Argument of complex numbers Questions in Gujarati

(N/A) આપેલ છે $z = -1 - i \sqrt{3}$.
ધારો કે $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$,જ્યાં $r$ એ માનાંક છે અને $\theta$ એ કોણાંક છે.
અહીં,$r \cos \theta = -1$ અને $r \sin \theta = -\sqrt{3}$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(r \cos \theta)^{2} + (r \sin \theta)^{2} = (-1)^{2} + (-\sqrt{3})^{2}$
$r^{2}(\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta) = 1 + 3$
$r^{2} = 4 \Rightarrow r = 2$ (કારણ કે $r > 0$).
આમ,માનાંક $2$ છે.
હવે,$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ અને $\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\sin \theta$ અને $\cos \theta$ બંને ઋણ હોવાથી,સંકર સંખ્યા $III$ ચરણમાં આવેલી છે.
સંદર્ભ ખૂણો $\alpha$ માટે $\tan \alpha = |\frac{-\sqrt{3}}{-1}| = \sqrt{3}$,તેથી $\alpha = \frac{\pi}{3}$.
$III$ ચરણમાં,કોણાંક $\theta = -(\pi - \alpha) = -(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\frac{2\pi}{3}$.
તેથી,માનાંક $2$ છે અને કોણાંક $-\frac{2\pi}{3}$ છે.

(A) આપેલ સંકર સંખ્યા $z = -\sqrt{3} + i$ છે.
ધારો કે $r \cos \theta = -\sqrt{3}$ અને $r \sin \theta = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$r^{2}(\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta) = (-\sqrt{3})^{2} + (1)^{2}$
$r^{2} = 3 + 1 = 4$
$r = 2$ (કારણ કે $r > 0$).
આમ,માનાંક $2$ છે.
હવે,$2 \cos \theta = -\sqrt{3} \Rightarrow \cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $2 \sin \theta = 1 \Rightarrow \sin \theta = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $\cos \theta < 0$ અને $\sin \theta > 0$,ખૂણો $\theta$ એ $II$ ચરણમાં આવેલ છે.
સંદર્ભ ખૂણો $\alpha = \frac{\pi}{6}$ છે.
તેથી,$\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
માનાંક $2$ છે અને કોણાંક $\frac{5\pi}{6}$ છે.

ધારો કે સંકર સંખ્યા $z = 1-i$ છે.
આપણે $z$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપ $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ માં દર્શાવીએ,જ્યાં $r \cos \theta = 1$ અને $r \sin \theta = -1$ છે.
આ સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા,આપણને મળે:
$r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 1^2 + (-1)^2$
$r^2 = 2$
$r = \sqrt{2}$ (કારણ કે $r > 0$).
હવે,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
કારણ કે $\cos \theta > 0$ અને $\sin \theta < 0$,ખૂણો $\theta$ એ $IV$ ચરણમાં આવેલો છે.
આમ,$\theta = -\frac{\pi}{4}$.
તેથી,ધ્રુવીય સ્વરૂપ $\sqrt{2} \left[ \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right]$ છે.

(B) ધારો કે $z = -1+i$. ધ્રુવીય સ્વરૂપ $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ છે.
અહીં,$r \cos \theta = -1$ અને $r \sin \theta = 1$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = (-1)^2 + (1)^2$
$r^2 = 1 + 1 = 2$
$r = \sqrt{2}$ (કારણ કે $r > 0$).
હવે,$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\cos \theta < 0$ અને $\sin \theta > 0$ હોવાથી,$\theta$ એ $II$ ચરણમાં આવે છે.
સંદર્ભ ખૂણો $\alpha$ માટે $\tan \alpha = |\frac{1}{-1}| = 1$,તેથી $\alpha = \frac{\pi}{4}$.
$II$ ચરણમાં,$\theta = \pi - \alpha = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
આમ,ધ્રુવીય સ્વરૂપ $\sqrt{2}(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4})$ છે.

ધારો કે $z = -1-i$.
આપણે સંકર સંખ્યાને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ તરીકે દર્શાવીએ છીએ,જ્યાં $r = |z| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
હવે,$r \cos \theta = -1$ અને $r \sin \theta = -1$.
$\Rightarrow \cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
કારણ કે $\cos \theta$ અને $\sin \theta$ બંને ઋણ છે,તેથી ખૂણો $\theta$ એ $III$ ચરણમાં આવેલો છે.
સંદર્ભ ખૂણો $\alpha$ એ $\tan \alpha = |\frac{-1}{-1}| = 1$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\alpha = \frac{\pi}{4}$.
$III$ ચરણમાં,$\theta = -(\pi - \alpha) = -(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\frac{3\pi}{4}$.
આમ,ધ્રુવીય સ્વરૂપ $\sqrt{2}(\cos(-\frac{3\pi}{4}) + i \sin(-\frac{3\pi}{4}))$ છે.

(A) ધારો કે સંકર સંખ્યા $z = \sqrt{3} + i$ છે.
ધ્રુવીય સ્વરૂપ $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r = |z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.
આપણી પાસે $r \cos \theta = \sqrt{3}$ અને $r \sin \theta = 1$ છે.
$r = 2$ મૂકતા,આપણને $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin \theta = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$\cos \theta$ અને $\sin \theta$ બંને ધન હોવાથી,$\theta$ એ $I$ ચરણમાં આવેલું છે.
મુખ્ય કોણાંક $\theta = \frac{\pi}{6}$ છે.
આમ,ધ્રુવીય સ્વરૂપ $2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})$ છે.

(A) ધારો કે સંકર સંખ્યા $z = i = 0 + 1i$ છે.
ધ્રુવીય સ્વરૂપ $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r \cos \theta = 0$ અને $r \sin \theta = 1$ છે.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 0^2 + 1^2$
$r^2(1) = 1$
$r = 1$ (કારણ કે $r > 0$).
હવે,$\cos \theta = 0$ અને $\sin \theta = 1$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,ધ્રુવીય સ્વરૂપ $1(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}) = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}$ છે.

(N/A) આપેલ સંકર સંખ્યા $z = \frac{1+i}{1-i}$ છે.
અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(1+i)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{1+i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{(1+i)^2}{1^2 - i^2} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 - (-1)} = \frac{1 + 2i - 1}{2} = \frac{2i}{2} = i$.
આપણે $z = 0 + i$ લખી શકીએ.
ધારો કે $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$,જ્યાં $r$ એ માનાંક છે અને $\theta$ એ કોણાંક છે.
$0 + i$ ને $r \cos \theta + i r \sin \theta$ સાથે સરખાવતા:
$r \cos \theta = 0$ અને $r \sin \theta = 1$.
વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા: $r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 0^2 + 1^2 \implies r^2 = 1 \implies r = 1$ (કારણ કે $r > 0$).
હવે,$\cos \theta = 0$ અને $\sin \theta = 1$.
આથી $\theta = \frac{\pi}{2}$.
આમ,માનાંક $1$ છે અને કોણાંક $\frac{\pi}{2}$ છે.

(A) ધારો કે $z = \frac{1+7i}{(2-i)^2}$.
છેદનું વિસ્તરણ કરતા: $(2-i)^2 = 4 + i^2 - 4i = 4 - 1 - 4i = 3 - 4i$.
તેથી,$z = \frac{1+7i}{3-4i}$.
અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(3+4i)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(1+7i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)} = \frac{3 + 4i + 21i + 28i^2}{3^2 + 4^2} = \frac{3 + 25i - 28}{9 + 16} = \frac{-25 + 25i}{25} = -1 + i$.
ધ્રુવીય સ્વરૂપ $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ માટે:
$r = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
અહીં $x = -1$ અને $y = 1$ હોવાથી,સંકર સંખ્યા $II$ ચરણમાં છે.
$\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
ધ્રુવીય સ્વરૂપ $\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}\right)$ છે.

(A) આપેલ $z = \frac{1+3i}{1-2i}$.
અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ $(1+2i)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(1+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} = \frac{1+2i+3i+6i^2}{1^2+2^2} = \frac{1+5i-6}{5} = \frac{-5+5i}{5} = -1+i$.
ધારો કે $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$.
અહીં,$r = |z| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
$z = -1+i$ એ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
સંદર્ભ ખૂણો $\alpha = \frac{\pi}{4}$ છે.
બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
આમ,ધ્રુવીય સ્વરૂપ $\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}\right)$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\overline{z}_{1} = i \overline{z}_{2}$. બંને બાજુ અનુબદ્ધ લેતા,$z_{1} = -i z_{2}$ મળે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\arg \left( \frac{-i z_{2}}{\overline{z}_{2}} \right) = \pi$.
આર્ગ્યુમેન્ટના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$\arg(-i) + \arg \left( \frac{z_{2}}{\overline{z}_{2}} \right) = \pi$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\arg(-i) = -\frac{\pi}{2}$ અને $\arg \left( \frac{z_{2}}{\overline{z}_{2}} \right) = 2\theta$,જ્યાં $\theta = \arg(z_{2})$.
તેથી,$-\frac{\pi}{2} + 2\theta = \pi$,જેનો અર્થ છે કે $2\theta = \frac{3\pi}{2}$,એટલે કે $\theta = \frac{3\pi}{4}$.
હવે,$z_{1} = -i z_{2} = |z_{2}| e^{i(\theta - \pi/2)} = |z_{2}| e^{i(3\pi/4 - \pi/2)} = |z_{2}| e^{i\pi/4}$.
આમ,$\arg(z_{1}) = \frac{\pi}{4}$.

(D) આપેલ છે $z = 1 + i$,તેથી $\overline{z} = 1 - i$ અને $\frac{1}{z} = \frac{1 - i}{2}$.
$z_1$ ના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$z_1 = \frac{1 + i(1 - i)}{(1 - i)(1 - (1 + i)) + \frac{1 - i}{2}}$
$z_1 = \frac{2 + i}{-i - 1 + \frac{1 - i}{2}} = \frac{2(2 + i)}{-1 - 3i} = -1 + i$.
હવે,$z_1 = -1 + i$ માટે $\arg(z_1)$ શોધતા:
$z_1$ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\arg(z_1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
છેલ્લે,$\frac{12}{\pi} \arg(z_1) = \frac{12}{\pi} \times \frac{3\pi}{4} = 9$.

(A) આપેલ છે $z = 2 - i(2 \tan \frac{5 \pi}{8})$.
$z = x + iy$ સાથે સરખાવતા,$x = 2$ અને $y = -2 \tan \frac{5 \pi}{8}$ મળે.
માનાંક $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + (-2 \tan \frac{5 \pi}{8})^2} = \sqrt{4(1 + \tan^2 \frac{5 \pi}{8})} = \sqrt{4 \sec^2 \frac{5 \pi}{8}} = |2 \sec \frac{5 \pi}{8}|$.
$\frac{5 \pi}{8}$ એ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\sec \frac{5 \pi}{8}$ ઋણ છે,તેથી $r = -2 \sec \frac{5 \pi}{8} = 2 \sec(\pi - \frac{5 \pi}{8}) = 2 \sec \frac{3 \pi}{8}$.
કોણાંક $\theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \tan^{-1}(\frac{-2 \tan \frac{5 \pi}{8}}{2}) = \tan^{-1}(-\tan \frac{5 \pi}{8}) = \tan^{-1}(\tan(\pi - \frac{5 \pi}{8})) = \tan^{-1}(\tan \frac{3 \pi}{8}) = \frac{3 \pi}{8}$.
આમ,$(r, \theta) = (2 \sec \frac{3 \pi}{8}, \frac{3 \pi}{8})$.

(A) $z = \frac{13-5i}{4-9i}$ ને સાદું રૂપ આપતા,છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(4+9i)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(13-5i)(4+9i)}{(4-9i)(4+9i)} = \frac{52 + 117i - 20i - 45i^2}{16 - 81i^2}$
$i^2 = -1$ લેતા:
$z = \frac{52 + 97i + 45}{16 + 81} = \frac{97 + 97i}{97} = 1 + i$
અહીં $x = 1$ અને $y = 1$ છે.
કોણાંક $\theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \tan^{-1}(\frac{1}{1}) = \frac{\pi}{4}$.

(A) આપેલ છે $Z = \frac{-2}{1 + \sqrt{3}i}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$Z = \frac{-2(1 - \sqrt{3}i)}{(1 + \sqrt{3}i)(1 - \sqrt{3}i)}$
$Z = \frac{-2(1 - \sqrt{3}i)}{1^2 - (\sqrt{3}i)^2}$
$Z = \frac{-2(1 - \sqrt{3}i)}{1 + 3} = \frac{-2(1 - \sqrt{3}i)}{4}$
$Z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$.
અહીં,વાસ્તવિક ભાગ $a = -\frac{1}{2}$ અને કાલ્પનિક ભાગ $b = \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
$a < 0$ અને $b > 0$ હોવાથી,આ સંકર સંખ્યા બીજા ચરણમાં છે.
$\arg(Z) = \pi - \tan^{-1}\left|\frac{b}{a}\right|$
$\arg(Z) = \pi - \tan^{-1}\left|\frac{\sqrt{3}/2}{-1/2}\right|$
$\arg(Z) = \pi - \tan^{-1}(\sqrt{3})$
$\arg(Z) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

(A) આપેલ છે કે $z_1 = 5 - 2i$ અને $z_2 = 3 + i$.
પ્રથમ,$z_1 + z_2 = (5 + 3) + (-2 + 1)i = 8 - i$.
ત્યારબાદ,$z_1 - z_2 = (5 - 3) + (-2 - 1)i = 2 - 3i$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{z_1 + z_2}{z_1 - z_2} = \frac{8 - i}{2 - 3i}$ લો.
છેદના અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(2 + 3i)$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$\frac{8 - i}{2 - 3i} \times \frac{2 + 3i}{2 + 3i} = \frac{16 + 24i - 2i - 3i^2}{4 + 9} = \frac{19 + 22i}{13} = \frac{19}{13} + \frac{22}{13}i$.
કોણાંક (argument) $\tan^{-1}\left(\frac{\text{કાલ્પનિક ભાગ}}{\text{વાસ્તવિક ભાગ}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{22/13}{19/13}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{22}{19}\right)$ થાય.

(C) ધારો કે $z = \frac{1+i \sqrt{3}}{\sqrt{3}+i}$.
છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(\sqrt{3}-i)$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$z = \frac{(1+i \sqrt{3})(\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)}$
$z = \frac{\sqrt{3} - i + 3i - i^2 \sqrt{3}}{3 - i^2}$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$z = \frac{\sqrt{3} + 2i + \sqrt{3}}{3 + 1} = \frac{2\sqrt{3} + 2i}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$
$z = a + bi$ નો કોણાંક $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$ દ્વારા મળે છે.
$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $arg(-z) = arg(-1 \times z)$.
$arg(z_1 z_2) = arg(z_1) + arg(z_2)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $arg(-z) = arg(-1) + arg(z)$ મળે છે.
કારણ કે $arg(-1) = \pi$,તેથી $arg(-z) = \pi + arg(z)$.
આમ,$arg(-z) - arg(z) = (\pi + arg(z)) - arg(z) = \pi$.

(C) ધારો કે $z = \frac{1-i \sqrt{3}}{1+i \sqrt{3}}$.
છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(1-i \sqrt{3})$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$z = \frac{(1-i \sqrt{3})(1-i \sqrt{3})}{(1+i \sqrt{3})(1-i \sqrt{3})} = \frac{1 - 2i \sqrt{3} + i^2(3)}{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \frac{1 - 2i \sqrt{3} - 3}{1 + 3} = \frac{-2 - 2i \sqrt{3}}{4} = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આ સંકર સંખ્યા $z = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,તેનો કોણાંક $\text{Arg}(z) = 180^{\circ} + \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 180^{\circ} + 60^{\circ} = 240^{\circ}$ થાય.

(D) ધારો કે સંકર સંખ્યા $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ છે.
આપેલ છે કે ઉગમબિંદુથી અંતર $r = 2$ અને કોણાંક $\theta = \frac{5 \pi}{6}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$z = 2 \left( \cos \frac{5 \pi}{6} + i \sin \frac{5 \pi}{6} \right)$ મળે.
કારણ કે $\cos \frac{5 \pi}{6} = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin \frac{5 \pi}{6} = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$z = 2 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) = -\sqrt{3} + i$.

(B) ધારો કે $z = (1+i)^{5}$.
પ્રથમ,$1+i$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં દર્શાવો: $1+i = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$.
ડી-મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$z = (\sqrt{2})^{5}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})^{5} = 4\sqrt{2}(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4})$.
$z$ નો કોણાર્ક $\frac{5\pi}{4}$ છે.
મુખ્ય કોણાર્ક $(-\pi, \pi]$ અંતરાલમાં હોવો જોઈએ,તેથી $\frac{5\pi}{4}$ માંથી $2\pi$ બાદ કરતા:
$\frac{5\pi}{4} - 2\pi = -\frac{3\pi}{4}$.
આમ,મુખ્ય કંપનવિસ્તાર $-\frac{3\pi}{4}$ છે.

(B) ધારો કે $z = \frac{(1+i \sqrt{3})(-\sqrt{3}-i)}{(1-i)(-i)}$
અંશ: $(1+i \sqrt{3})(-\sqrt{3}-i) = -\sqrt{3} - i - 3i - i^2 \sqrt{3} = -\sqrt{3} - 4i + \sqrt{3} = -4i$
છેદ: $(1-i)(-i) = -i + i^2 = -i - 1 = -(1+i)$
તેથી,$z = \frac{-4i}{-(1+i)} = \frac{4i}{1+i}$
અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ $(1-i)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{4i(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{4i - 4i^2}{1 - i^2} = \frac{4i + 4}{1 + 1} = \frac{4+4i}{2} = 2+2i$
$z = 2+2i$ એ $I^{st}$ ચરણમાં હોવાથી,કોણાંક $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{2}{2}\right) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ થાય.

(D) આપેલ છે $z = \sqrt{\frac{1-i}{1+i}}$.
અંશ અને છેદને $(1-i)$ વડે ગુણતા:
$z = \sqrt{\frac{(1-i)^2}{1^2+1^2}} = \sqrt{\frac{(1-i)^2}{2}} = \pm \frac{1-i}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$z_1 = \frac{1-i}{\sqrt{2}}$ અને $z_2 = \frac{-1+i}{\sqrt{2}}$.
$z_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}$ માટે,કોણાંક $\arg(z_1) = \tan^{-1}\left(\frac{-1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}}\right) = -\frac{\pi}{4}$.
$z_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}$ માટે,કોણાંક $\arg(z_2) = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{1/\sqrt{2}}{-1/\sqrt{2}}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
શરત $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} < \pi$ સંતોષાય છે.
તેથી,$\arg(z_1) + \arg(z_2) = -\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

(B) આપેલ છે કે સંકર સંખ્યા $z = x + iy$ નો કંપવિસ્તાર (argument) $\theta$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$\arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \theta$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,આપણને $\frac{y}{x} = \tan \theta$ મળે છે.
તેથી,બિંદુનો બિંદુપથ $y = x \tan \theta$ છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.

(A) પ્રથમ,આર્ગ્યુમેન્ટની અંદરની પદાવલિનું સાદું રૂપ આપો:
$\frac{4+2 i}{1-2 i} = 2 i$
$\frac{3+4 i}{2+3 i} = \frac{18-i}{13}$
બંનેનો સરવાળો કરતા:
$\frac{18}{13} + \frac{25}{13} i$
આર્ગ્યુમેન્ટ $\tan^{-1}\left(\frac{25}{18}\right)$ થશે.
$\frac{25}{18} > 1$ હોવાથી,$\tan^{-1}\left(\frac{25}{18}\right) > \frac{\pi}{4}$.
તેથી,તે $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ અંતરાલમાં આવે છે.

(A) આપેલ છે,$\bar{z}+i \bar{w}=0$.
બંને બાજુ અનુબદ્ધ લેતા,આપણને $z-i w=0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $z=i w$.
આપણને $\operatorname{Arg}(z w)=\pi$ આપેલ છે.
ગુણધર્મ $\operatorname{Arg}(z w) = \operatorname{Arg}(z) + \operatorname{Arg}(w)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $\operatorname{Arg}(z) + \operatorname{Arg}(w) = \pi$ છે.
$z=i w$ હોવાથી,$w = \frac{z}{i} = -iz$ થાય.
તેથી,$\operatorname{Arg}(w) = \operatorname{Arg}(-i) + \operatorname{Arg}(z) = -\frac{\pi}{2} + \operatorname{Arg}(z)$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\operatorname{Arg}(z) + (\operatorname{Arg}(z) - \frac{\pi}{2}) = \pi$.
$2 \operatorname{Arg}(z) = \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3 \pi}{2}$.
તેથી,$\operatorname{Arg}(z) = \frac{3 \pi}{4}$.

(C) આપેલ છે કે $\operatorname{Arg} z_1 = \frac{\pi}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{Arg} \overline{z_2} = -\operatorname{Arg} z_2$.
આપેલ છે કે $\operatorname{Arg} \overline{z_2} = \frac{\pi}{5}$,તેથી $\operatorname{Arg} z_2 = -\frac{\pi}{5}$.
હવે,$\operatorname{Arg} z_1 + \operatorname{Arg} z_2 = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5}$.
લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી લેતા,આપણને $\frac{5\pi - 3\pi}{15} = \frac{2\pi}{15}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\bar{z}_1 - i \bar{z}_2 = 0$.
બંને બાજુ અનુબદ્ધ લેતા,આપણને $z_1 + i z_2 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $z_1 = -i z_2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $-i = e^{-i \pi / 2}$,તેથી $z_1 = z_2 e^{-i \pi / 2}$.
બંને બાજુ આર્ગ્યુમેન્ટ લેતા,$\arg(z_1) = \arg(z_2) - \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\arg(z_2) = \arg(z_1) + \frac{\pi}{2}$.
આપેલ છે કે $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) = \frac{3 \pi}{4}$.
$\arg(z_2)$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\arg(z_1) + (\arg(z_1) + \frac{\pi}{2}) = \frac{3 \pi}{4}$ મળે છે.
$2 \arg(z_1) = \frac{3 \pi}{4} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$\arg(z_1) = \frac{\pi}{8}$.

(A) આપેલ છે $\arg \left(\frac{z-1}{z-3i}\right)=\frac{\pi}{2}$.
ધારો કે $z=x+iy$. તેથી $\frac{z-1}{z-3i} = \frac{(x-1)+iy}{x+i(y-3)}$.
છેદના અનુબદ્ધ વડે ગુણતા: $\frac{((x-1)+iy)(x-i(y-3))}{x^2+(y-3)^2} = \frac{x(x-1)+y(y-3) + i(xy - (x-1)(y-3))}{x^2+(y-3)^2}$.
કોણ $\frac{\pi}{2}$ હોવા માટે,વાસ્તવિક ભાગ $0$ હોવો જોઈએ અને કાલ્પનિક ભાગ ધન હોવો જોઈએ.
વાસ્તવિક ભાગ: $x(x-1)+y(y-3)=0 \Rightarrow x^2-x+y^2-3y=0$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(y-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{10}{4} = \left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2$.
આ એક વર્તુળ દર્શાવે છે જેનું કેન્દ્ર $\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ અને ત્રિજ્યા $\frac{\sqrt{10}}{2}$ છે.
$\arg(w) = \frac{\pi}{2}$ શરત સૂચવે છે કે બિંદુપથ એ વર્તુળનો તે ચાપ છે જ્યાં કાલ્પનિક ભાગ ધન છે.

(B) વિધાન $I$ માટે: $\sqrt{-a} \times \sqrt{-b} = (i\sqrt{a}) \times (i\sqrt{b}) = i^2 \sqrt{ab} = -\sqrt{ab}$. તેથી,વિધાન $I$ ખોટું છે.
વિધાન $II$ માટે: ધારો કે $z = \frac{1+i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}$. છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(1+i\sqrt{3})$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$z = \frac{(1+i\sqrt{3})^2}{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \frac{1 - 3 + 2i\sqrt{3}}{4} = \frac{-2 + 2i\sqrt{3}}{4} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
આ સંકર સંખ્યા બીજા ચરણમાં છે. તેનો કોણાંક $\pi - \tan^{-1}(\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ થાય. તેથી,વિધાન $II$ સાચું છે.

(C) આપેલ છે $z_1 = -\sqrt{3} + i$ અને $z_2 = -\sqrt{3} - i$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ભાગાકારનો કોણાંક $\text{arg}(\frac{z_1}{z_2}) = \text{arg}(z_1) - \text{arg}(z_2)$ દ્વારા મળે છે.
$z_1 = -\sqrt{3} + i$ માટે,બિંદુ બીજા ચરણમાં છે. $\text{arg}(z_1) = \pi - \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
$z_2 = -\sqrt{3} - i$ માટે,બિંદુ ત્રીજા ચરણમાં છે. $\text{arg}(z_2) = -(\pi - \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})) = -(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\frac{5\pi}{6}$.
તેથી,$\text{arg}(\frac{z_1}{z_2}) = \frac{5\pi}{6} - (-\frac{5\pi}{6}) = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$.
મુખ્ય કોણાંક $(-\pi, \pi]$ અંતરાલમાં હોવો જોઈએ,તેથી $2\pi$ બાદ કરતા: $\frac{5\pi}{3} - 2\pi = -\frac{\pi}{3}$.
આમ,મુખ્ય કોણાંક $-\frac{\pi}{3}$ છે.

(D) $z=1+i \sqrt{3}$
અહીં $z$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$\operatorname{Arg} z = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}$ થાય.
તેના અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $\bar{z} = 1-i \sqrt{3}$ માટે,જે ચોથા ચરણમાં છે,$\operatorname{Arg} \bar{z} = \tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right) = -\frac{\pi}{3}$ થાય.
તેથી,$|\operatorname{Arg} z| + |\operatorname{Arg} \bar{z}| = |\frac{\pi}{3}| + |-\frac{\pi}{3}| = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{2 \pi}{3}$.

(B) ધારો કે $z = \sin \frac{\pi}{5} + i(1 - \cos \frac{\pi}{5})$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ અને $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$z = 2 \sin \frac{\pi}{10} \cos \frac{\pi}{10} + i(2 \sin^2 \frac{\pi}{10})$
$z = 2 \sin \frac{\pi}{10} (\cos \frac{\pi}{10} + i \sin \frac{\pi}{10})$
અહીં $2 \sin \frac{\pi}{10} > 0$ હોવાથી,આ સંકર સંખ્યા ધ્રુવીય સ્વરૂપ $r(\cos \theta + i \sin \theta)$ માં છે,જ્યાં $r = 2 \sin \frac{\pi}{10}$ અને $\theta = \frac{\pi}{10}$.
તેથી,આપેલ સંકર સંખ્યાનો કંપનવિસ્તાર $\frac{\pi}{10}$ છે.

(B) સંકર સંખ્યા $z = x + iy$ માટે,ધ્રુવીય સ્વરૂપ $r \operatorname{cis} \theta$ છે,જ્યાં $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ અને $\theta = \operatorname{arg}(z)$.
$(i) z = \sqrt{3} - i$: $r = 2, \theta = -\frac{\pi}{6}$. તેથી,$z = 2 \operatorname{cis}(-\frac{\pi}{6})$ ($d$ સાથે જોડાય છે).
$(ii) z = \sqrt{3} + i$: $r = 2, \theta = \frac{\pi}{6}$. તેથી,$z = 2 \operatorname{cis}(\frac{\pi}{6})$ ($a$ સાથે જોડાય છે).
$(iii) z = -\sqrt{3} + i$: $r = 2, \theta = \frac{5\pi}{6}$. તેથી,$z = 2 \operatorname{cis}(\frac{5\pi}{6})$ ($b$ સાથે જોડાય છે).
$(iv) z = -\sqrt{3} - i$: $r = 2, \theta = -\frac{5\pi}{6}$. તેથી,$z = 2 \operatorname{cis}(-\frac{5\pi}{6})$ ($c$ સાથે જોડાય છે).
તેથી,સાચી જોડ $(i)-d, (ii)-a, (iii)-b, (iv)-c$ છે.

(A) આપેલ છે કે $z_1 = 2 - i$ અને $z_2 = 6 + 3i$.
આપણે $\operatorname{amp}\left(\frac{z_1-z_2}{z_1+z_2}\right)$ શોધવાનું છે.
પ્રથમ,$z_1 - z_2 = (2 - 6) + (-1 - 3)i = -4 - 4i$.
ત્યારબાદ,$z_1 + z_2 = (2 + 6) + (-1 + 3)i = 8 + 2i$.
હવે,$\operatorname{amp}\left(\frac{z_1-z_2}{z_1+z_2}\right) = \operatorname{amp}(z_1-z_2) - \operatorname{amp}(z_1+z_2)$.
$\operatorname{amp}(-4-4i) = -\pi + \tan^{-1}\left(\frac{-4}{-4}\right) = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$.
$\operatorname{amp}(8+2i) = \tan^{-1}\left(\frac{2}{8}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)$.
તેથી,પરિણામ $-\frac{3\pi}{4} - \tan^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)$ મળે છે.

(C) ધારો કે $z = x + iy$. $|z| = 1$ હોવાથી, $x^2 + y^2 = 1$ મળે.
$z = 1 - \bar{z}$ પરથી, $x + iy = 1 - (x - iy) = 1 - x + iy$ મળે.
વાસ્તવિક ભાગોની સરખામણી કરતા, $x = 1 - x$, જેનો અર્થ છે કે $2x = 1$, તેથી $x = \frac{1}{2}$.
$x^2 + y^2 = 1$ હોવાથી, $(\frac{1}{2})^2 + y^2 = 1$, તેથી $y^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
$\operatorname{Im}(z) > 0$ આપેલ હોવાથી, $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે.
આમ, $z = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$z$ નો કાલ્પનિક ભાગ હોવાથી, વિધાન-$I$ અસત્ય છે.
$z$ નો કોણાંક $\theta = \tan^{-1}(\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$ છે.
તેથી, વિધાન-$II$ સત્ય છે.

(C) આપેલ છે કે $|x|=1$ અને $\operatorname{Arg}(x)=2\alpha$,તેથી $x=e^{i 2\alpha}$.
આપેલ છે કે $|y|=1$ અને $\operatorname{Arg}(y)=3\beta$,તેથી $y=e^{i 3\beta}$.
તેથી $x^6 y^4 = (e^{i 2\alpha})^6 (e^{i 3\beta})^4 = e^{i 12\alpha} e^{i 12\beta} = e^{i 12(\alpha+\beta)}$.
આપેલ છે કે $\alpha+\beta = \frac{\pi}{36}$,આ કિંમત મૂકતા:
$x^6 y^4 = e^{i 12(\frac{\pi}{36})} = e^{i \frac{\pi}{3}}$.
હવે,$x^6 y^4 + \frac{1}{x^6 y^4} = e^{i \frac{\pi}{3}} + e^{-i \frac{\pi}{3}}$.
ઓઈલરના સૂત્ર $e^{i \theta} + e^{-i \theta} = 2 \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \times \frac{1}{2} = 1$.

(A) આપેલ છે $z = \frac{(2-i)(1+i)^3}{(1-i)^2}$.
પ્રથમ,$(1+i)^3 = -2 + 2i$ અને $(1-i)^2 = -2i$ મેળવીએ.
તેથી,$z = \frac{(2-i)(-2+2i)}{-2i} = \frac{(2-i)(1-i)}{i} = \frac{1-3i}{i} = -3-i$.
$z = -3-i$ એ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,$\operatorname{Arg}(z) = -\pi + \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ થાય.

(D) શરત $|Z_1+Z_2|=|Z_1|+|Z_2|$ એ ત્રિકોણ અસમતા સમાનતામાં ફેરવાય ત્યારે શક્ય છે.
આ ત્યારે જ થાય છે જો સંકર સમતલમાં $Z_1$ અને $Z_2$ દર્શાવતા સદિશો એક જ દિશામાં હોય.
તેથી,$Z_1$ અને $Z_2$ ના કોણાંક (amplitudes) સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે $\text{arg}(Z_1) = \text{arg}(Z_2)$.
આમ,તેમના કોણાંક વચ્ચેનો તફાવત $\text{arg}(Z_1) - \text{arg}(Z_2) = 0$ થાય.

(D) ધારો કે $Z = \sin \frac{6 \pi}{5} + i(1 + \cos \frac{6 \pi}{5})$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ અને $1 + \cos 2\theta = 2\cos^2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = \frac{3\pi}{5}$:
$Z = 2\sin \frac{3\pi}{5}\cos \frac{3\pi}{5} + i(2\cos^2 \frac{3\pi}{5})$
$Z = 2\cos \frac{3\pi}{5} (\sin \frac{3\pi}{5} + i\cos \frac{3\pi}{5})$
$\frac{3\pi}{5} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{10}$ હોવાથી,$\sin \frac{3\pi}{5} = \cos \frac{\pi}{10}$ અને $\cos \frac{3\pi}{5} = -\sin \frac{\pi}{10}$ મળે.
$Z = 2\cos \frac{3\pi}{5} (\cos \frac{\pi}{10} - i\sin \frac{\pi}{10})$
$Z = 2\cos \frac{3\pi}{5} (\cos(-\frac{\pi}{10}) + i\sin(-\frac{\pi}{10}))$
$\cos \frac{3\pi}{5} < 0$ હોવાથી,કોણાંક (argument) $\pi - \frac{\pi}{10} = \frac{9\pi}{10}$ થશે.

(C) આપેલ સમીકરણ $z^2-i=0$ માટે,$z^2=i$ થાય.
$i$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં દર્શાવતા,$i = \cos(\frac{\pi}{2}) + i \sin(\frac{\pi}{2}) = e^{i\frac{\pi}{2}}$.
બીજ $z = \pm e^{i\frac{\pi}{4}}$ મળે.
આમ,બીજ $z_1 = e^{i\frac{\pi}{4}}$ અને $z_2 = e^{i(\frac{\pi}{4} + \pi)} = e^{i\frac{5\pi}{4}}$ છે.
ધારો કે $\alpha = e^{i\frac{\pi}{4}}$ અને $\beta = e^{i\frac{5\pi}{4}}$.
તેથી $\operatorname{Arg} \alpha = \frac{\pi}{4}$ અને $\operatorname{Arg} \beta = \frac{5\pi}{4}$.
તેથી,$|\operatorname{Arg} \beta - \operatorname{Arg} \alpha| = |\frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4}| = |\pi| = \pi$.

(A) ધારો કે $Z = \frac{(1+i)^{2025}}{(1-i)^{2022}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1+i = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$ અને $1-i = \sqrt{2} e^{-i\pi/4}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$Z = \frac{(\sqrt{2} e^{i\pi/4})^{2025}}{(\sqrt{2} e^{-i\pi/4})^{2022}}$
$Z = \frac{(\sqrt{2})^{2025} e^{i(2025\pi/4)}}{(\sqrt{2})^{2022} e^{-i(2022\pi/4)}}$
$Z = (\sqrt{2})^3 e^{i(2025\pi/4 + 2022\pi/4)}$
$Z = 2\sqrt{2} e^{i(4047\pi/4)}$
કારણ કે $4047\pi/4 = 1011\pi + 3\pi/4$,મુખ્ય કોણ $\operatorname{Arg}(Z) = \frac{3\pi}{4} - \pi = -\frac{\pi}{4}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે,$\arg(\bar{z}_1) = \frac{\pi}{5}$ અને $\arg(z_2) = \frac{\pi}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\arg(\bar{z}_1) = -\arg(z_1)$,તેથી $\arg(z_1) = -\frac{\pi}{5}$.
તેથી,$\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) = -\frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{15}$.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\arg(\bar{z}) = -\arg(z)$,$\frac{\pi}{2} + \arg(z)$ નહીં.
તેથી,કારણ $(R)$ ખોટું છે.
આમ,$(A)$ સાચું છે પણ $(R)$ ખોટું છે.

(B) આપેલ છે કે $\bar{z} - i \bar{w} = 0$,તેથી $\bar{z} = i \bar{w}$.
બંને બાજુ અનુબદ્ધ લેતા,$z = -i w$,જેનો અર્થ છે કે $w = \frac{z}{-i} = iz$.
હવે,$\operatorname{Arg}(zw) = \operatorname{Arg}(z(iz)) = \operatorname{Arg}(iz^2) = \frac{3 \pi}{4}$.
ગુણધર્મ $\operatorname{Arg}(z_1 z_2) = \operatorname{Arg}(z_1) + \operatorname{Arg}(z_2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\operatorname{Arg}(i) + \operatorname{Arg}(z^2) = \frac{3 \pi}{4}$.
કારણ કે $\operatorname{Arg}(i) = \frac{\pi}{2}$ અને $\operatorname{Arg}(z^2) = 2 \operatorname{Arg}(z)$,તેથી $\frac{\pi}{2} + 2 \operatorname{Arg}(z) = \frac{3 \pi}{4}$.
$2 \operatorname{Arg}(z) = \frac{3 \pi}{4} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$\operatorname{Arg}(z) = \frac{\pi}{8}$.

(B) આપેલ છે કે $z = \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{3} i}$.
આપણે $1 + \sqrt{3} i = \frac{1}{2} (2 + 2 \sqrt{3} i) = \frac{1}{2} ((\sqrt{3})^2 + i^2 + 2 \sqrt{3} i) = \frac{1}{2} (\sqrt{3} + i)^2$ લખી શકીએ.
તેથી,$z = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{3} + i) = \pm (\sqrt{3} + i)$.
$z$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક બંને ભાગ ઋણ હોવા જોઈએ.
તેથી,$z = -\sqrt{3} - i$.
માનાંક $|z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$ છે.
ત્રીજા ચરણમાં કોણાંક $\theta = -(\pi - \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})) = -(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\frac{5 \pi}{6}$ છે.
આમ,ધ્રુવીય સ્વરૂપ $z = 2 \left[ \cos \left( \frac{-5 \pi}{6} \right) + i \sin \left( \frac{-5 \pi}{6} \right) \right]$ છે.

(A) ધારો કે $z = x + iy$. તેથી $z - 1 - 2i = (x - 1) + i(y - 2)$.
આપેલ છે કે $\text{arg}(z - 1 - 2i) = \frac{\pi}{3}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{y - 2}{x - 1}$,જ્યાં $x > 1$ અને $y > 2$.
$\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$ હોવાથી,$\sqrt{3} = \frac{y - 2}{x - 1}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $y - 2 = \sqrt{3}(x - 1)$ મળે છે.
$y = \sqrt{3}x - \sqrt{3} + 2$.
$y = \sqrt{3}x + (2 - \sqrt{3})$.

(D) ધારો કે $z = \frac{(\sqrt{3}+i)(1-\sqrt{3} i)}{(-1+i)(-1-i)}$.
પ્રથમ,અંશનું સાદુંરૂપ આપતા: $(\sqrt{3}+i)(1-\sqrt{3} i) = \sqrt{3} - 3i + i - \sqrt{3} i^2 = 2\sqrt{3} - 2i$.
હવે,છેદનું સાદુંરૂપ આપતા: $(-1+i)(-1-i) = (-1)^2 - (i)^2 = 1 + 1 = 2$.
તેથી,$z = \frac{2\sqrt{3} - 2i}{2} = \sqrt{3} - i$.
કંપવિસ્તાર $\theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \tan^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})$.
આ સંકર સંખ્યા ચોથા ચરણમાં હોવાથી,કંપવિસ્તાર $-\frac{\pi}{6}$ થાય.

(A) સંકર સંખ્યાઓના ગુણાકારનો કોણાંક $\arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2 + 2k\pi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k \in \{0, 1, -1\}$ છે.
કોણાંકનું મુખ્ય મૂલ્ય $(-\pi, \pi]$ અંતરાલમાં હોવાથી,મુખ્ય કોણાંકોનો સરવાળો આ અંતરાલની બહાર હોઈ શકે છે.
તેથી,$\arg(z_1 z_2)$ નું મુખ્ય મૂલ્ય એ $\arg z_1$ અને $\arg z_2$ ના મુખ્ય મૂલ્યોના સરવાળા જેટલું હોવું જરૂરી નથી.
તે જ રીતે,ભાગાકાર માટે,$\arg(z_1 / z_2) = \arg z_1 - \arg z_2 + 2k\pi$,જે પણ મુખ્ય મૂલ્યોના તફાવત જેટલું ન હોઈ શકે.