Argument of complex numbers Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $|{z_1} + {z_2}| = |{z_1}| + |{z_2}|$.
આ શરત સૂચવે છે કે સંકર સંખ્યાઓ ${z_1}$ અને ${z_2}$ સંકર સમતલમાં ઉગમબિંદુમાંથી નીકળતા એક જ કિરણ પર આવેલા છે.
ધારો કે ${z_1} = {r_1}(\cos{\theta_1} + i\sin{\theta_1})$ અને ${z_2} = {r_2}(\cos{\theta_2} + i\sin{\theta_2})$.
તેથી $|{z_1} + {z_2}|^2 = (|{z_1}| + |{z_2}|)^2 = |{z_1}|^2 + |{z_2}|^2 + 2|{z_1}||{z_2}|$.
વળી,$|{z_1} + {z_2}|^2 = (z_1 + z_2)(\overline{z_1} + \overline{z_2}) = |z_1|^2 + |z_2|^2 + z_1\overline{z_2} + \overline{z_1}z_2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2\text{Re}(z_1\overline{z_2})$.
આ બંનેની સરખામણી કરતા,$2\text{Re}(z_1\overline{z_2}) = 2|z_1||z_2|$,જેનો અર્થ છે કે $\cos(\theta_1 - \theta_2) = 1$.
આમ,$\theta_1 - \theta_2 = 0$,જે દર્શાવે છે કે $\text{arg}({z_1}) - \text{arg}({z_2}) = 0$.

(D) ધારો કે $z = 5 - \sqrt{3}i$.
સંકર સંખ્યા $z = x + iy$ નો કોણાંક (argument) $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$x = 5$ અને $y = -\sqrt{3}$ છે.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{5}\right) = \tan^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{5}\right)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ છે કે $|z| = 4$ અને $\text{arg}(z) = \frac{5\pi}{6} = 150^{\circ}$.
ધારો કે $z = x + iy = r(\cos \theta + i \sin \theta)$,જ્યાં $r = |z| = 4$ અને $\theta = \frac{5\pi}{6}$.
તેથી $x = r \cos \theta = 4 \cos(150^{\circ}) = 4 \times (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2\sqrt{3}$.
અને $y = r \sin \theta = 4 \sin(150^{\circ}) = 4 \times (\frac{1}{2}) = 2$.
તેથી,$z = -2\sqrt{3} + 2i$.

(C) આપેલ છે $z = \frac{1 - i\sqrt{3}}{1 + i\sqrt{3}}$.
છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(1 - i\sqrt{3})$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$z = \frac{(1 - i\sqrt{3})(1 - i\sqrt{3})}{(1 + i\sqrt{3})(1 - i\sqrt{3})} = \frac{1 - 3 - 2i\sqrt{3}}{1 + 3} = \frac{-2 - 2i\sqrt{3}}{4} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
આ સંકર સંખ્યા $z = x + iy$ ત્રીજા ચરણમાં આવેલી છે $(x < 0, y < 0)$,તેથી કોણાંક $\pi + \tan^{-1}(\frac{y}{x})$ દ્વારા મળે છે.
$arg(z) = 180^\circ + \tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}/2}{-1/2}\right) = 180^\circ + \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 180^\circ + 60^\circ = 240^\circ$.
વૈકલ્પિક રીતે,$arg(\frac{z_1}{z_2}) = arg(z_1) - arg(z_2)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$arg(z) = arg(1 - i\sqrt{3}) - arg(1 + i\sqrt{3}) = -60^\circ - 60^\circ = -120^\circ$.
$-120^\circ$ એ $360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$ ને સમાન છે,તેથી સાચો જવાબ $240^\circ$ છે.

(B) ધારો કે $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$.
તેથી,$z$ નો અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $\overline{z} = r(\cos \theta - i \sin \theta)$ છે.
$\cos(-\theta) = \cos \theta$ અને $\sin(-\theta) = -\sin \theta$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ કે $\overline{z} = r(\cos(-\theta) + i \sin(-\theta))$.
તેથી,$arg(\overline{z}) = -\theta$.

(B) આપેલ છે $z = \sin \alpha i(1 - \cos \alpha )$.
સંકર સંખ્યા $z = x iy$ નો કંપનવિસ્તાર $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$x = \sin \alpha$ અને $y = 1 - \cos \alpha$.
તેથી,$\text{amp}(z) = \tan^{-1}\left(\frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}\right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \cos \alpha = 2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ અને $\sin \alpha = 2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\text{amp}(z) = \tan^{-1}\left(\frac{2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\right) = \tan^{-1}\left(\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) = \frac{\alpha}{2}$.

(A) ધારો કે $z = \frac{1 + i\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}$.
અહીં વાસ્તવિક ભાગ $\frac{1}{\sqrt{3} + 1}$ અને કાલ્પનિક ભાગ $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}$ છે,જે બંને ધન છે.
તેથી,$z$ પ્રથમ ચરણમાં છે.
કોણ (amplitude) $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)}\right)$ દ્વારા મળે છે.
$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}/(\sqrt{3} + 1)}{1/(\sqrt{3} + 1)}\right) = \tan^{-1}(\sqrt{3})$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) ધારો કે $z = -1 + i\sqrt{3}$.
અહીં,વાસ્તવિક ભાગ $x = -1$ અને કાલ્પનિક ભાગ $y = \sqrt{3}$ છે.
જેથી $x < 0$ અને $y > 0$ હોવાથી,આ સંકર સંખ્યા બીજા ચરણમાં આવેલી છે.
કોણાંક $\theta$ એ $\theta = 180^\circ - \tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right|$ દ્વારા મળે છે.
$\theta = 180^\circ - \tan^{-1}\left|\frac{\sqrt{3}}{-1}\right| = 180^\circ - \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

(C) ધારો કે $z = \frac{3 + i}{2 - i} + \frac{3 - i}{2 + i}$.
સૌ પ્રથમ,સામાન્ય છેદ મેળવીને પદાવલિનું સાદું રૂપ આપો:
$z = \frac{(3 + i)(2 + i) + (3 - i)(2 - i)}{(2 - i)(2 + i)}$
$z = \frac{(6 + 3i + 2i + i^2) + (6 - 3i - 2i + i^2)}{4 - i^2}$
$i^2 = -1$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$z = \frac{(6 + 5i - 1) + (6 - 5i - 1)}{4 - (-1)}$
$z = \frac{5 + 5i + 5 - 5i}{5} = \frac{10}{5} = 2$.
હવે,$z = 2$ નો કોણાંક (argument) શોધો:
$arg(2) = 0$ (કારણ કે $2$ એ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે સંકર સંખ્યાઓના ગુણાકારનો આર્ગ્યુમેન્ટ $arg(z_1 \cdot z_2 \cdot \dots \cdot z_n) = arg(z_1) + arg(z_2) + \dots + arg(z_n) + 2k\pi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ પૂર્ણાંક છે.
તેથી,સરવાળો $\sum_{i=1}^{n} arg(z_i)$ અને $arg(z)$ વચ્ચેનો તફાવત $2\pi$ નો પૂર્ણાંક ગુણક હોય છે.

(B) ધારો કે $z = 0 + ib$,જ્યાં $b > 0$ છે.
કારણ કે $z$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે અને તેનો કાલ્પનિક ભાગ ધન છે,તે સંકર સમતલમાં ધન $y$-અક્ષ પર આવેલું છે.
ધન $y$-અક્ષ પર આવેલી કોઈપણ સંકર સંખ્યાનો કોણાંક (argument) $\frac{\pi}{2}$ થાય છે.

(D) ધારો કે $z = 0 + ib$,જ્યાં $b < 0$ છે.
$z$ એ ઋણ કાલ્પનિક ભાગ ધરાવતી શુદ્ધ કાલ્પનિક સંખ્યા હોવાથી,તે $y$-અક્ષની ઋણ દિશા પર આવેલું છે.
$y$-અક્ષની ઋણ દિશા પર આવેલી કોઈપણ સંકર સંખ્યાનો કોણાંક (argument) $-\frac{\pi}{2}$ થાય છે.
તેથી,$\arg(z) = -\frac{\pi}{2}$.

(A) ધારો કે $z = a + i0$,જ્યાં $a < 0$.
કારણ કે $z$ એ ઋણ વાસ્તવિક ભાગ ધરાવતી શુદ્ધ વાસ્તવિક સંખ્યા છે,તે સંકર સમતલમાં $x$-અક્ષની ઋણ બાજુ પર આવેલું છે.
$x$-અક્ષની ઋણ બાજુ પરના કોઈપણ બિંદુનો કોણાંક (argument) $\pi$ હોય છે.
તેથી,$\text{arg}(z) = \pi$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $|z_1 - z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 - 2|z_1||z_2| \cos(\theta_1 - \theta_2)$,જ્યાં $\theta_1 = \arg(z_1)$ અને $\theta_2 = \arg(z_2)$ છે.
આપેલ છે કે $\arg(z_1/z_2) = 0$,તેથી $\arg(z_1) - \arg(z_2) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta_1 - \theta_2 = 0$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$|z_1 - z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 - 2|z_1||z_2| \cos(0)$
$|z_1 - z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 - 2|z_1||z_2|$
$|z_1 - z_2|^2 = (|z_1| - |z_2|)^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|z_1 - z_2| = ||z_1| - |z_2||$ મળે છે.

(C) ધારો કે $z = x + iy$. આપેલ છે કે $0 < \text{amp}(z) < \pi$,તેથી સંકર સંખ્યા $z$ એ ઉપરના અર્ધતલમાં છે.
જો $\text{amp}(z) = \theta$ હોય,તો $\text{amp}(-z) = \text{amp}(-(x + iy)) = \text{amp}(-x - iy)$ થાય.
$0 < \text{amp}(z) < \pi$ હોવાથી,$\text{amp}(-z) = \text{amp}(z) - \pi$ થાય.
તેથી,$\text{amp}(z) - \text{amp}(-z) = \text{amp}(z) - (\text{amp}(z) - \pi) = \pi$.

(D) આપેલ છે $z = 1 - \cos \alpha + i \sin \alpha$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$ અને $\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$z = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} + i (2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}) = 2 \sin \frac{\alpha}{2} (\sin \frac{\alpha}{2} + i \cos \frac{\alpha}{2})$.
કારણ કે $\sin \frac{\alpha}{2} + i \cos \frac{\alpha}{2} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}) + i \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2})$.
તેથી,$\text{amp } z = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{amp}\left( \frac{z_1}{z_2} \right) = \text{amp}(z_1) - \text{amp}(z_2)$.
વળી,$\text{amp}(\bar{z}) = -\text{amp}(z)$.
તેથી,$\text{amp}\left( \frac{z_1}{\bar{z}_2} \right) = \text{amp}(z_1) - \text{amp}(\bar{z}_2)$.
કારણ કે $\text{amp}(\bar{z}_2) = -\text{amp}(z_2)$,આપણને $\text{amp}(z_1) - (-\text{amp}(z_2)) = \text{amp}(z_1) + \text{amp}(z_2) = \text{amp}(z_1 z_2)$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $(C)$ સાચું પદ છે.

(B) ધારો કે $z = \frac{13 - 5i}{4 - 9i}$.
સરળ બનાવવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(4 + 9i)$ વડે ગુણો:
$z = \frac{(13 - 5i)(4 + 9i)}{(4 - 9i)(4 + 9i)}$
$z = \frac{52 + 117i - 20i - 45i^2}{16 + 81}$
$z = \frac{52 + 97i + 45}{97} = \frac{97 + 97i}{97} = 1 + i$
$z = 1 + i$ નો કોણાંક $\theta = \tan^{-1}(\frac{1}{1}) = \frac{\pi}{4}$ છે.

(A) ધારો કે $z = \frac{1 - i}{1 + i}$.
સરળ બનાવવા માટે,અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $(1 - i)$ વડે ગુણો:
$z = \frac{1 - i}{1 + i} \times \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{(1 - i)^2}{1^2 - i^2} = \frac{1 - 2i + i^2}{1 - (-1)} = \frac{1 - 2i - 1}{2} = \frac{-2i}{2} = -i$.
સંકર સંખ્યા $z = 0 - i$ છે.
અહીં વાસ્તવિક ભાગ $0$ છે અને કાલ્પનિક ભાગ $-1$ છે,તેથી તે બિંદુ ઋણ કાલ્પનિક અક્ષ પર આવેલું છે.
તેથી,સંકર સંખ્યાનો કંપનવિસ્તાર $-\frac{\pi}{2}$ થાય.

(A) ધારો કે $z = \frac{1 + \sqrt{3}i}{\sqrt{3} + i}$.
કોણીય ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\text{amp}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \text{amp}(z_1) - \text{amp}(z_2)$.
$\text{amp}(1 + \sqrt{3}i) = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}$.
$\text{amp}(\sqrt{3} + i) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$.
તેથી,$\text{amp}(z) = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.

(D) સંકર સંખ્યા $z = 0$ ને $0 + 0i$ તરીકે લખી શકાય છે.
કોઈપણ સંકર સંખ્યા $z = x + iy$ માટે,કંપનવિસ્તાર (અથવા આર્ગ્યુમેન્ટ) $\theta = \tan^{-1}(y/x)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $z \neq 0$ હોય.
અહીં $x = 0$ અને $y = 0$ હોવાથી,ગુણોત્તર $y/x$ એ $0/0$ થાય છે,જે અનિશ્ચિત છે.
તેથી,$0$ નો કંપનવિસ્તાર વ્યાખ્યાયિત નથી.

(D) ધારો કે $z = \frac{1 + \sqrt{3}i}{\sqrt{3} - i}$.
છેદના અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $\sqrt{3} + i$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$z = \frac{1 + \sqrt{3}i}{\sqrt{3} - i} \times \frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} + i}$
$z = \frac{\sqrt{3} + i + 3i + \sqrt{3}i^2}{3 - i^2}$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$z = \frac{\sqrt{3} + 4i - \sqrt{3}}{3 + 1} = \frac{4i}{4} = i$
હવે,$z = 0 + 1i$. તેથી $z = i$ નો કંપનવિસ્તાર $\theta = \tan^{-1}(\frac{1}{0}) = \pi / 2$ થાય.

(C) આપેલ છે $z = \frac{-2}{1 + \sqrt{3}i}$.
અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(1 - \sqrt{3}i)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{-2(1 - \sqrt{3}i)}{(1 + \sqrt{3}i)(1 - \sqrt{3}i)} = \frac{-2 + 2\sqrt{3}i}{1 + 3} = \frac{-2 + 2\sqrt{3}i}{4}$.
$z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$.
અહીં વાસ્તવિક ભાગ ઋણ છે અને કાલ્પનિક ભાગ ધન છે,તેથી $z$ બીજા ચરણમાં છે.
$arg(z) = \pi - \tan^{-1}\left|\frac{\sqrt{3}/2}{-1/2}\right| = \pi - \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

(C) ધારો કે $z = \sin \frac{\pi}{5} + i(1 - \cos \frac{\pi}{5})$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ અને $1 - \cos 2\theta = 2\sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$z = 2\sin \frac{\pi}{10} \cos \frac{\pi}{10} + i(2\sin^2 \frac{\pi}{10})$
$z = 2\sin \frac{\pi}{10} (\cos \frac{\pi}{10} + i\sin \frac{\pi}{10})$
અહીં $2\sin \frac{\pi}{10} > 0$ હોવાથી,કોણાંક (amplitude) $\theta$ નીચે મુજબ મળે:
$\tan \theta = \frac{\sin(\pi/10)}{\cos(\pi/10)} = \tan \frac{\pi}{10}$
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{10}$.

(D) ધારો કે $z = -1 - i\sqrt{3}$.
અહીં,વાસ્તવિક ભાગ $a = -1$ અને કાલ્પનિક ભાગ $b = -\sqrt{3}$ છે.
પ્રથમ,આપણે સંદર્ભ ખૂણો $\alpha = \tan^{-1}\left|\frac{b}{a}\right| = \tan^{-1}\left|\frac{-\sqrt{3}}{-1}\right| = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$ શોધીએ.
$a < 0$ અને $b < 0$ હોવાથી,સંકર સંખ્યા $z$ એ $III$ ચરણમાં આવેલી છે.
$III$ ચરણમાં રહેલી સંકર સંખ્યા માટે કોણાંક $\theta = -(\pi - \alpha)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\theta = -(\pi - \frac{\pi}{3}) = -(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{2\pi}{3}$.

(B) ધારો કે $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$,જ્યાં $\theta = \arg(z)$.
ધારો કે બીજી સંકર સંખ્યા $w = R(\cos \phi + i \sin \phi)$ છે,જ્યાં $\phi = \arg(w)$.
આપેલ છે કે $\arg(z) + \arg(w) = \pi$,તેથી $\theta + \phi = \pi$,જેનો અર્થ છે કે $\phi = \pi - \theta$.
આમ,$w = R(\cos(\pi - \theta) + i \sin(\pi - \theta)) = R(-\cos \theta + i \sin \theta)$.
જો આપણે $z = x + iy$ લઈએ,તો $\bar{z} = x - iy = r(\cos \theta - i \sin \theta)$.
તેથી $-\bar{z} = -x + iy = r(-\cos \theta + i \sin \theta)$.
આને $w$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $w = -\bar{z}$ (ધારી લઈએ કે $R=r$).

(C) આપેલ સંકર સંખ્યા $z = -1 + i\sqrt{3}$ છે.
તેને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં $z = r(\cos \theta + i\sin \theta) = re^{i\theta}$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા:
$r\cos \theta = -1$ અને $r\sin \theta = \sqrt{3}$.
અહીં વાસ્તવિક ભાગ ઋણ અને કાલ્પનિક ભાગ ધન હોવાથી,સંકર સંખ્યા બીજા ચરણમાં આવે છે.
$\tan \theta = \frac{r\sin \theta}{r\cos \theta} = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}$.
બીજા ચરણમાં,$\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
આમ,$\theta = \frac{2\pi}{3}$.

(B) ધારો કે $z = {e^{{e^{ - i\theta }}}} = {e^{\cos \theta - i\sin \theta }} = {e^{\cos \theta }}{e^{ - i\sin \theta }}$.
$z = {e^{\cos \theta }}[\cos (\sin \theta ) - i\sin (\sin \theta )]$.
$z = {e^{\cos \theta }}\cos (\sin \theta ) - i{e^{\cos \theta }}\sin (\sin \theta )$.
$amp(z) = {\tan ^{ - 1}}\left[ { - \frac{{{e^{\cos \theta }}\sin (\sin \theta )}}{{{e^{\cos \theta }}\cos (\sin \theta )}}} \right]$.
$amp(z) = {\tan ^{ - 1}}[\tan ( - \sin \theta )] = - \sin \theta $.

(D) ધારો કે $z = x + iy$. તેથી $z - a = (x - a) + iy$.
આપેલ છે કે $arg(z - a) = \frac{\pi}{4}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\tan^{-1}\left(\frac{y}{x - a}\right) = \frac{\pi}{4}$,જ્યાં $x > a$.
તેથી,$\frac{y}{x - a} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
આ સમીકરણ $y = x - a$ અથવા $x - y - a = 0$ માં પરિણમે છે,જે $(a, 0)$ બિંદુથી શરૂ થતી એક કિરણ દર્શાવે છે.
આ એક રેખાનો ભાગ હોવાથી,બિંદુપથ એક સીધી રેખા છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{4(\cos 75^o + i\sin 75^o)}{0.4(\cos 30^o + i\sin 30^o)}$
$= \frac{4}{0.4} \times \frac{\cos 75^o + i\sin 75^o}{\cos 30^o + i\sin 30^o}$
$= 10 [\cos(75^o - 30^o) + i\sin(75^o - 30^o)]$
$= 10(\cos 45^o + i\sin 45^o)$
$= 10(\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}})$
$= \frac{10}{\sqrt{2}}(1 + i)$

(B) આપેલ છે કે $\sqrt{3} + i = (a + ib)(c + id)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,$\sqrt{3} + i = (ac - bd) + i(ad + bc)$ મળે.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,$ac - bd = \sqrt{3}$ અને $ad + bc = 1$ મળે.
આપણે $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{d}{c}\right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(y) = n\pi + \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\theta = n\pi + \tan^{-1}\left(\frac{\frac{b}{a} + \frac{d}{c}}{1 - \frac{b}{a} \cdot \frac{d}{c}}\right) = n\pi + \tan^{-1}\left(\frac{bc + ad}{ac - bd}\right)$.
કિંમતો મુકતા,$\theta = n\pi + \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$ હોવાથી,જવાબ $n\pi + \frac{\pi}{6}, n \in I$ મળે.

(A) આપેલ છે કે ${z_1}, {z_2}$ અનુબદ્ધ છે,તેથી ${z_2} = \overline{z_1}$.
આપેલ છે કે ${z_3}, {z_4}$ અનુબદ્ધ છે,તેથી ${z_4} = \overline{z_3}$.
આપણે $arg\left( \frac{z_1}{z_4} \right) + arg\left( \frac{z_2}{z_3} \right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ગુણધર્મ $arg(a) + arg(b) = arg(ab)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$arg\left( \frac{z_1}{z_4} \cdot \frac{z_2}{z_3} \right) = arg\left( \frac{z_1 z_2}{z_3 z_4} \right)$.
કારણ કે ${z_1} \overline{z_1} = |z_1|^2$,તેથી ${z_1} {z_2} = |z_1|^2$ અને ${z_3} {z_4} = |z_3|^2$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $arg\left( \frac{|z_1|^2}{|z_3|^2} \right) = arg\left( \left| \frac{z_1}{z_3} \right|^2 \right)$ મળે છે.
કારણ કે $\left| \frac{z_1}{z_3} \right|^2$ એ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે,તેનો કોણાંક (argument) $0$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $\text{arg}(zw) = \pi$ $(i)$
$\overline{z} + i\overline{w} = 0$ $\Rightarrow \overline{z} = -i\overline{w}$ $\Rightarrow z = i w$ $\Rightarrow w = -iz$
$w = -iz$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$\text{arg}(z(-iz)) = \pi$
$\text{arg}(-iz^2) = \pi$
$\text{arg}(-i) + \text{arg}(z^2) = \pi$
$\text{arg}(-i) + 2\text{arg}(z) = \pi$
કારણ કે $\text{arg}(-i) = -\pi / 2$,તેથી:
$-\pi / 2 + 2\text{arg}(z) = \pi$
$2\text{arg}(z) = 3\pi / 2$
$\text{arg}(z) = 3\pi / 4$

(C) આપેલ છે કે $|z| = 1$ અને $\text{arg}(z) = \theta$,તેથી આપણે $z = e^{i\theta}$ લખી શકીએ.
$|z| = 1$ હોવાથી,$\bar{z} = \frac{1}{z}$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1+z}{1+\bar{z}} = \frac{1+z}{1+\frac{1}{z}} = \frac{1+z}{\frac{z+1}{z}} = z$.
તેથી,$\text{arg}\left( \frac{1+z}{1+\bar{z}} \right) = \text{arg}(z) = \theta$.

(C) સંકર સંખ્યાનો મુખ્ય કોણાંક $(-\pi, \pi]$ અંતરાલમાં હોય છે.
આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $z_1$ અને $z_2$ ના મુખ્ય કોણાંક છે,તેથી $z_1 z_2$ નો કોણાંક $\text{arg}(z_1 z_2) = \alpha + \beta$ થાય.
અહીં $-\pi < \alpha \le \pi$ અને $-\pi < \beta \le \pi$ હોવાથી,તેમનો સરવાળો $\alpha + \beta$ એ $(-2\pi, 2\pi]$ અંતરાલમાં હોય.
આપણને શરત $\alpha + \beta > \pi$ આપેલી છે.
મુખ્ય કોણાંકના અંતરાલ $(-\pi, \pi]$ માં લાવવા માટે,આપણે સરવાળામાંથી $2\pi$ બાદ કરીશું.
તેથી,$z_1 z_2$ નો મુખ્ય કોણાંક $\alpha + \beta - 2\pi$ થાય.

(C) ધારો કે $z = \sin \frac{6\pi}{5} + i(1 + \cos \frac{6\pi}{5})$.
નિત્યસમ $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ અને $1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$z = 2 \cos \frac{3\pi}{5} (\sin \frac{3\pi}{5} + i \cos \frac{3\pi}{5})$
અહીં વાસ્તવિક ભાગ ઋણ હોવાથી,કોણાંક $\theta = \pi - \frac{\pi}{10} = \frac{9\pi}{10}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $E = Arg\left( -i e^{i\frac{\pi}{9}} z^2 \right) + 2Arg\left( 2i e^{-i\frac{\pi}{18}} \bar{z} \right)$.
ગુણધર્મ $Arg(z_1 z_2) = Arg(z_1) + Arg(z_2) \pmod{2\pi}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = Arg(-i) + Arg(e^{i\frac{\pi}{9}}) + Arg(z^2) + 2[Arg(2i) + Arg(e^{-i\frac{\pi}{18}}) + Arg(\bar{z})]$.
અહીં $Arg(-i) = -\frac{\pi}{2}$,$Arg(e^{i\frac{\pi}{9}}) = \frac{\pi}{9}$,$Arg(z^2) = 2Arg(z)$,
$Arg(2i) = \frac{\pi}{2}$,$Arg(e^{-i\frac{\pi}{18}}) = -\frac{\pi}{18}$,અને $Arg(\bar{z}) = -Arg(z)$ હોવાથી:
$E = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{9} + 2Arg(z) + 2[\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{18} - Arg(z)]$.
$E = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{9} + 2Arg(z) + \pi - \frac{\pi}{9} - 2Arg(z)$.
$E = -\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{\pi}{2}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $|z_1 + z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2|z_1||z_2| \cos(\theta)$,જ્યાં $\theta = |Arg(z_1) - Arg(z_2)|$ છે.
આપેલ છે કે $|z_1| = \sqrt{2}$,$|z_2| = \sqrt{3}$,અને $|z_1 + z_2| = \sqrt{5 - 2\sqrt{3}}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$5 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{2})(\sqrt{3}) \cos(\theta)$
$5 - 2\sqrt{3} = 2 + 3 + 2\sqrt{6} \cos(\theta)$
$5 - 2\sqrt{3} = 5 + 2\sqrt{6} \cos(\theta)$
$-2\sqrt{3} = 2\sqrt{6} \cos(\theta)$
$\cos(\theta) = \frac{-2\sqrt{3}}{2\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
તેથી,$\theta = \frac{3\pi}{4}$ મળે છે.

(D) ધારો કે $z = x + iy$.
$|z + \bar{z}| = 4$ આપેલ હોવાથી,$|2x| = 4$,જેનો અર્થ છે કે $x = \pm 2$.
$|z - \bar{z}| = 2$ આપેલ હોવાથી,$|2iy| = 2$,જેનો અર્થ છે કે $|y| = 1$,તેથી $y = \pm 1$.
$z$ માટે શક્ય કિંમતો $2+i, 2-i, -2+i, -2-i$ છે.
કોણ $\theta = Amp(z)$ માટે $\tan \theta = \frac{y}{x} = \pm \frac{1}{2}$ થાય છે.
$z = 2+i$ માટે,$\tan \theta = 1/2 \Rightarrow \theta \in (0, \pi/6)$.
$z = 2-i$ માટે,$\tan \theta = -1/2 \Rightarrow \theta \in (-\pi/6, 0)$.
$z = -2+i$ માટે,$\tan \theta = -1/2 \Rightarrow \theta \in (5\pi/6, \pi)$.
$z = -2-i$ માટે,$\tan \theta = 1/2 \Rightarrow \theta \in (-\pi, -5\pi/6)$.
આ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$(\pi/6, \pi/4)$ નો વિસ્તાર $Amp(z)$ દ્વારા ક્યારેય પ્રાપ્ત થતો નથી.

(A) આપેલ છે કે માનાંક $r = |z| = 4$ અને કોણાંક $\theta = \text{arg}(z) = \frac{5\pi}{6}$ છે.
સંકર સંખ્યાનું ધ્રુવીય સ્વરૂપ $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$z = 4 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$ થાય.
તેથી,$z = 4 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right)$.
$z = -2\sqrt{3} + 2i$.

(A) ધારો કે $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$,જ્યાં $\theta = \arg(z)$.
આપેલ છે કે $\arg(z) = \theta < 0$.
તેથી $-z = -r(\cos \theta + i \sin \theta) = r(\cos(\theta + \pi) + i \sin(\theta + \pi))$.
આમ,$\arg(-z) = \theta + \pi$ (જો $\theta + \pi \le \pi$) અથવા $\theta - \pi$ (જો $\theta + \pi > \pi$).
કારણ કે $-\pi < \theta < 0$,તેથી $0 < \theta + \pi < \pi$.
તેથી,$\arg(-z) = \theta + \pi$.
હવે,$\arg(-z) - \arg(z) = (\theta + \pi) - \theta = \pi$.

(C) ધારો કે $z = (1 + \cos 2\alpha) + i \sin 2\alpha$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha$ અને $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.
તેથી,$z = 2 \cos^2 \alpha + i(2 \sin \alpha \cos \alpha) = 2 \cos \alpha (\cos \alpha + i \sin \alpha)$.
આપેલ છે કે $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2}$,તેથી $\cos \alpha$ ઋણ છે. આમ,માનાંક $|z|$ ધન હોવો જોઈએ.
$|z| = |2 \cos \alpha| = -2 \cos \alpha$.
$z$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપ $r(\cos \theta + i \sin \theta)$ માં દર્શાવવા માટે,જ્યાં $r > 0$:
$z = -2 \cos \alpha (-\cos \alpha - i \sin \alpha)$.
કારણ કે $-\cos \alpha = \cos(\alpha - \pi)$ અને $-\sin \alpha = \sin(\alpha - \pi)$,
$z = -2 \cos \alpha (\cos(\alpha - \pi) + i \sin(\alpha - \pi))$.
તેથી,માનાંક $-2 \cos \alpha$ છે અને કોણાંક $\alpha - \pi$ છે.

(C) બે સંકર સંખ્યાઓ $z_1 = a + ib$ અને $z_2 = c + id$ એકબીજાની અનુબદ્ધ હોય જો $a = c$ અને $b = -d$ થાય.
આપેલ છે $z_1 = 5 + i(x^3y^2)$ અને $z_2 = (x^3 + y^2) + 6i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા: $x^3 + y^2 = 5$ અને $x^3y^2 = -6$.
ધારો કે $u = x^3$ અને $v = y^2$. તેથી $u + v = 5$ અને $uv = -6$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - 5t - 6 = 0$ ઉકેલતા,$(t - 6)(t + 1) = 0$,તેથી $t = 6$ અથવા $t = -1$.
$y^2 = v$ એ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $y^2 = 6$ અને $x^3 = -1$,જેનો અર્થ છે $x = -1$.
તેથી $\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{\pm \sqrt{6}}{-1} = \mp \sqrt{6}$.
આમ,$\tan^2 \theta = (\mp \sqrt{6})^2 = 6$.

(A) પદાવલિ $\arg \left( \frac{z_1}{z_4} \right) + \arg \left( \frac{z_2}{z_3} \right)$ ને ધ્યાનમાં લો.
ગુણધર્મ $\arg \left( \frac{a}{b} \right) = \arg(a) - \arg(b)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$= \arg(z_1) - \arg(z_4) + \arg(z_2) - \arg(z_3)$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$= (\arg(z_1) + \arg(z_2)) - (\arg(z_3) + \arg(z_4))$
આપેલ છે કે $(z_1, z_2)$ અને $(z_3, z_4)$ એ સંકર સંખ્યાઓની અનુબદ્ધ જોડીઓ છે,તેથી $z_2 = \bar{z}_1$ અને $z_4 = \bar{z}_3$ થાય.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$= (\arg(z_1) + \arg(\bar{z}_1)) - (\arg(z_3) + \arg(\bar{z}_3))$
કારણ કે $\arg(\bar{z}) = -\arg(z)$,તેથી:
$= (\arg(z_1) - \arg(z_1)) - (\arg(z_3) - \arg(z_3))$
$= 0 - 0 = 0$.

(B) ધારો કે $z = x + iy$,તો $\bar{z} = x - iy$.
આપેલ છે $z = 1 - \bar{z}$,તેથી $x + iy = 1 - (x - iy) = 1 - x + iy$.
વાસ્તવિક ભાગોને સરખાવતા,$x = 1 - x$,જે $2x = 1$ આપે છે,તેથી $x = \frac{1}{2}$.
$|z| = 1$ હોવાથી,$x^2 + y^2 = 1$.
$x = \frac{1}{2}$ મૂકતા,$\frac{1}{4} + y^2 = 1$,તેથી $y^2 = \frac{3}{4}$,જે $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ આપે છે.
આમ,$z = \frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$z$ નો કાલ્પનિક ભાગ હોવાથી,વિધાન $1$ ખોટું છે.
મુખ્ય કોણાંક $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{y}{x}$ દ્વારા મળે છે.
$z = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ માટે,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
$z = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ માટે,$\theta = \tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
પ્રશ્ન એક ચોક્કસ કિંમત સૂચવે છે,અને $\frac{\pi}{3}$ એ $z$ ની શક્ય કિંમતોમાંની એક માટે માન્ય મુખ્ય કોણાંક છે,તેથી વિધાન $2$ સાચું છે.
તેથી,વિધાન $1$ ખોટું છે અને વિધાન $2$ સાચું છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + x + 1 = 0$ ના બીજ એકમના સંકર ઘનમૂળ $\omega$ અને $\omega^2$ છે.
આપેલ છે કે $z = 3 + 6iz_0^{81} - 3iz_0^{93}$.
$\omega^3 = 1$ હોવાથી,$z_0^{81} = (z_0^3)^{27} = 1^{27} = 1$ અને $z_0^{93} = (z_0^3)^{31} = 1^{31} = 1$ થાય.
આ કિંમતો $z$ માં મૂકતા:
$z = 3 + 6i(1) - 3i(1) = 3 + 3i$.
$\arg(z)$ શોધવા માટે,$x > 0$ માટે $\arg(x + iy) = \tan^{-1}(\frac{y}{x})$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\arg(z) = \tan^{-1}(\frac{3}{3}) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(C) ધારો કે $z = \frac{3 + i \sin \theta}{4 - i \cos \theta}$. $z$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવા માટે,તેનો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $(4 + i \cos \theta)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(3 + i \sin \theta)(4 + i \cos \theta)}{16 + \cos^2 \theta} = \frac{12 - \sin \theta \cos \theta + i(3 \cos \theta + 4 \sin \theta)}{16 + \cos^2 \theta}$.
કાલ્પનિક ભાગ $3 \cos \theta + 4 \sin \theta = 0$ હોવાથી,$\tan \theta = -\frac{3}{4}$.
$\sin \theta + i \cos \theta$ નો કોણાંક શોધતા,તે $\pi - \tan^{-1}(\frac{4}{3})$ મળે છે.

(A) આપેલ સંકર સંખ્યા $z = \frac{-16}{1+i \sqrt{3}}$ છે.
અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $1-i \sqrt{3}$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{-16(1-i \sqrt{3})}{(1+i \sqrt{3})(1-i \sqrt{3})} = \frac{-16(1-i \sqrt{3})}{1^2 - (i \sqrt{3})^2} = \frac{-16(1-i \sqrt{3})}{1+3} = \frac{-16(1-i \sqrt{3})}{4} = -4 + i 4 \sqrt{3}$.
ધારો કે $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$,જ્યાં $r = \sqrt{(-4)^2 + (4 \sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8$.
તેથી $\cos \theta = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$ અને $\sin \theta = \frac{4 \sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\cos \theta < 0$ અને $\sin \theta > 0$ હોવાથી,$\theta$ બીજા ચરણમાં છે.
$\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2 \pi}{3}$.
આમ,ધ્રુવીય સ્વરૂપ $8\left(\cos \frac{2 \pi}{3} + i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)$ છે.