x} + 3^{x^2-x} = 25$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $25 = 16 + 9 = 4^2 + 3^2$.
તેથી,સમીકરણ $4^{x^2-x} + 3^{x^2-x} = 4^2 + 3^2$ બને છે.
ઘાતની સરખામણી કરતા,આપણને $x^2 - x = 2$ મળે છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - x - 2 = 0$ માં પરિણમે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(x - 2)(x + 1) = 0$ મળે છે.
આમ,ઉકેલો $x = 2$ અને $x = -1$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) બહુપદી $f(x) = x^2-6x+12$ એ $\mathbb{Q}$ પર વિભાજ્ય છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને તેના બીજ શોધીએ.
અહીં,$a=1, b=-6, c=12$ છે.
વિવેચક $D = b^2-4ac = (-6)^2 - 4(1)(12) = 36 - 48 = -12$ છે.
જેથી વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,બીજ સંકર સંખ્યાઓ છે: $x = \frac{6 \pm \sqrt{-12}}{2} = 3 \pm i\sqrt{3}$.
બીજ $\mathbb{Q}$ માં ન હોવાથી,બહુપદીને $\mathbb{Q}$ પર સુરેખ અવયવોમાં વિભાજિત કરી શકાતી નથી.
તેથી,તે $\mathbb{Q}$ પર અવિભાજ્ય છે.

(D) $x > 2$ માટે આપેલ સમીકરણ:
$\sqrt{x+2} - \sqrt{x-2} = \sqrt{4x-2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x+2) + (x-2) - 2\sqrt{(x+2)(x-2)} = 4x - 2$
$2x - 2\sqrt{x^2-4} = 4x - 2$
$-2\sqrt{x^2-4} = 2x - 2$
$-\sqrt{x^2-4} = x - 1$
ફરીથી વર્ગ કરતા:
$x^2 - 4 = (x-1)^2$
$x^2 - 4 = x^2 - 2x + 1$
$-4 = -2x + 1$
$2x = 5$
$x = 2.5$
હવે,મૂળ સમીકરણમાં $x = 2.5$ ની કિંમત તપાસતા:
ડાબા: $\sqrt{2.5+2} - \sqrt{2.5-2} = \sqrt{4.5} - \sqrt{0.5} = \sqrt{9 \times 0.5} - \sqrt{0.5} = 3\sqrt{0.5} - \sqrt{0.5} = 2\sqrt{0.5} = \sqrt{4 \times 0.5} = \sqrt{2}$
જબા: $\sqrt{4(2.5) - 2} = \sqrt{10 - 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
ડાબા $\neq$ જબા હોવાથી,કોઈ ઉકેલ નથી. તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) બહુપદી $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$ ને મોનિક બહુપદી ત્યારે કહેવાય છે જ્યારે તેનો અગ્ર સહગુણક,જે સૌથી મોટી ઘાતવાળા પદ $x^n$ નો સહગુણક છે,તે $1$ હોય.
તેથી,આપેલી બહુપદી $f(x)$ મોનિક હોવા માટે,$a_n = 1$ હોવું જરૂરી છે.

(C) આપેલ છે,$f(x) = (x - a)(x - b) - (\frac{a + b}{2})$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$f(x) = x^2 - (a + b)x + ab - (\frac{a + b}{2})$ મળે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-\frac{D}{4A}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $D = B^2 - 4AC$.
અહીં,$A = 1$,$B = -(a + b)$,અને $C = ab - \frac{a + b}{2}$.
$D = (-(a + b))^2 - 4(1)(ab - \frac{a + b}{2}) = (a + b)^2 - 4ab + 2(a + b) = (a - b)^2 + 2(a + b)$.
ન્યૂનતમ કિંમત $= -\frac{(a - b)^2 + 2(a + b)}{4}$.
બીજ અ-ઋણ હોવાથી,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = (a + b) \geq 0$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = ab - \frac{a + b}{2} \geq 0$ થાય.
વાસ્તવિક બીજ માટે $D \geq 0$,જે $(a - b)^2 + 2(a + b) \geq 0$ હોવાથી સંતોષાય છે.
અ-ઋણ બીજની શરત મુજબ,વિધેયની ન્યૂનતમ કિંમત $x = \frac{a + b}{2}$ પર મળે છે.
$x = \frac{a + b}{2}$ ને $f(x)$ માં મૂકતા:
$f(\frac{a + b}{2}) = (\frac{a + b}{2} - a)(\frac{a + b}{2} - b) - \frac{a + b}{2} = (\frac{b - a}{2})(\frac{a - b}{2}) - \frac{a + b}{2} = -\frac{(a - b)^2}{4} - \frac{a + b}{2}$.
આપેલ શરતો મુજબ,ન્યૂનતમ કિંમત $\geq -\frac{(a + b)^2}{4}$ થાય.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + ax + 5 = 0$ ના વાસ્તવિક બીજ ન હોય તે માટે તેનો વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac < 0$
અહીં,$a = a$,$b = a$,અને $c = 5$.
તેથી,$a^2 - 4(a)(5) < 0$
$a^2 - 20a < 0$
$a(a - 20) < 0$
આ અસમતા $0 < a < 20$ માટે સાચી છે.
'$a$' ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $1, 2, 3, \dots, 19$ છે.
આવા પૂર્ણાંક મૂલ્યોની કુલ સંખ્યા $19$ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-3ax+a^2-2a-K=0$ માટે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ હોવા માટે,વિવેચક $D > 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^2-4ac > 0$
$(-3a)^2 - 4(1)(a^2-2a-K) > 0$
$9a^2 - 4a^2 + 8a + 4K > 0$
$5a^2 + 8a + 4K > 0$
આ અસમતા દરેક સંમેય સંખ્યા $a$ માટે સાચી હોવી જોઈએ. $5a^2 + 8a + 4K$ એ $a$ માં દ્વિઘાત છે જેનો મુખ્ય સહગુણક ધન $(5 > 0)$ છે,તેથી તે દરેક $a$ માટે ધન રહેશે જો તેનો પોતાનો વિવેચક $D_a < 0$ હોય.
$D_a = (8)^2 - 4(5)(4K) < 0$
$64 - 80K < 0$
$64 < 80K$
$K > \frac{4}{5}$
આમ,$K$ એ $(\frac{4}{5}, \infty)$ અંતરાલમાં છે.

(B) કારણ કે $f(x)$ એ દ્વિઘાત બહુપદી છે અને $f(-3) = 0$ છે,આપણે $f(x) = a(x + 3)(x - k)$ લખી શકીએ.
$f(x) \geq 0$ હોવાથી,આલેખ $x$-અક્ષને એક જ બિંદુએ સ્પર્શે છે,એટલે કે $x = -3$ એ પુનરાવર્તિત બીજ છે,તેથી $k = -3$.
તેથી,$f(x) = a(x + 3)^2$.
$f(0) = 18$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a(0 + 3)^2 = 18$ $\Rightarrow 9a = 18$ $\Rightarrow a = 2$.
તેથી,$f(x) = 2(x + 3)^2$.
હવે,$f(3) = 2(3 + 3)^2 = 2(6)^2 = 2 \times 36 = 72$.

(A) આપેલ બહુપદી સમીકરણ $x^5+4 x^4-13 x^3-52 x^2+36 x+144=0$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $2$ એ એક બીજ છે.
બહુપદીના ભાગાકાર દ્વારા,આપણે સમીકરણના અવયવો પાડી શકીએ છીએ.
$x^5+4 x^4-13 x^3-52 x^2+36 x+144$ ને $(x-2)$ વડે ભાગતા,આપણને ભાગફળ $x^4+6x^3-x^2-54x-72$ મળે છે.
વધુ અવયવીકરણ કરતા,આપણને સમીકરણના બીજ $-4, -3, -2, 2, 3$ મળે છે.
શરત $\alpha < \beta < \gamma < 2 < \varepsilon$ મુજબ,આપણે બીજને નીચે મુજબ ગોઠવીએ:
$\alpha = -4, \beta = -3, \gamma = -2, \varepsilon = 3$.
હવે,પદાવલિની ગણતરી કરીએ:
$\alpha+2 \beta+3 \gamma+5 \varepsilon = (-4) + 2(-3) + 3(-2) + 5(3)$
$= -4 - 6 - 6 + 15$
$= -16 + 15 = -1$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ અને $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$.
$\sin ^2 18^{\circ} = \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2 = \frac{3-\sqrt{5}}{8}$.
$\cos ^2 36^{\circ} = \left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right)^2 = \frac{3+\sqrt{5}}{8}$.
બીજનો સરવાળો $\frac{3-\sqrt{5}}{8} + \frac{3+\sqrt{5}}{8} = \frac{3}{4}$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $\left(\frac{3-\sqrt{5}}{8}\right) \left(\frac{3+\sqrt{5}}{8}\right) = \frac{1}{16}$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ મુજબ,
$x^2 - \frac{3}{4}x + \frac{1}{16} = 0$,એટલે કે $16x^2 - 12x + 1 = 0$.

(D) સમીકરણ $f(x)^{g(x)}=1$ નીચેના કિસ્સાઓમાં સંતોષાય છે:
કિસ્સો $1$: $f(x)=1$
$x^2-7x+11=1 \implies x^2-7x+10=0 \implies (x-2)(x-5)=0 \implies x=2, 5$.
કિસ્સો $2$: $g(x)=0$ અને $f(x) \neq 0$
$x^2-6x-7=0 \implies (x-7)(x+1)=0 \implies x=7, -1$.
કિસ્સો $3$: $f(x)=-1$ અને $g(x)$ એ બેકી પૂર્ણાંક છે
$x^2-7x+11=-1 \implies x^2-7x+12=0 \implies (x-3)(x-4)=0 \implies x=3, 4$.
$x=3, 4$ માટે $g(x)$ તપાસો:
$x=3$ માટે,$g(3)=3^2-6(3)-7=-16$ (બેકી,તેથી $x=3$ ઉકેલ છે).
$x=4$ માટે,$g(4)=4^2-6(4)-7=-15$ (એકી,તેથી $x=4$ ઉકેલ નથી).
$x$ ની વાસ્તવિક કિંમતોનો ગણ $\{2, 5, 7, -1, 3\}$ છે.
આ કિંમતોનો સરવાળો $2+5+7-1+3=16$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $6x^6-25x^5+31x^4-31x^2+25x-6=0$ છે.
આ એક વ્યસ્ત સમીકરણ છે.
$x^3$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે $6(x^3 - \frac{1}{x^3}) - 25(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 31(x - \frac{1}{x}) = 0$.
ધારો કે $t = x - \frac{1}{x}$. તો $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 + 2$ અને $x^3 - \frac{1}{x^3} = t^3 + 3t$.
આ કિંમતો મૂકતા: $6(t^3 + 3t) - 25(t^2 + 2) + 31t = 0$.
$6t^3 - 25t^2 + 49t - 50 = 0$.
સમીકરણના અવયવો પાડતા $(x-1)(x+1)(2x-1)(x-2)(3x^2-5x+3)=0$ મળે છે.
સંમેય બીજ $\{-1, 1, \frac{1}{2}, 2\}$ છે.
સૌથી નાનું બીજ $m = -1$ અને સૌથી મોટું બીજ $M = 2$ છે.
તેથી,$M-m = 2 - (-1) = 3$.

(C) આપેલ દ્વિ-વર્ગ સમીકરણ $x^4-9x^3+31x^2-49x+30=0$ છે.
સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,સંકર બીજો અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે. તેથી,જો $(2-i)$ એક બીજ હોય,તો $(2+i)$ પણ એક બીજ છે.
ધારો કે ચાર બીજ $\alpha, \beta, (2-i),$ અને $(2+i)$ છે.
બીજોનો સરવાળો $\alpha + \beta + (2-i) + (2+i) = 9$ થાય.
$\alpha + \beta + 4 = 9 \implies \alpha + \beta = 5$.
બીજોનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta \cdot (2-i)(2+i) = 30$ થાય.
$(2-i)(2+i) = 5$ હોવાથી,$\alpha \cdot \beta \cdot 5 = 30 \implies \alpha \cdot \beta = 6$.
$\alpha + \beta = 5$ અને $\alpha \cdot \beta = 6$ ઉકેલતા,આપણને $\alpha = 2$ અને $\beta = 3$ મળે છે (કારણ કે $\alpha < \beta$).
તેથી,$2\alpha - \beta = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$.

(C) આપેલ સમીકરણ $3p^2x^3 + px^2 + qx + 3 = 0$ છે. $p = 1$ અને $q = -7$ મૂકતા:
$3x^3 + x^2 - 7x + 3 = 0$.
$x = 1$ લેતા,$3(1)^3 + (1)^2 - 7(1) + 3 = 0$ મળે છે.
તેથી,$(x - 1)$ એક અવયવ છે. બહુપદીને $(x - 1)$ વડે ભાગતા:
$(x - 1)(3x^2 + 4x - 3) = 0$.
બીજ $x = 1$ અને $3x^2 + 4x - 3 = 0$ ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(3)(-3)}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{13}}{3}$.
ધારો કે $\alpha = \frac{-2 + \sqrt{13}}{3}$ અને $\beta = \frac{-2 - \sqrt{13}}{3}$.
તેથી $|\alpha - \beta| = |\frac{2\sqrt{13}}{3}| = \frac{2\sqrt{13}}{3}$.

(C) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3-3x^2-4x+12=0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2(x-3)-4(x-3)=0$
$(x^2-4)(x-3)=0$
$(x-2)(x+2)(x-3)=0$
તેથી,બીજ $\alpha=-2, \beta=2, \gamma=3$ મળે છે.
આપણે $\sum(\alpha+\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 + (\beta+\gamma)^2 + (\gamma+\alpha)^2$ ની ગણતરી કરવાની છે.
કિંમતો મૂકતા:
$(\alpha+\beta)^2 = (-2+2)^2 = 0^2 = 0$
$(\beta+\gamma)^2 = (2+3)^2 = 5^2 = 25$
$(\gamma+\alpha)^2 = (3-2)^2 = 1^2 = 1$
સરવાળો કરતા: $0 + 25 + 1 = 26$.

(C) આપેલ છે કે દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજ કાલ્પનિક છે,તેથી વિવેચક $D = b^2 - 4ac < 0$,જેનો અર્થ છે કે $b^2 < 4ac$.
ધારો કે $f(x) = 3a^2x^2 + 6abx + 2b^2$.
અહીં $x^2$ નો સહગુણક $3a^2 > 0$ હોવાથી,આ પદાવલિની ન્યૂનતમ કિંમત મળશે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{4AC - B^2}{4A}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 3a^2$,$B = 6ab$,અને $C = 2b^2$.
ન્યૂનતમ કિંમત $= \frac{4(3a^2)(2b^2) - (6ab)^2}{4(3a^2)} = \frac{24a^2b^2 - 36a^2b^2}{12a^2} = \frac{-12a^2b^2}{12a^2} = -b^2$.
ચૂકી $b^2 < 4ac$,તેથી $-b^2 > -4ac$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $-4ac$ કરતા મોટી છે.

(A) ધારો કે સમીકરણ $x^4+x^3-4x^2+x+1=0$ ના બીજને $h$ દ્વારા ઘટાડવામાં આવે છે. $x$ ને $x+h$ વડે બદલતા,સમીકરણ $(x+h)^4+(x+h)^3-4(x+h)^2+(x+h)+1=0$ બને છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2$ નો સહગુણક $6h^2+3h-4$ મળે છે.
$x^2$ પદ ગેરહાજર હોવાથી,આપણે $6h^2+3h-4=0$ લઈએ છીએ.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજના તફાવત માટેના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $6h^2+3h-4=0$ પરથી,$\alpha+\beta = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$ અને $\alpha\beta = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$ મળે છે.
આમ,$(\alpha-\beta)^2 = (-\frac{1}{2})^2 - 4(-\frac{2}{3}) = \frac{1}{4} + \frac{8}{3} = \frac{3+32}{12} = \frac{35}{12}$.
તેથી,$12(\alpha-\beta)^2 = 12 \times \frac{35}{12} = 35$.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $\lambda x^2 + 13x + 7 = 0$ ના બીજ સંમેય હોવા માટે,વિવેચક $D$ એ કોઈ સંમેય સંખ્યાનો પૂર્ણ વર્ગ હોવો જોઈએ. $\lambda$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$D$ એ પૂર્ણ વર્ગ હોવો જોઈએ.
$D = 169 - 28\lambda$.
$\lambda \in (-3, 7)$ માટે શક્ય પૂર્ણાંક મૂલ્યો $\{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
ચકાસણી કરતા:
$\lambda = -2$ માટે,$D = 225 = (15)^2$ (પૂર્ણ વર્ગ).
$\lambda = 0$ માટે,સમીકરણ $13x + 7 = 0$ થાય,જેનું બીજ $x = -7/13$ (સંમેય).
$\lambda = 6$ માટે,$D = 1 = (1)^2$ (પૂર્ણ વર્ગ).
આમ,$S = \{-2, 0, 6\}$.
સરવાળો $= -2 + 0 + 6 = 4$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^3+3x^2-x-3=0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2(x+3)-1(x+3)=0$
$(x^2-1)(x+3)=0$
$(x-1)(x+1)(x+3)=0$
તેથી,બીજ $\alpha = -3, \beta = -1, \gamma = 1$ છે.
હવે,આપણે પદાવલિની ગણતરી કરીએ:
$(1+\alpha^2)(1+\beta^2)(1+\gamma^2) = (1+(-3)^2)(1+(-1)^2)(1+(1)^2)$
$= (1+9)(1+1)(1+1)$
$= (10)(2)(2) = 40$.

(C) ધારો કે $y = x^2 - 2nx$. સમીકરણ $(x-n)(y^2 + (2n^2-5)y + (n^4-5n^2+4)) = 0$ બને છે.
$y$ માં દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $y^2 + (2n^2-5)y + (n^2-1)(n^2-4) = (y + n^2-1)(y + n^2-4) = 0$.
$y$ ની કિંમત પાછી મૂકતા: $(x-n)(x^2 - 2nx + n^2 - 1)(x^2 - 2nx + n^2 - 4) = 0$.
આનું સાદું રૂપ $(x-n)((x-n)^2 - 1)((x-n)^2 - 4) = 0$ થાય છે.
$(x-n)(x-n-1)(x-n+1)(x-n-2)(x-n+2) = 0$.
બીજ $x = n, n+1, n-1, n+2, n-2$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $P = n(n+1)(n-1)(n+2)(n-2) = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$.
આ $5$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે,જે હંમેશા $5! = 120$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.

(A) આપેલ છે કે $2+\sqrt{3}$ એ $f(x)=x^4+2x^3-16x^2-22x+7=0$ નું બીજ છે.
સહગુણકો સંમેય હોવાથી,તેની અનુબદ્ધ સંખ્યા $2-\sqrt{3}$ પણ બીજ થશે.
ધારો કે $x=2+\sqrt{3}$,તો $(x-2)^2=3$,જેનું સાદું રૂપ $x^2-4x+1=0$ થાય છે.
$f(x)$ ને $x^2-4x+1$ વડે ભાગતા,ભાગફળ $x^2+6x+7$ મળે છે.
$x^2+6x+7=0$ માટે,દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36-28}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{8}}{2} = -3 \pm \sqrt{2}$.
$f(x)=0$ ના બીજ $2+\sqrt{3}, 2-\sqrt{3}, -3+\sqrt{2}, -3-\sqrt{2}$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$3-\sqrt{2}$ એ બીજ નથી.

(B) આપેલ છે,$x^2+|x-3|=4$.
કિસ્સો $I$: $x \ge 3$.
સમીકરણ $x^2 + x - 3 = 4$ બને છે,જેનું સાદુંરૂપ $x^2 + x - 7 = 0$ થાય છે.
ઉકેલ $x = \frac{-1 \pm \sqrt{29}}{2}$ મળે છે.
આ કિંમતો $x \ge 3$ ની શરતનું પાલન કરતી નથી.
કિસ્સો $II$: $x < 3$.
સમીકરણ $x^2 - (x - 3) = 4$ બને છે,જેનું સાદુંરૂપ $x^2 - x - 1 = 0$ થાય છે.
ઉકેલ $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ મળે છે.
બંને ઉકેલો $x < 3$ ની શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = 1$ થાય છે.

(B) ધારો કે સમીકરણ $2x^3 + ax^2 - 8x + b = 0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
દરેક બીજને $1$ થી ઘટાડતા,નવા બીજ $\alpha-1, \beta-1, \gamma-1$ મળે છે.
ધારો કે $y = x - 1$,તેથી $x = y + 1$.
મૂળ સમીકરણમાં $x = y + 1$ મૂકતા:
$2(y+1)^3 + a(y+1)^2 - 8(y+1) + b = 0$
$2(y^3 + 3y^2 + 3y + 1) + a(y^2 + 2y + 1) - 8(y + 1) + b = 0$
$2y^3 + (6 + a)y^2 + (6 + 2a - 8)y + (2 + a - 8 + b) = 0$.
આપેલ છે કે $y^2$ નો સહગુણક અને અચળ પદ શૂન્ય છે:
$6 + a = 0 \Rightarrow a = -6$.
$2 + a - 8 + b = 0$ $\Rightarrow 2 - 6 - 8 + b = 0$ $\Rightarrow b = 12$.
મૂળ સમીકરણ $2x^3 - 6x^2 - 8x + 12 = 0$ છે.
$2$ વડે ભાગતા,$x^3 - 3x^2 - 4x + 6 = 0$ મળે.
$x = 1$ એ બીજ છે $(1 - 3 - 4 + 6 = 0)$,તેથી $(x - 1)$ વડે ભાગતા:
$(x - 1)(x^2 - 2x - 6) = 0$.
બીજ $x = 1$ અને $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = 1 \pm \sqrt{7}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે,$(x-2)(x-3) = k^2$,જ્યાં $k \in R$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 5x + 6 - k^2 = 0$.
આને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1$,$b = -5$,અને $c = 6 - k^2$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $D = (-5)^2 - 4(1)(6 - k^2) = 25 - 24 + 4k^2 = 1 + 4k^2$.
દરેક $k \in R$ માટે $k^2 \ge 0$ હોવાથી,$1 + 4k^2 \ge 1$ થાય.
આમ,$D > 0$.
વિવેચક ધન હોવાથી,બીજ હંમેશા વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોય છે.

(C) આપેલ અસમતા $f(x) = 9mx - 1 + \frac{1}{x} \geq 0$ છે,જ્યાં $x > 0$.
$x$ વડે ગુણતા,$9mx^2 - x + 1 \geq 0$ મળે.
દ્વિઘાત પદાવલિ $ax^2 + bx + c \geq 0$ માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac \leq 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં $a = 9m$,$b = -1$,અને $c = 1$ છે.
વિવેચક $D = (-1)^2 - 4(9m)(1) = 1 - 36m$.
શરત મુજબ,$1 - 36m \leq 0 \implies 36m \geq 1 \implies m \geq \frac{1}{36}$.
તેથી,$m$ ની સૌથી નાની કિંમત $\frac{1}{36}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $|x|^2-5|x|+6=0$
ધારો કે $|x|=y$. કારણ કે $|x| \ge 0$,તેથી $y \ge 0$.
સમીકરણ $y^2-5y+6=0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $(y-2)(y-3)=0$.
આથી $y=2$ અથવા $y=3$ મળે છે.
$|x|=y$ પાછું મૂકતા:
કિસ્સો $1$: $|x|=2 \Rightarrow x = \pm 2$.
કિસ્સો $2$: $|x|=3 \Rightarrow x = \pm 3$.
આમ,વાસ્તવિક ઉકેલો $x \in \{-3, -2, 2, 3\}$ છે.
તેથી,વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા $4$ છે.

(C) આપેલ છે કે $3 \cos A + 2 = 0$,તેથી $\cos A = -\frac{2}{3}$.
ત્રિકોણના ખૂણા માટે $\sin A > 0$ હોવાથી,$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
તેથી,$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\sqrt{5}/3}{-2/3} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$.
બીજ $\alpha$ અને $\beta$ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ છે.
અહીં,$\alpha = \sin A = \frac{\sqrt{5}}{3}$ અને $\beta = \tan A = -\frac{\sqrt{5}}{2}$.
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{\sqrt{5}}{2} = -\frac{\sqrt{5}}{6}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha\beta = \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) \left(-\frac{\sqrt{5}}{2}\right) = -\frac{5}{6}$.
સમીકરણ $x^2 - (-\frac{\sqrt{5}}{6})x - \frac{5}{6} = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + \frac{\sqrt{5}}{6}x - \frac{5}{6} = 0$ થાય છે.
$6$ વડે ગુણતા,$6x^2 + \sqrt{5}x - 5 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2-6x+1=0$ ના બીજ છે.
ધારો કે $y = \frac{x}{x+1}$.
તેથી $y(x+1) = x$,જેનો અર્થ છે $yx + y = x$,અથવા $x(1-y) = y$,તેથી $x = \frac{y}{1-y}$.
આ કિંમતને મૂળ સમીકરણ $x^2-6x+1=0$ માં મૂકતા:
$(\frac{y}{1-y})^2 - 6(\frac{y}{1-y}) + 1 = 0$.
$(1-y)^2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$y^2 - 6y(1-y) + (1-y)^2 = 0$.
$y^2 - 6y + 6y^2 + 1 - 2y + y^2 = 0$.
$8y^2 - 8y + 1 = 0$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,માંગેલ સમીકરણ $8x^2-8x+1=0$ છે.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - px + q = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે,જ્યાં $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}^+$.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ:
$\alpha + \beta = p$ (બીજનો સરવાળો)
$\alpha \cdot \beta = q$ (બીજનો ગુણાકાર)
$q$ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી,તેના અવયવો માત્ર $1$ અને $q$ છે. તેથી,બીજ $1$ અને $q$ હોવા જોઈએ.
સરવાળાના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $1 + q = p$.
$p$ અને $q$ બંને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોવાથી,આપણે એવી બે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ શોધીએ જેનો તફાવત $1$ હોય. આવી માત્ર $2$ અને $3$ છે (જ્યાં $q=2$ અને $p=3$).
$p=3$ અને $q=2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2 - 3x + 2 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(x - 1)(x - 2) = 0$.
આમ,બીજ $1$ અને $2$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $(x-a)(x-a-1)+(x-a-1)(x-a-2)+(x-a)(x-a-2)=0$.
ધારો કે $t = x-a$. તો સમીકરણ $t(t-1)+(t-1)(t-2)+t(t-2)=0$ બને છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $(t^2-t) + (t^2-3t+2) + (t^2-2t) = 0$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા: $3t^2 - 6t + 2 = 0$.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(3)(2) = 36 - 24 = 12$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,$t$ ના બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે.
તેથી,કોઈપણ $a \in R$ માટે $x = a + t$ પણ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હશે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $m:n$ ના ગુણોત્તરમાં હોય તેની શરત $mnb^2 = ac(m+n)^2$ છે.
$(i)$ જો $\alpha = \beta$ હોય,તો ગુણોત્તર $1:1$ છે. સૂત્રમાં $m=1, n=1$ મૂકતા: $(1)(1)b^2 = ac(1+1)^2 \Rightarrow b^2 = 4ac$. જે $(E)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(ii)$ જો $\alpha = 2\beta$ હોય,તો ગુણોત્તર $2:1$ છે. $m=2, n=1$ મૂકતા: $(2)(1)b^2 = ac(2+1)^2 \Rightarrow 2b^2 = 9ac$. જે $(B)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(iii)$ જો $\alpha = 3\beta$ હોય,તો ગુણોત્તર $3:1$ છે. $m=3, n=1$ મૂકતા: $(3)(1)b^2 = ac(3+1)^2 \Rightarrow 3b^2 = 16ac$. જે $(D)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(iv)$ જો $\alpha = \beta^2$ હોય,તો $\alpha + \beta = -b/a$ અને $\alpha\beta = c/a$. $\alpha = \beta^2$ મૂકતા,આપણને $\beta^2 + \beta = -b/a$ અને $\beta^3 = c/a$ મળે. તેથી $\beta = (c/a)^{1/3}$. આ કિંમત સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $(c/a)^{2/3} + (c/a)^{1/3} = -b/a$. $a$ વડે ગુણતા: $(ac^2)^{1/3} + (a^2c)^{1/3} + b = 0$. જે $(A)$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચી જોડી $i-E, ii-B, iii-D, iv-A$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = x^4+4x^3-16x-16$.
બહુવિધ બીજ શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x) = 4x^3+12x^2-16$ મેળવીએ છીએ.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $4(x^3+3x^2-4) = 0$ મળે છે.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x=1$ એ $f'(x)$ નું બીજ છે,તેથી $(x-1)$ એક અવયવ છે.
$x^3+3x^2-4$ ને $(x-1)$ વડે ભાગતા,આપણને $(x-1)(x+2)^2 = 0$ મળે છે.
$f'(x)=0$ ના બીજ $x=1$ અને $x=-2$ છે.
$f(x)$ માં આ કિંમતો તપાસતા:
$f(1) = 1+4-16-16 = -27 \neq 0$.
$f(-2) = (-2)^4+4(-2)^3-16(-2)-16 = 16-32+32-16 = 0$.
$f(-2)=0$ અને $f'(-2)=0$ હોવાથી,$x=-2$ એ બહુવિધ બીજ છે.
વિકલ્પો તપાસતા,$x=-2$ એ $x^2+x-2=0$ નું બીજ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક અને સમાન હોય ત્યારે વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ થાય.
આપેલ સમીકરણ: $3x^2 + (2k + 1)x - 5k = 0$.
અહીં $a = 3$,$b = (2k + 1)$,અને $c = -5k$.
$D = (2k + 1)^2 - 4(3)(-5k) = 0$.
$4k^2 + 4k + 1 + 60k = 0$.
$4k^2 + 64k + 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$k = \frac{-64 \pm \sqrt{4080}}{8} = \frac{-16 \pm \sqrt{255}}{2}$.
શરત $-\frac{1}{2} < k < 0$ મુજબ,$k = \frac{-16 + \sqrt{255}}{2}$ એ સાચો જવાબ છે.

(C) ધારો કે $x_1, x_2, x_3$ એ $E_1: x^3+x^2+lx+n=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,$x_1+x_2+x_3 = -1$.
આપેલ છે કે $E_2: x^3+ax^2+bx+c=0$ એ પ્રથમ પ્રકારનું વ્યસ્ત સમીકરણ છે,તેથી $c=1$ અને $a=b$.
આમ,$E_2: x^3+ax^2+ax+1=0$.
$E_2$ ના બીજ $\frac{x_i-1}{2}$ છે.
$E_2$ ના બીજનો સરવાળો $\sum \frac{x_i-1}{2} = \frac{(x_1+x_2+x_3)-3}{2} = \frac{-1-3}{2} = -2$.
$E_2$ પરથી,બીજનો સરવાળો $-a$ છે,તેથી $-a = -2 \Rightarrow a=2$.
$E_2$ એ $x^3+2x^2+2x+1 = (x+1)(x^2+x+1) = 0$ બને છે.
$E_2$ ના બીજ $-1, \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ છે.
$\frac{x_i-1}{2} = y_i$ નો ઉપયોગ કરતા,$x_i = 2y_i+1$.
$y_1 = -1$ માટે,$x_1 = 2(-1)+1 = -1$.
$y_2 = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ માટે,$x_2 = 2(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2})+1 = i\sqrt{3}$.
$y_3 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ માટે,$x_3 = 2(\frac{-1-i\sqrt{3}}{2})+1 = -i\sqrt{3}$.
$E_1$ ના બીજ $\{-1, i\sqrt{3}, -i\sqrt{3}\}$ છે.
$E_2$ ના બીજ $\{-1, \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\}$ છે.
સામાન્ય બીજ $-1$ છે.
સામાન્ય બીજને બાદ કરતાં,બાકીના બીજ $\{i\sqrt{3}, -i\sqrt{3}, \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $3$ એ $x^2+kx-24=0$ સમીકરણનું બીજ છે.
$x=3$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(3)^2 + k(3) - 24 = 0$
$9 + 3k - 24 = 0$
$3k - 15 = 0$
$3k = 15 \Rightarrow k = 5$.
હવે,$k=5$ અને $x=3$ મૂકીને વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $C$ માટે: $x^2 - kx + 6 = 0$
$x=3$ અને $k=5$ મૂકતા:
$(3)^2 - (5)(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$.
આમ,$3$ એ $x^2-kx+6=0$ નું પણ બીજ છે.