Solution of quadratic equations and Nature of roots Questions in Gujarati

(A) આપેલ સમીકરણ $\sum_{k=0}^{n-1} (x+k)(x+k+2) = 4n$ છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $\sum_{k=0}^{n-1} (x^2 + (2k+2)x + k^2+2k) = 4n$.
આનું સાદું રૂપ $nx^2 + 2x \sum_{k=0}^{n-1} (k+1) + \sum_{k=0}^{n-1} (k^2+2k) = 4n$ થાય છે.
સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $nx^2 + 2x \cdot \frac{n(n+1)}{2} + [\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + 2 \frac{(n-1)n}{2}] = 4n$.
$n$ વડે ભાગતા: $x^2 + (n+1)x + \frac{(n-1)(2n-1) + 6(n-1) - 24}{6} = 0$.
બીજ $\alpha$ અને $\alpha+2$ છે,તેથી બીજનો તફાવત $2$ છે. આમ,$\sqrt{D} = 2a = 2$.
ગણતરી કરતા,વિકલ્પો મુજબ $n+\alpha$ ની સાચી કિંમત $0$ મળે છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બે ધન બીજ હોવા માટે,નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. વિવેચક $D \ge 0$: $D = (-3\lambda)^2 - 4(\lambda + 2)(4\lambda) = 9\lambda^2 - 16\lambda^2 - 32\lambda = -7\lambda^2 - 32\lambda \ge 0$. આનો અર્થ એ છે કે $\lambda(7\lambda + 32) \le 0$,તેથી $\lambda \in [-\frac{32}{7}, 0]$.
$2$. બીજનો ગુણાકાર $P = \frac{c}{a} > 0$: $\frac{4\lambda}{\lambda + 2} > 0$. આનો અર્થ એ છે કે $\lambda \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$.
$3$. બીજનો સરવાળો $S = -\frac{b}{a} > 0$: $\frac{3\lambda}{\lambda + 2} > 0$. આનો અર્થ એ છે કે $\lambda \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$.
આ શરતોને જોડતા: $\lambda \in [-\frac{32}{7}, -2)$.
આ અંતરાલમાં $\lambda$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $-4$ અને $-3$ છે.
આમ,$2$ શક્ય પૂર્ણાંક મૂલ્યો છે.