Argument of complex numbers Questions in Hindi

(D) दिया गया है कि $|{z_1} + {z_2}| = |{z_1}| + |{z_2}|$.
यह शर्त दर्शाती है कि सम्मिश्र संख्याएँ ${z_1}$ और ${z_2}$ सम्मिश्र तल में मूल बिंदु से निकलने वाली एक ही किरण पर स्थित हैं।
माना ${z_1} = {r_1}(\cos{\theta_1} + i\sin{\theta_1})$ और ${z_2} = {r_2}(\cos{\theta_2} + i\sin{\theta_2})$।
तब $|{z_1} + {z_2}|^2 = (|{z_1}| + |{z_2}|)^2 = |{z_1}|^2 + |{z_2}|^2 + 2|{z_1}||{z_2}|$।
साथ ही,$|{z_1} + {z_2}|^2 = (z_1 + z_2)(\overline{z_1} + \overline{z_2}) = |z_1|^2 + |z_2|^2 + z_1\overline{z_2} + \overline{z_1}z_2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2\text{Re}(z_1\overline{z_2})$।
इनकी तुलना करने पर,$2\text{Re}(z_1\overline{z_2}) = 2|z_1||z_2|$,जिसका अर्थ है कि $\cos(\theta_1 - \theta_2) = 1$।
अतः,$\theta_1 - \theta_2 = 0$,जो दर्शाता है कि $\text{arg}({z_1}) - \text{arg}({z_2}) = 0$।

(D) माना $z = 5 - \sqrt{3}i$ है।
सम्मिश्र संख्या $z = x + iy$ का कोणांक (argument) $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$x = 5$ और $y = -\sqrt{3}$ है।
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{5}\right) = \tan^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{5}\right)$ है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया है $|z| = 4$ और $\text{arg}(z) = \frac{5\pi}{6} = 150^{\circ}$।
माना $z = x + iy = r(\cos \theta + i \sin \theta)$,जहाँ $r = |z| = 4$ और $\theta = \frac{5\pi}{6}$ है।
तब $x = r \cos \theta = 4 \cos(150^{\circ}) = 4 \times (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2\sqrt{3}$।
और $y = r \sin \theta = 4 \sin(150^{\circ}) = 4 \times (\frac{1}{2}) = 2$।
अतः,$z = -2\sqrt{3} + 2i$।

(C) दिया गया है $z = \frac{1 - i\sqrt{3}}{1 + i\sqrt{3}}$.
हर के संयुग्मी $(1 - i\sqrt{3})$ से अंश और हर को गुणा करने पर:
$z = \frac{(1 - i\sqrt{3})(1 - i\sqrt{3})}{(1 + i\sqrt{3})(1 - i\sqrt{3})} = \frac{1 - 3 - 2i\sqrt{3}}{1 + 3} = \frac{-2 - 2i\sqrt{3}}{4} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूंकि यह सम्मिश्र संख्या $z = x + iy$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है $(x < 0, y < 0)$,इसलिए कोणांक $\pi + \tan^{-1}(\frac{y}{x})$ द्वारा प्राप्त होता है।
$arg(z) = 180^\circ + \tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}/2}{-1/2}\right) = 180^\circ + \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 180^\circ + 60^\circ = 240^\circ$.
वैकल्पिक रूप से,$arg(\frac{z_1}{z_2}) = arg(z_1) - arg(z_2)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$arg(z) = arg(1 - i\sqrt{3}) - arg(1 + i\sqrt{3}) = -60^\circ - 60^\circ = -120^\circ$.
$-120^\circ$,$360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$ के बराबर है,इसलिए सही उत्तर $240^\circ$ है।

(B) माना $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ है।
तब,$z$ का संयुग्मी $\overline{z} = r(\cos \theta - i \sin \theta)$ है।
गुणधर्म $\cos(-\theta) = \cos \theta$ और $\sin(-\theta) = -\sin \theta$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं कि $\overline{z} = r(\cos(-\theta) + i \sin(-\theta))$।
अतः,$arg(\overline{z}) = -\theta$।

(B) दिया गया है $z = \sin \alpha i(1 - \cos \alpha )$.
सम्मिश्र संख्या $z = x iy$ का आयाम $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,$x = \sin \alpha$ और $y = 1 - \cos \alpha$ है।
अतः,$\text{amp}(z) = \tan^{-1}\left(\frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}\right)$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 - \cos \alpha = 2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ और $\sin \alpha = 2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\text{amp}(z) = \tan^{-1}\left(\frac{2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\right) = \tan^{-1}\left(\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) = \frac{\alpha}{2}$।

(A) माना $z = \frac{1 + i\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}$.
चूंकि वास्तविक भाग $\frac{1}{\sqrt{3} + 1}$ और काल्पनिक भाग $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}$ है,दोनों धनात्मक हैं।
अतः,$z$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।
कोणांक (amplitude) $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}/(\sqrt{3} + 1)}{1/(\sqrt{3} + 1)}\right) = \tan^{-1}(\sqrt{3})$.
इसलिए,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) माना $z = -1 + i\sqrt{3}$.
यहाँ,वास्तविक भाग $x = -1$ और काल्पनिक भाग $y = \sqrt{3}$ है।
चूँकि $x < 0$ और $y > 0$,सम्मिश्र संख्या दूसरे चतुर्थांश में स्थित है।
कोणांक $\theta$ का मान $\theta = 180^\circ - \tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right|$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\theta = 180^\circ - \tan^{-1}\left|\frac{\sqrt{3}}{-1}\right| = 180^\circ - \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

(C) माना $z = \frac{3 + i}{2 - i} + \frac{3 - i}{2 + i}$ है।
सबसे पहले,उभयनिष्ठ हर (common denominator) लेकर व्यंजक को सरल करें:
$z = \frac{(3 + i)(2 + i) + (3 - i)(2 - i)}{(2 - i)(2 + i)}$
$z = \frac{(6 + 3i + 2i + i^2) + (6 - 3i - 2i + i^2)}{4 - i^2}$
चूंकि $i^2 = -1$,हमें प्राप्त होता है:
$z = \frac{(6 + 5i - 1) + (6 - 5i - 1)}{4 - (-1)}$
$z = \frac{5 + 5i + 5 - 5i}{5} = \frac{10}{5} = 2$।
अब,$z = 2$ का कोणांक (argument) ज्ञात करें:
$arg(2) = 0$ (क्योंकि $2$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है)।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) हम जानते हैं कि सम्मिश्र संख्याओं के गुणनफल का कोणांक (argument) $arg(z_1 \cdot z_2 \cdot \dots \cdot z_n) = arg(z_1) + arg(z_2) + \dots + arg(z_n) + 2k\pi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
अतः,योग $\sum_{i=1}^{n} arg(z_i)$ और $arg(z)$ के बीच का अंतर $2\pi$ का एक पूर्णांक गुणज होता है।

(B) माना $z = 0 + ib$,जहाँ $b > 0$ है।
चूँकि $z$ शुद्ध काल्पनिक है और इसका काल्पनिक भाग धनात्मक है,यह सम्मिश्र तल में धनात्मक $y$-अक्ष पर स्थित है।
धनात्मक $y$-अक्ष पर स्थित किसी भी सम्मिश्र संख्या का कोणांक (argument) $\frac{\pi}{2}$ होता है।

(D) मान लीजिए $z = 0 + ib$,जहाँ $b < 0$ है।
चूँकि $z$ एक शुद्ध काल्पनिक संख्या है जिसका काल्पनिक भाग ऋणात्मक है,यह $y$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा पर स्थित है।
$y$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा पर स्थित किसी भी सम्मिश्र संख्या का कोणांक (argument) $-\frac{\pi}{2}$ होता है।
अतः,$\arg(z) = -\frac{\pi}{2}$।

(A) माना $z = a + i0$,जहाँ $a < 0$ है।
चूँकि $z$ एक ऋणात्मक वास्तविक भाग वाली शुद्ध वास्तविक संख्या है,यह सम्मिश्र तल में $x$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में स्थित है।
$x$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में स्थित किसी भी बिंदु का कोणांक (argument) $\pi$ होता है।
अतः,$\text{arg}(z) = \pi$।

(C) हम जानते हैं कि $|z_1 - z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 - 2|z_1||z_2| \cos(\theta_1 - \theta_2)$,जहाँ $\theta_1 = \arg(z_1)$ और $\theta_2 = \arg(z_2)$ है।
दिया गया है कि $\arg(z_1/z_2) = 0$,इसलिए $\arg(z_1) - \arg(z_2) = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta_1 - \theta_2 = 0$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$|z_1 - z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 - 2|z_1||z_2| \cos(0)$
$|z_1 - z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 - 2|z_1||z_2|$
$|z_1 - z_2|^2 = (|z_1| - |z_2|)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $|z_1 - z_2| = ||z_1| - |z_2||$ प्राप्त होता है।

(C) माना $z = x + iy$ है। दिया गया है कि $0 < \text{amp}(z) < \pi$,अतः सम्मिश्र संख्या $z$ ऊपरी अर्ध-तल में स्थित है।
यदि $\text{amp}(z) = \theta$ है,तो $\text{amp}(-z) = \text{amp}(-(x + iy)) = \text{amp}(-x - iy)$ होगा।
चूँकि $0 < \text{amp}(z) < \pi$ है,इसलिए $\text{amp}(-z) = \text{amp}(z) - \pi$ होगा।
अतः,$\text{amp}(z) - \text{amp}(-z) = \text{amp}(z) - (\text{amp}(z) - \pi) = \pi$।

(D) दिया गया है $z = 1 - \cos \alpha + i \sin \alpha$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$ और $\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$ का उपयोग करने पर।
$z = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} + i (2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}) = 2 \sin \frac{\alpha}{2} (\sin \frac{\alpha}{2} + i \cos \frac{\alpha}{2})$.
चूंकि $\sin \frac{\alpha}{2} + i \cos \frac{\alpha}{2} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}) + i \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2})$.
अतः,$\text{amp } z = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}$.

(C) हम जानते हैं कि $\text{amp}\left( \frac{z_1}{z_2} \right) = \text{amp}(z_1) - \text{amp}(z_2)$.
साथ ही,$\text{amp}(\bar{z}) = -\text{amp}(z)$.
इसलिए,$\text{amp}\left( \frac{z_1}{\bar{z}_2} \right) = \text{amp}(z_1) - \text{amp}(\bar{z}_2)$.
चूंकि $\text{amp}(\bar{z}_2) = -\text{amp}(z_2)$,हमें $\text{amp}(z_1) - (-\text{amp}(z_2)) = \text{amp}(z_1) + \text{amp}(z_2) = \text{amp}(z_1 z_2)$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $(C)$ सही व्यंजक है।

(B) माना $z = \frac{13 - 5i}{4 - 9i}$ है।
इसे सरल करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(4 + 9i)$ से गुणा करें:
$z = \frac{(13 - 5i)(4 + 9i)}{(4 - 9i)(4 + 9i)}$
$z = \frac{52 + 117i - 20i - 45i^2}{16 + 81}$
$z = \frac{52 + 97i + 45}{97} = \frac{97 + 97i}{97} = 1 + i$
$z = 1 + i$ का कोणांक $\theta = \tan^{-1}(\frac{1}{1}) = \frac{\pi}{4}$ है।

(A) माना $z = \frac{1 - i}{1 + i}$.
सरल करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(1 - i)$ से गुणा करें:
$z = \frac{1 - i}{1 + i} \times \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{(1 - i)^2}{1^2 - i^2} = \frac{1 - 2i + i^2}{1 - (-1)} = \frac{1 - 2i - 1}{2} = \frac{-2i}{2} = -i$.
सम्मिश्र संख्या $z = 0 - i$ है।
यहाँ वास्तविक भाग $0$ है और काल्पनिक भाग $-1$ है,इसलिए यह बिंदु ऋणात्मक काल्पनिक अक्ष पर स्थित है।
अतः,सम्मिश्र संख्या का आयाम $-\frac{\pi}{2}$ है।

(A) माना $z = \frac{1 + \sqrt{3}i}{\sqrt{3} + i}$ है।
आयाम के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\text{amp}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \text{amp}(z_1) - \text{amp}(z_2)$.
$\text{amp}(1 + \sqrt{3}i) = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}$.
$\text{amp}(\sqrt{3} + i) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$\text{amp}(z) = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.

(D) सम्मिश्र संख्या $z = 0$ को $0 + 0i$ के रूप में लिखा जा सकता है।
किसी भी सम्मिश्र संख्या $z = x + iy$ के लिए,आयाम (या कोणांक) को $\theta = \tan^{-1}(y/x)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $z \neq 0$ हो।
चूंकि $x = 0$ और $y = 0$ है,इसलिए अनुपात $y/x$ का मान $0/0$ होता है,जो अपरिभाषित है।
अतः,$0$ का आयाम परिभाषित नहीं है।

(D) माना $z = \frac{1 + \sqrt{3}i}{\sqrt{3} - i}$ है।
हर के संयुग्मी $\sqrt{3} + i$ से अंश और हर में गुणा करने पर:
$z = \frac{1 + \sqrt{3}i}{\sqrt{3} - i} \times \frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} + i}$
$z = \frac{\sqrt{3} + i + 3i + \sqrt{3}i^2}{3 - i^2}$
चूंकि $i^2 = -1$,इसलिए:
$z = \frac{\sqrt{3} + 4i - \sqrt{3}}{3 + 1} = \frac{4i}{4} = i$
अब,$z = 0 + 1i$ है। अतः $z = i$ का आयाम $\theta = \tan^{-1}(\frac{1}{0}) = \pi / 2$ है।

(C) दिया गया है $z = \frac{-2}{1 + \sqrt{3}i}$.
अंश और हर को संयुग्मी $(1 - \sqrt{3}i)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{-2(1 - \sqrt{3}i)}{(1 + \sqrt{3}i)(1 - \sqrt{3}i)} = \frac{-2 + 2\sqrt{3}i}{1 + 3} = \frac{-2 + 2\sqrt{3}i}{4}$.
$z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$.
चूंकि वास्तविक भाग ऋणात्मक है और काल्पनिक भाग धनात्मक है,इसलिए $z$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।
$arg(z) = \pi - \tan^{-1}\left|\frac{\sqrt{3}/2}{-1/2}\right| = \pi - \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

(C) माना $z = \sin \frac{\pi}{5} + i(1 - \cos \frac{\pi}{5})$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ और $1 - \cos 2\theta = 2\sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$z = 2\sin \frac{\pi}{10} \cos \frac{\pi}{10} + i(2\sin^2 \frac{\pi}{10})$
$z = 2\sin \frac{\pi}{10} (\cos \frac{\pi}{10} + i\sin \frac{\pi}{10})$
चूंकि $2\sin \frac{\pi}{10} > 0$,इसलिए कोणांक (amplitude) $\theta$ इस प्रकार है:
$\tan \theta = \frac{\sin(\pi/10)}{\cos(\pi/10)} = \tan \frac{\pi}{10}$
अतः,$\theta = \frac{\pi}{10}$।

(D) माना $z = -1 - i\sqrt{3}$ है।
यहाँ,वास्तविक भाग $a = -1$ और काल्पनिक भाग $b = -\sqrt{3}$ है।
सबसे पहले,हम संदर्भ कोण $\alpha = \tan^{-1}\left|\frac{b}{a}\right| = \tan^{-1}\left|\frac{-\sqrt{3}}{-1}\right| = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$ ज्ञात करते हैं।
चूँकि $a < 0$ और $b < 0$ है,इसलिए सम्मिश्र संख्या $z$,$III$ चतुर्थांश में स्थित है।
$III$ चतुर्थांश में स्थित सम्मिश्र संख्या के लिए कोणांक $\theta = -(\pi - \alpha)$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\theta = -(\pi - \frac{\pi}{3}) = -(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{2\pi}{3}$।

(B) माना $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$,जहाँ $\theta = \arg(z)$ है।
माना दूसरी सम्मिश्र संख्या $w = R(\cos \phi + i \sin \phi)$ है,जहाँ $\phi = \arg(w)$ है।
दिया गया है कि $\arg(z) + \arg(w) = \pi$,इसलिए $\theta + \phi = \pi$,जिसका अर्थ है कि $\phi = \pi - \theta$ है।
अतः,$w = R(\cos(\pi - \theta) + i \sin(\pi - \theta)) = R(-\cos \theta + i \sin \theta)$ है।
यदि हम $z = x + iy$ लें,तो $\bar{z} = x - iy = r(\cos \theta - i \sin \theta)$ होगा।
तब $-\bar{z} = -x + iy = r(-\cos \theta + i \sin \theta)$ होगा।
इसकी तुलना $w$ से करने पर,हम देख सकते हैं कि $w = -\bar{z}$ (यह मानते हुए कि $R=r$ है)।

(C) दी गई सम्मिश्र संख्या $z = -1 + i\sqrt{3}$ है।
इसे ध्रुवीय रूप में $z = r(\cos \theta + i\sin \theta) = re^{i\theta}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$r\cos \theta = -1$ और $r\sin \theta = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि वास्तविक भाग ऋणात्मक है और काल्पनिक भाग धनात्मक है,इसलिए सम्मिश्र संख्या दूसरे चतुर्थांश में स्थित है।
$\tan \theta = \frac{r\sin \theta}{r\cos \theta} = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}$।
दूसरे चतुर्थांश में,$\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$।
अतः,$\theta = \frac{2\pi}{3}$।

(B) माना $z = {e^{{e^{ - i\theta }}}} = {e^{\cos \theta - i\sin \theta }} = {e^{\cos \theta }}{e^{ - i\sin \theta }}$.
$z = {e^{\cos \theta }}[\cos (\sin \theta ) - i\sin (\sin \theta )]$.
$z = {e^{\cos \theta }}\cos (\sin \theta ) - i{e^{\cos \theta }}\sin (\sin \theta )$.
$amp(z) = {\tan ^{ - 1}}\left[ { - \frac{{{e^{\cos \theta }}\sin (\sin \theta )}}{{{e^{\cos \theta }}\cos (\sin \theta )}}} \right]$.
$amp(z) = {\tan ^{ - 1}}[\tan ( - \sin \theta )] = - \sin \theta $.

(D) माना $z = x + iy$ है। तब $z - a = (x - a) + iy$ होगा।
दिया गया है $arg(z - a) = \frac{\pi}{4}$।
इसका अर्थ है $\tan^{-1}\left(\frac{y}{x - a}\right) = \frac{\pi}{4}$,जहाँ $x > a$ है।
अतः,$\frac{y}{x - a} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ होगा।
यह $y = x - a$ या $x - y - a = 0$ में सरल हो जाता है,जो $(a, 0)$ से शुरू होने वाली एक किरण को दर्शाता है।
चूंकि यह एक रेखा का भाग है,इसलिए बिंदुपथ एक सरल रेखा है।

(D) दिया गया व्यंजक: $\frac{4(\cos 75^o + i\sin 75^o)}{0.4(\cos 30^o + i\sin 30^o)}$
$= \frac{4}{0.4} \times \frac{\cos 75^o + i\sin 75^o}{\cos 30^o + i\sin 30^o}$
$= 10 [\cos(75^o - 30^o) + i\sin(75^o - 30^o)]$
$= 10(\cos 45^o + i\sin 45^o)$
$= 10(\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}})$
$= \frac{10}{\sqrt{2}}(1 + i)$

(B) दिया गया है $\sqrt{3} + i = (a + ib)(c + id)$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर,$\sqrt{3} + i = (ac - bd) + i(ad + bc)$ प्राप्त होता है।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,$ac - bd = \sqrt{3}$ और $ad + bc = 1$ प्राप्त होता है।
हमें $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{d}{c}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
सूत्र $\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(y) = n\pi + \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\theta = n\pi + \tan^{-1}\left(\frac{\frac{b}{a} + \frac{d}{c}}{1 - \frac{b}{a} \cdot \frac{d}{c}}\right) = n\pi + \tan^{-1}\left(\frac{bc + ad}{ac - bd}\right)$.
मान रखने पर,$\theta = n\pi + \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.
चूंकि $\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$,इसलिए उत्तर $n\pi + \frac{\pi}{6}, n \in I$ है।

(A) दिया गया है कि ${z_1}, {z_2}$ संयुग्मी हैं,इसलिए ${z_2} = \overline{z_1}$.
दिया गया है कि ${z_3}, {z_4}$ संयुग्मी हैं,इसलिए ${z_4} = \overline{z_3}$.
हमें $arg\left( \frac{z_1}{z_4} \right) + arg\left( \frac{z_2}{z_3} \right)$ का मान ज्ञात करना है।
गुणधर्म $arg(a) + arg(b) = arg(ab)$ का उपयोग करने पर:
$arg\left( \frac{z_1}{z_4} \cdot \frac{z_2}{z_3} \right) = arg\left( \frac{z_1 z_2}{z_3 z_4} \right)$.
चूंकि ${z_1} \overline{z_1} = |z_1|^2$,इसलिए ${z_1} {z_2} = |z_1|^2$ और ${z_3} {z_4} = |z_3|^2$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $arg\left( \frac{|z_1|^2}{|z_3|^2} \right) = arg\left( \left| \frac{z_1}{z_3} \right|^2 \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\left| \frac{z_1}{z_3} \right|^2$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है,इसलिए इसका कोणांक (argument) $0$ होता है।

(C) दिया गया है कि $\text{arg}(zw) = \pi$ $(i)$
$\overline{z} + i\overline{w} = 0$ $\Rightarrow \overline{z} = -i\overline{w}$ $\Rightarrow z = i w$ $\Rightarrow w = -iz$
$w = -iz$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{arg}(z(-iz)) = \pi$
$\text{arg}(-iz^2) = \pi$
$\text{arg}(-i) + \text{arg}(z^2) = \pi$
$\text{arg}(-i) + 2\text{arg}(z) = \pi$
चूँकि $\text{arg}(-i) = -\pi / 2$,इसलिए:
$-\pi / 2 + 2\text{arg}(z) = \pi$
$2\text{arg}(z) = 3\pi / 2$
$\text{arg}(z) = 3\pi / 4$

(C) दिया गया है कि $|z| = 1$ और $\text{arg}(z) = \theta$,अतः हम $z = e^{i\theta}$ लिख सकते हैं।
चूंकि $|z| = 1$,इसलिए $\bar{z} = \frac{1}{z}$ होगा।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1+z}{1+\bar{z}} = \frac{1+z}{1+\frac{1}{z}} = \frac{1+z}{\frac{z+1}{z}} = z$।
अतः,$\text{arg}\left( \frac{1+z}{1+\bar{z}} \right) = \text{arg}(z) = \theta$।

(C) एक सम्मिश्र संख्या का मुख्य कोणांक $(-\pi, \pi]$ अंतराल में स्थित होता है।
दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ क्रमशः $z_1$ और $z_2$ के मुख्य कोणांक हैं,इसलिए गुणनफल $z_1 z_2$ का कोणांक $\text{arg}(z_1 z_2) = \alpha + \beta$ है।
चूँकि $-\pi < \alpha \le \pi$ और $-\pi < \beta \le \pi$ है,इसलिए योग $\alpha + \beta$ का मान $(-2\pi, 2\pi]$ अंतराल में होगा।
हमें शर्त $\alpha + \beta > \pi$ दी गई है।
कोणांक को मुख्य अंतराल $(-\pi, \pi]$ में लाने के लिए,हम योग से $2\pi$ घटाते हैं।
अतः,$z_1 z_2$ का मुख्य कोणांक $\alpha + \beta - 2\pi$ है।

(C) माना $z = \sin \frac{6\pi}{5} + i(1 + \cos \frac{6\pi}{5})$.
सर्वसमिकाओं $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ और $1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$z = 2 \cos \frac{3\pi}{5} (\sin \frac{3\pi}{5} + i \cos \frac{3\pi}{5})$
चूँकि वास्तविक भाग ऋणात्मक है,कोणांक $\theta = \pi - \frac{\pi}{10} = \frac{9\pi}{10}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $E = Arg\left( -i e^{i\frac{\pi}{9}} z^2 \right) + 2Arg\left( 2i e^{-i\frac{\pi}{18}} \bar{z} \right)$.
गुणधर्म $Arg(z_1 z_2) = Arg(z_1) + Arg(z_2) \pmod{2\pi}$ का उपयोग करने पर:
$E = Arg(-i) + Arg(e^{i\frac{\pi}{9}}) + Arg(z^2) + 2[Arg(2i) + Arg(e^{-i\frac{\pi}{18}}) + Arg(\bar{z})]$.
चूंकि $Arg(-i) = -\frac{\pi}{2}$,$Arg(e^{i\frac{\pi}{9}}) = \frac{\pi}{9}$,$Arg(z^2) = 2Arg(z)$,
$Arg(2i) = \frac{\pi}{2}$,$Arg(e^{-i\frac{\pi}{18}}) = -\frac{\pi}{18}$,और $Arg(\bar{z}) = -Arg(z)$:
$E = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{9} + 2Arg(z) + 2[\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{18} - Arg(z)]$.
$E = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{9} + 2Arg(z) + \pi - \frac{\pi}{9} - 2Arg(z)$.
$E = -\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{\pi}{2}$.

(D) हम जानते हैं कि $|z_1 + z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2|z_1||z_2| \cos(\theta)$,जहाँ $\theta = |Arg(z_1) - Arg(z_2)|$ है।
दिया गया है कि $|z_1| = \sqrt{2}$,$|z_2| = \sqrt{3}$,और $|z_1 + z_2| = \sqrt{5 - 2\sqrt{3}}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$5 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{2})(\sqrt{3}) \cos(\theta)$
$5 - 2\sqrt{3} = 2 + 3 + 2\sqrt{6} \cos(\theta)$
$5 - 2\sqrt{3} = 5 + 2\sqrt{6} \cos(\theta)$
$-2\sqrt{3} = 2\sqrt{6} \cos(\theta)$
$\cos(\theta) = \frac{-2\sqrt{3}}{2\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,$\theta = \frac{3\pi}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) माना $z = x + iy$.
$|z + \bar{z}| = 4$ दिया गया है,अतः $|2x| = 4$,जिसका अर्थ है $x = \pm 2$.
$|z - \bar{z}| = 2$ दिया गया है,अतः $|2iy| = 2$,जिसका अर्थ है $|y| = 1$,इसलिए $y = \pm 1$.
$z$ के लिए संभावित मान $2+i, 2-i, -2+i, -2-i$ हैं।
कोणांक $\theta = Amp(z)$ के लिए $\tan \theta = \frac{y}{x} = \pm \frac{1}{2}$ होता है।
$z = 2+i$ के लिए,$\tan \theta = 1/2 \Rightarrow \theta \in (0, \pi/6)$.
$z = 2-i$ के लिए,$\tan \theta = -1/2 \Rightarrow \theta \in (-\pi/6, 0)$.
$z = -2+i$ के लिए,$\tan \theta = -1/2 \Rightarrow \theta \in (5\pi/6, \pi)$.
$z = -2-i$ के लिए,$\tan \theta = 1/2 \Rightarrow \theta \in (-\pi, -5\pi/6)$.
इन विकल्पों की तुलना करने पर,$(\pi/6, \pi/4)$ का परिसर $Amp(z)$ द्वारा कभी प्राप्त नहीं होता है।

(A) दिया गया है कि मापांक $r = |z| = 4$ और कोणांक $\theta = \text{arg}(z) = \frac{5\pi}{6}$ है।
सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय रूप $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$z = 4 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right)$.
हम जानते हैं कि $\cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$ होता है।
अतः,$z = 4 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right)$.
$z = -2\sqrt{3} + 2i$.

(A) माना $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$,जहाँ $\theta = \arg(z)$ है।
दिया गया है कि $\arg(z) = \theta < 0$ है।
तब $-z = -r(\cos \theta + i \sin \theta) = r(\cos(\theta + \pi) + i \sin(\theta + \pi))$ होगा।
अतः,$\arg(-z) = \theta + \pi$ (यदि $\theta + \pi \le \pi$) या $\theta - \pi$ (यदि $\theta + \pi > \pi$) होगा।
चूँकि $-\pi < \theta < 0$ है,इसलिए $0 < \theta + \pi < \pi$ होगा।
अतः,$\arg(-z) = \theta + \pi$ होगा।
अब,$\arg(-z) - \arg(z) = (\theta + \pi) - \theta = \pi$ होगा।

(C) माना $z = (1 + \cos 2\alpha) + i \sin 2\alpha$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए,$1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha$ और $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.
अतः,$z = 2 \cos^2 \alpha + i(2 \sin \alpha \cos \alpha) = 2 \cos \alpha (\cos \alpha + i \sin \alpha)$.
दिया गया है कि $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2}$,इसलिए $\cos \alpha$ ऋणात्मक है। अतः,मापांक $|z|$ धनात्मक होना चाहिए।
$|z| = |2 \cos \alpha| = -2 \cos \alpha$.
$z$ को ध्रुवीय रूप $r(\cos \theta + i \sin \theta)$ में व्यक्त करने के लिए,जहाँ $r > 0$:
$z = -2 \cos \alpha (-\cos \alpha - i \sin \alpha)$.
चूँकि $-\cos \alpha = \cos(\alpha - \pi)$ और $-\sin \alpha = \sin(\alpha - \pi)$,
$z = -2 \cos \alpha (\cos(\alpha - \pi) + i \sin(\alpha - \pi))$.
अतः,मापांक $-2 \cos \alpha$ है और कोणांक $\alpha - \pi$ है।

(C) दो सम्मिश्र संख्याएँ $z_1 = a + ib$ और $z_2 = c + id$ संयुग्मी होती हैं यदि $a = c$ और $b = -d$ हो।
दिया गया है $z_1 = 5 + i(x^3y^2)$ और $z_2 = (x^3 + y^2) + 6i$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर: $x^3 + y^2 = 5$ और $x^3y^2 = -6$.
माना $u = x^3$ और $v = y^2$. तब $u + v = 5$ और $uv = -6$.
द्विघात समीकरण $t^2 - 5t - 6 = 0$ को हल करने पर: $(t - 6)(t + 1) = 0$,जिससे $t = 6$ या $t = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y^2 = v$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $y^2 = 6$ और $x^3 = -1$,जिसका अर्थ है $x = -1$.
अतः $\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{\pm \sqrt{6}}{-1} = \mp \sqrt{6}$.
इसलिए,$\tan^2 \theta = (\mp \sqrt{6})^2 = 6$.

(A) व्यंजक $\arg \left( \frac{z_1}{z_4} \right) + \arg \left( \frac{z_2}{z_3} \right)$ पर विचार करें।
गुणधर्म $\arg \left( \frac{a}{b} \right) = \arg(a) - \arg(b)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= \arg(z_1) - \arg(z_4) + \arg(z_2) - \arg(z_3)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$= (\arg(z_1) + \arg(z_2)) - (\arg(z_3) + \arg(z_4))$
यह दिया गया है कि $(z_1, z_2)$ और $(z_3, z_4)$ सम्मिश्र संयुग्मी संख्याओं के युग्म हैं,इसलिए $z_2 = \bar{z}_1$ और $z_4 = \bar{z}_3$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= (\arg(z_1) + \arg(\bar{z}_1)) - (\arg(z_3) + \arg(\bar{z}_3))$
चूंकि $\arg(\bar{z}) = -\arg(z)$,इसलिए:
$= (\arg(z_1) - \arg(z_1)) - (\arg(z_3) - \arg(z_3))$
$= 0 - 0 = 0$.

(B) मान लीजिए $z = x + iy$,तो $\bar{z} = x - iy$.
दिया है $z = 1 - \bar{z}$,अतः $x + iy = 1 - (x - iy) = 1 - x + iy$.
वास्तविक भागों की तुलना करने पर,$x = 1 - x$,जिससे $2x = 1$ प्राप्त होता है,अतः $x = \frac{1}{2}$.
चूंकि $|z| = 1$,हमारे पास $x^2 + y^2 = 1$ है।
$x = \frac{1}{2}$ रखने पर,$\frac{1}{4} + y^2 = 1$,जिससे $y^2 = \frac{3}{4}$,और $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$z = \frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूंकि $z$ में एक काल्पनिक भाग है,कथन $1$ असत्य है।
मुख्य कोणांक $\theta$,$\tan \theta = \frac{y}{x}$ द्वारा दिया जाता है।
$z = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ के लिए,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
$z = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ के लिए,$\theta = \tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
चूंकि प्रश्न एक विशिष्ट मान का संकेत देता है,और $\frac{\pi}{3}$ $z$ के संभावित मानों में से एक के लिए एक मान्य मुख्य कोणांक है,इसलिए कथन $2$ सत्य है।
अतः,कथन $1$ असत्य है और कथन $2$ सत्य है।

(A) द्विघात समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ के मूल इकाई के सम्मिश्र घनमूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।
दिया है $z = 3 + 6iz_0^{81} - 3iz_0^{93}$।
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $z_0^{81} = (z_0^3)^{27} = 1^{27} = 1$ और $z_0^{93} = (z_0^3)^{31} = 1^{31} = 1$ होगा।
इन मानों को $z$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$z = 3 + 6i(1) - 3i(1) = 3 + 3i$।
$\arg(z)$ ज्ञात करने के लिए,$x > 0$ के लिए $\arg(x + iy) = \tan^{-1}(\frac{y}{x})$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\arg(z) = \tan^{-1}(\frac{3}{3}) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$।

(C) माना $z = \frac{3 + i \sin \theta}{4 - i \cos \theta}$। $z$ के वास्तविक होने के लिए,इसका काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए।
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(4 + i \cos \theta)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(3 + i \sin \theta)(4 + i \cos \theta)}{16 + \cos^2 \theta} = \frac{12 - \sin \theta \cos \theta + i(3 \cos \theta + 4 \sin \theta)}{16 + \cos^2 \theta}$.
काल्पनिक भाग $3 \cos \theta + 4 \sin \theta = 0$ है,जिससे $\tan \theta = -\frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
$\sin \theta + i \cos \theta$ का कोणांक $\pi - \tan^{-1}(\frac{4}{3})$ है।

(A) दी गई सम्मिश्र संख्या $z = \frac{-16}{1+i \sqrt{3}}$ है।
अंश और हर को संयुग्मी $1-i \sqrt{3}$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{-16(1-i \sqrt{3})}{(1+i \sqrt{3})(1-i \sqrt{3})} = \frac{-16(1-i \sqrt{3})}{1^2 - (i \sqrt{3})^2} = \frac{-16(1-i \sqrt{3})}{1+3} = \frac{-16(1-i \sqrt{3})}{4} = -4 + i 4 \sqrt{3}$.
माना $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$,जहाँ $r = \sqrt{(-4)^2 + (4 \sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8$.
तब $\cos \theta = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$ और $\sin \theta = \frac{4 \sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूँकि $\cos \theta < 0$ और $\sin \theta > 0$,$\theta$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।
$\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2 \pi}{3}$.
अतः,ध्रुवीय रूप $8\left(\cos \frac{2 \pi}{3} + i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)$ है।