Ellipse Questions in Hindi

(D) दिया गया है कि दीर्घवृत्त की नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 16$ है।
दिया गया है कि दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e = \frac{1}{2}$ है।
हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त के दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a$ होती है।
सूत्र $2ae = 16$ से,हम $2a = \frac{16}{e}$ लिख सकते हैं।
$e = \frac{1}{2}$ का मान रखने पर,हमें $2a = \frac{16}{1/2} = 16 \times 2 = 32$ प्राप्त होता है।
अतः,दीर्घ अक्ष की लंबाई $32$ है।

(C) प्रथम दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{25} = 1$ के लिए,उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{25}{169}}$ है।
दूसरे दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,उत्केंद्रता $e' = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,$e = e'$,इसलिए $\sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1 - \frac{b^2}{a^2} = 1 - \frac{25}{169}$,जिसका अर्थ है $\frac{b^2}{a^2} = \frac{25}{169}$।
वर्गमूल लेने पर,$\frac{b}{a} = \frac{5}{13}$।
अतः,$\frac{a}{b} = \frac{13}{5}$।

(B) दिया गया है,दीर्घवृत्त का लघु अक्ष $2b = 8$ है,इसलिए $b = 4$ है।
उत्केंद्रता $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$ है।
हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त के लिए संबंध: $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ होता है।
मान रखने पर: $\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4^2}{a^2}$।
$\frac{5}{9} = 1 - \frac{16}{a^2}$।
$\frac{16}{a^2} = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$।
$a^2 = \frac{16 \times 9}{4} = 36$,जिससे $a = 6$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का दीर्घ अक्ष $2a = 2 \times 6 = 12$ है।

(D) दिया गया समीकरण $9x^2 + 5y^2 = 45$ है।
दोनों पक्षों को $45$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 5$ और $b^2 = 9$ प्राप्त होता है।
चूंकि $b^2 > a^2$,दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष पर है।
उत्केंद्रता $e$ का मान $e^2 = 1 - \frac{a^2}{b^2} = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$ है।
अतः,$e = \frac{2}{3}$।
नाभियों के बीच की दूरी $2be = 2 \times \sqrt{9} \times \frac{2}{3} = 2 \times 3 \times \frac{2}{3} = 4$ है।

(B) दिया गया है कि उत्केंद्रता $e = \frac{1}{2}$ है और नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 1, 0)$ पर स्थित हैं।
इससे हमें $ae = 1$ प्राप्त होता है।
$e = \frac{1}{2}$ रखने पर,$a(\frac{1}{2}) = 1$,जिसका अर्थ है $a = 2$।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करते हुए,हम $b^2$ की गणना करते हैं:
$b^2 = 2^2(1 - (\frac{1}{2})^2) = 4(1 - \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$।
चूँकि नाभियाँ $x$-अक्ष पर हैं,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ होगा।
$a^2 = 4$ और $b^2 = 3$ रखने पर,समीकरण $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ प्राप्त होता है।

(A) दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,दीर्घवृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ की दो नाभियों $F_1$ और $F_2$ से नाभीय दूरियों का योग स्थिर होता है।
यह स्थिर योग दीर्घवृत्त के दीर्घ अक्ष की लंबाई के बराबर होता है।
चूंकि दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a$ दी गई है,इसलिए नाभीय दूरियों का योग $2a$ है।

(D) दिया गया है कि नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 8$ है,इसलिए $ae = 4$ है।
नियताओं के बीच की दूरी $\frac{2a}{e} = 18$ है,इसलिए $\frac{a}{e} = 9$ है।
इन दोनों समीकरणों का गुणा करने पर: $(ae) \times (\frac{a}{e}) = 4 \times 9$,जिससे $a^2 = 36$ प्राप्त होता है,अतः $a = 6$ है।
$a = 6$ को $ae = 4$ में रखने पर,हमें $e = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,हमें $b^2 = 36(1 - \frac{4}{9}) = 36(\frac{5}{9}) = 20$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जो $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20} = 1$ है।
$180$ से गुणा करने पर,हमें $5x^2 + 9y^2 = 180$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $4x^2 + 9y^2 - 16x - 54y + 61 = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(4x^2 - 16x) + (9y^2 - 54y) = -61$
गुणांकों को बाहर निकालने पर: $4(x^2 - 4x) + 9(y^2 - 6y) = -61$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $4(x^2 - 4x + 4) + 9(y^2 - 6y + 9) = -61 + 16 + 81$
सरल करने पर: $4(x - 2)^2 + 9(y - 3)^2 = 36$
$36$ से भाग देने पर: $\frac{(x - 2)^2}{9} + \frac{(y - 3)^2}{4} = 1$
इसे मानक रूप $\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,केंद्र $(h, k) = (2, 3)$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण: $4x^2 + 9y^2 - 8x - 36y + 4 = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $4(x^2 - 2x) + 9(y^2 - 4y) = -4$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $4(x - 1)^2 + 9(y - 2)^2 = 36$
$36$ से भाग देने पर: $\frac{(x - 1)^2}{9} + \frac{(y - 2)^2}{4} = 1$
यहाँ,$a^2 = 9$ और $b^2 = 4$,अतः $a = 3$ और $b = 2$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 4}{3} = \frac{8}{3}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $4x^2 + y^2 - 8x + 2y + 1 = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $4(x^2 - 2x) + (y^2 + 2y) = -1$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $4(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) = -1 + 4 + 1$
$4(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 4$
$4$ से भाग देने पर: $\frac{(x - 1)^2}{1} + \frac{(y + 1)^2}{4} = 1$
यहाँ,$a^2 = 4$ और $b^2 = 1$ है। अतः,उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

(A) दीर्घ अक्ष की लंबाई शीर्षों $(4, 0)$ और $(10, 0)$ के बीच की दूरी है,जो $10 - 4 = 6$ है।
अतः,$2a = 6$,जिससे $a = 3$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का केंद्र शीर्षों का मध्य बिंदु है: $(\frac{4+10}{2}, 0) = (7, 0)$।
दी गई उत्केंद्रता $e = 1/2$ है,इसलिए $b^2 = a^2(1 - e^2) = 3^2(1 - (1/2)^2) = 9(3/4) = 27/4$।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(x - 7)^2}{a^2} + \frac{(y - 0)^2}{b^2} = 1$ है,जो $\frac{(x - 7)^2}{9} + \frac{y^2}{27/4} = 1$ है।
$27$ से गुणा करने पर,हमें $3(x - 7)^2 + 4y^2 = 27$ प्राप्त होता है।
$3(x^2 - 14x + 49) + 4y^2 = 27$।
$3x^2 - 42x + 147 + 4y^2 = 27$।
$3x^2 + 4y^2 - 42x + 120 = 0$।

(B) दिया गया केंद्र $(h, k) = (2, -3)$ है।
चूंकि केंद्र,नाभि और शीर्ष के $y$-निर्देशांक समान हैं,इसलिए दीर्घ अक्ष क्षैतिज है।
केंद्र से नाभि की दूरी $ae = |3 - 2| = 1$ है।
केंद्र से शीर्ष की दूरी $a = |4 - 2| = 2$ है।
अतः,$e = \frac{ae}{a} = \frac{1}{2}$ है।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,$b^2 = 2^2(1 - (\frac{1}{2})^2) = 4(1 - \frac{1}{4}) = 3$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{(x - 2)^2}{4} + \frac{(y + 3)^2}{3} = 1$ प्राप्त होता है।

(B) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{(x + y - 2)^2}{9} + \frac{(x - y)^2}{16} = 1$ है।
यह $\frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} = 1$ के रूप में है,जहाँ $X = x + y - 2$ और $Y = x - y$ है।
दीर्घवृत्त का केंद्र वह बिंदु है जहाँ $X = 0$ और $Y = 0$ होता है।
$x + y - 2 = 0$ और $x - y = 0$ रखने पर,हमें $x = y$ प्राप्त होता है।
पहले समीकरण में $x = y$ प्रतिस्थापित करने पर: $x + x - 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1$।
चूँकि $x = y$,इसलिए $y = 1$ है।
अतः,केंद्र $(1, 1)$ है।

(A) दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,किसी बिंदु $P(x, y)$ की नाभि $S(-1, 1)$ से दूरी,$P$ की नियता $L: x - y + 3 = 0$ से दूरी की $e$ गुनी होती है।
$SP^2 = e^2 \cdot d(P, L)^2$
$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \frac{(x - y + 3)^2}{1^2 + (-1)^2}$
$(x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1) = \frac{1}{4} \cdot \frac{(x - y + 3)^2}{2}$
$8(x^2 + y^2 + 2x - 2y + 2) = (x - y + 3)^2$
$8x^2 + 8y^2 + 16x - 16y + 16 = x^2 + y^2 + 9 - 2xy + 6x - 6y$
$7x^2 + 2xy + 7y^2 + 10x - 10y + 7 = 0$.

(A) दिया गया समीकरण $25(x + 1)^2 + 9(y + 2)^2 = 225$ है।
$225$ से भाग देने पर,हमें $\frac{(x + 1)^2}{9} + \frac{(y + 2)^2}{25} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^2 = 25$ और $b^2 = 9$,इसलिए $a = 5$ और $b = 3$ है।
चूँकि $a > b$,दीर्घ अक्ष ऊर्ध्वाधर है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ है।
दीर्घवृत्त का केंद्र $(h, k) = (-1, -2)$ है।
नाभियाँ $(h, k \pm ae) = (-1, -2 \pm 5 \times \frac{4}{5}) = (-1, -2 \pm 4)$ द्वारा दी जाती हैं।
अतः,नाभियाँ $(-1, 2)$ और $(-1, -6)$ हैं।

(A) दिए गए समीकरण $x = 3(\cos t + \sin t)$ और $y = 4(\cos t - \sin t)$ हैं।
गुणांकों से भाग देने पर,$\frac{x}{3} = \cos t + \sin t$ और $\frac{y}{4} = \cos t - \sin t$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर:
$(\frac{x}{3})^2 = 1 + \sin 2t$
$(\frac{y}{4})^2 = 1 - \sin 2t$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 2$
अतः,$\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{32} = 1$,जो एक दीर्घवृत्त का समीकरण है।

(C) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x = a \cos \theta$ और $y = b \sin \theta$ हैं।
वर्ग करके जोड़ने पर,हमें $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ प्राप्त होता है।
यह दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ होता है।
इसे सरल करने पर,$e^2 = \frac{a^2 - b^2}{a^2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $4x^2 + 9y^2 + 8x + 36y + 4 = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $4(x^2 + 2x) + 9(y^2 + 4y) = -4$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $4(x^2 + 2x + 1) + 9(y^2 + 4y + 4) = -4 + 4 + 36$
$4(x + 1)^2 + 9(y + 2)^2 = 36$
$36$ से भाग देने पर: $\frac{(x + 1)^2}{9} + \frac{(y + 2)^2}{4} = 1$
यहाँ,$a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है। चूँकि $a^2 > b^2$,उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ होगी।
$e = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

(C) दिया गया समीकरण: $3x^2 + 4y^2 - 12x - 8y + 4 = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3(x^2 - 4x) + 4(y^2 - 2y) = -4$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $3(x - 2)^2 - 12 + 4(y - 1)^2 - 4 = -4$
$3(x - 2)^2 + 4(y - 1)^2 = 12$
$12$ से भाग देने पर: $\frac{(x - 2)^2}{4} + \frac{(y - 1)^2}{3} = 1$
यहाँ,$a^2 = 4$ और $b^2 = 3$,इसलिए $a = 2$ और $b = \sqrt{3}$.
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
स्थानांतरित निर्देशांक प्रणाली $(X, Y)$ में नाभियाँ $(\pm ae, 0)$ हैं,जहाँ $X = x - 2$ और $Y = y - 1$.
$ae = 2 \times \frac{1}{2} = 1$.
अतः,$X = \pm 1$ और $Y = 0$.
$x - 2 = 1 \implies x = 3$ और $y - 1 = 0 \implies y = 1$.
$x - 2 = -1 \implies x = 1$ और $y - 1 = 0 \implies y = 1$.
नाभियाँ $(3, 1)$ और $(1, 1)$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण ${x^2} + 2{y^2} - 2x + 3y + 2 = 0$ है।
$x$ और $y$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$({x^2} - 2x + 1) + 2({y^2} + \frac{3}{2}y + \frac{9}{16}) = -2 + 1 + \frac{9}{8}$
${(x - 1)^2} + 2{(y + \frac{3}{4})^2} = \frac{1}{8}$
$\frac{1}{8}$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{{{{(x - 1)}^2}}}{{1/8}} + \frac{{{{(y + 3/4)}^2}}}{{1/16}} = 1$
यह $\frac{{{{(x - h)}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{(y - k)}^2}}}{{{b^2}}} = 1$ रूप का एक दीर्घवृत्त है,जहाँ ${a^2} = \frac{1}{8}$ और ${b^2} = \frac{1}{{16}}$ है।
चूँकि ${a^2} > {b^2}$,उत्केंद्रता $e$ का सूत्र ${b^2} = {a^2}(1 - {e^2})$ है।
$\frac{1}{{16}} = \frac{1}{8}(1 - {e^2})$
$1 - {e^2} = \frac{1}{2}$
${e^2} = \frac{1}{2}$
$e = \frac{1}{{\sqrt{2}}}$.

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $25x^2 + 9y^2 - 150x - 90y + 225 = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$25(x - 3)^2 + 9(y - 5)^2 = 225$ प्राप्त होता है।
$225$ से भाग देने पर,$\frac{(x - 3)^2}{9} + \frac{(y - 5)^2}{25} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = 25$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण: $\frac{(x - 1)^2}{9} + \frac{(y + 1)^2}{25} = 1$.
इसे मानक रूप $\frac{(x - h)^2}{b^2} + \frac{(y - k)^2}{a^2} = 1$ से तुलना करने पर,$b^2 = 9$ और $a^2 = 25$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a^2 > b^2$,दीर्घ अक्ष ऊर्ध्वाधर है।
उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $b^2 = a^2(1 - e^2)$ है।
मान रखने पर: $9 = 25(1 - e^2)$.
$1 - e^2 = \frac{9}{25}$.
$e^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
$e = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

(A) दिए गए शांकव का समीकरण: $9x^2 + 4y^2 - 6x + 4y + 1 = 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $9(x - \frac{1}{3})^2 + 4(y + \frac{1}{2})^2 = 1$.
मानक रूप: $\frac{(x - 1/3)^2}{1/9} + \frac{(y + 1/2)^2}{1/4} = 1$.
यहाँ $a^2 = 1/9 \implies a = 1/3$ और $b^2 = 1/4 \implies b = 1/2$.
अक्षों की लंबाई $2a = 2/3$ और $2b = 1$ है।

(B) दिए गए समीकरण $9x^2 + 5y^2 - 18x - 20y - 16 = 0$ को मानक रूप में लिखने पर $\frac{(x-1)^2}{5} + \frac{(y-2)^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ $a^2 = 5$ और $b^2 = 9$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ है।

(A) दिए गए शांकव का समीकरण $4x^2 + 16y^2 - 24x - 3y = 1$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $4(x^2 - 6x) + 16(y^2 - \frac{3}{16}y) = 1$।
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $4(x - 3)^2 + 16(y - \frac{3}{32})^2 = \frac{2377}{64}$।
मानक रूप में बदलने पर: $\frac{(x - 3)^2}{2377/256} + \frac{(y - 3/32)^2}{2377/1024} = 1$।
यहाँ,$a^2 = \frac{2377}{256}$ और $b^2 = \frac{2377}{1024}$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{256}{1024}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{4} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 8$ और $b^2 = 4$ है।
रेखा $y = mx + c$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्शरेखा होती है यदि $c^2 = a^2m^2 + b^2$ हो।
यहाँ,$m = 2$,$a^2 = 8$,और $b^2 = 4$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$c^2 = 8(2)^2 + 4$ प्राप्त होता है।
$c^2 = 8(4) + 4 = 32 + 4 = 36$।
अतः,$c = \pm 6$।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $S(x, y) = 2x^2 + 5y^2 - 20 = 0$ है।
बिंदु $(4, -3)$ की स्थिति ज्ञात करने के लिए,हम निर्देशांकों को व्यंजक $S_1 = 2(4)^2 + 5(-3)^2 - 20$ में प्रतिस्थापित करते हैं।
$S_1 = 2(16) + 5(9) - 20$.
$S_1 = 32 + 45 - 20 = 57$.
चूंकि $S_1 > 0$ है,इसलिए बिंदु $(4, -3)$ दीर्घवृत्त के बाहर स्थित है।

(C) दिया गया दीर्घवृत्त $x^2 + 16y^2 = 16$ है,जिसे $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{1} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 16$ और $b^2 = 1$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल $m = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ होता है।
मान रखने पर: $y = \sqrt{3}x \pm \sqrt{16(\sqrt{3})^2 + 1}$.
$y = \sqrt{3}x \pm \sqrt{16(3) + 1}$.
$y = \sqrt{3}x \pm \sqrt{49}$.
$y = \sqrt{3}x \pm 7$,जिसे $\sqrt{3}x - y \pm 7 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण: $4x^2 + 9y^2 - 16x - 54y + 61 = 0$.
पूर्ण वर्ग बनाकर हल करने पर:
$4(x - 2)^2 + 9(y - 3)^2 = 36$
$36$ से भाग देने पर:
$\frac{(x - 2)^2}{9} + \frac{(y - 3)^2}{4} = 1$.
यहाँ दीर्घ अक्ष का समीकरण $y = 3$ है।
बिंदु $(1, 3)$ के लिए $y = 3$ है,अतः यह दीर्घ अक्ष पर स्थित है।

(A) दी गई रेखा $lx + my = n$ है,जिसे $y = -\frac{l}{m}x + \frac{n}{m}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे दीर्घवृत्त की स्पर्शरेखा के ढाल-अंतःखंड रूप $y = m_1x + c$ से तुलना करने पर,जहाँ $c^2 = a^2m_1^2 + b^2$,हमें $m_1 = -\frac{l}{m}$ और $c = \frac{n}{m}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को $c^2 = a^2m_1^2 + b^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\left(\frac{n}{m}\right)^2 = a^2\left(-\frac{l}{m}\right)^2 + b^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $m^2$ से गुणा करने पर,हमें $n^2 = a^2l^2 + b^2m^2$ प्राप्त होता है।

(C) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
दीर्घवृत्त की कोई भी स्पर्श रेखा $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ द्वारा दी जाती है।
यदि यह स्पर्श रेखा बिंदु $(h, k)$ से गुजरती है,तो $k - mh = \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(k - mh)^2 = a^2m^2 + b^2$,जो $k^2 - 2mhk + m^2h^2 = a^2m^2 + b^2$ में सरल हो जाता है।
$m$ में द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $m^2(h^2 - a^2) - 2mhk + (k^2 - b^2) = 0$।
चूंकि स्पर्श रेखाएं परस्पर लंबवत हैं,इसलिए उनकी ढलानों का गुणनफल $m_1m_2 = -1$ है।
द्विघात समीकरण $Am^2 + Bm + C = 0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $\frac{C}{A}$ होता है।
अतः,$\frac{k^2 - b^2}{h^2 - a^2} = -1$।
$k^2 - b^2 = -(h^2 - a^2) \implies h^2 + k^2 = a^2 + b^2$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ प्राप्त होता है,जो एक वृत्त है जिसे निर्देशक वृत्त (director circle) कहा जाता है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{12} = 1$ है।
जाँच करें कि क्या बिंदु $(1/4, 1/4)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है:
समीकरण में $x = 1/4$ और $y = 1/4$ रखने पर:
$\frac{(1/4)^2}{4} + \frac{(1/4)^2}{12} = \frac{1/16}{4} + \frac{1/16}{12} = \frac{1}{64} + \frac{1}{192} = \frac{3+1}{192} = \frac{4}{192} = \frac{1}{48}$.
चूँकि $\frac{1}{48} \neq 1$,बिंदु $(1/4, 1/4)$ दीर्घवृत्त पर स्थित नहीं है।
अतः,इस बिंदु पर स्पर्शरेखा परिभाषित नहीं है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $9x^2 + 16y^2 = 144$ है,जिसे $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है।
$m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{16m^2 + 9}$ है।
चूँकि स्पर्श रेखा $(2, 3)$ से गुजरती है,इसलिए $3 = 2m \pm \sqrt{16m^2 + 9}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(3 - 2m)^2 = 16m^2 + 9$ प्राप्त होता है।
$9 - 12m + 4m^2 = 16m^2 + 9 \implies 12m^2 + 12m = 0$
$12m(m + 1) = 0$,अतः $m = 0$ या $m = -1$।
$m = 0$ के लिए,स्पर्श रेखा $y = 3$ है।
$m = -1$ के लिए,स्पर्श रेखा $x + y = 5$ है।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ है।
इसे अंतःखंड रूप में $\frac{x}{(a / \cos \theta)} + \frac{y}{(b / \sin \theta)} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $\frac{x}{h} + \frac{y}{k} = 1$ के साथ तुलना करने पर,हमें $h = \frac{a}{\cos \theta}$ और $k = \frac{b}{\sin \theta}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{a^2}{h^2} + \frac{b^2}{k^2} = \frac{a^2}{(a / \cos \theta)^2} + \frac{b^2}{(b / \sin \theta)^2} = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$।

(A) दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1$ है,जहाँ रेखा $y = mx + c$ के स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = A^2m^2 + B^2$ है।
दिए गए समीकरण $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ में,$A^2 = b^2$ और $B^2 = a^2$ है।
इन मानों को शर्त $c^2 = A^2m^2 + B^2$ में रखने पर,हमें $c^2 = b^2m^2 + a^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$c = \pm \sqrt{b^2m^2 + a^2}$।

(C) रेखा $y = mx + c$ का दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ को वास्तविक बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए शर्त यह है कि परिणामी द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) गैर-ऋणात्मक होना चाहिए।
स्पर्शरेखा के लिए शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ है।
रेखा के वास्तविक बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए,$c^2 \le a^2m^2 + b^2$ होना चाहिए।
इस असमिका को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $a^2m^2 \ge c^2 - b^2$ प्राप्त होता है।

(C) दीर्घवृत्त की दो लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ 'नियामक वृत्त' (director circle) कहलाता है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,नियामक वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ होता है।
दिए गए दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ के लिए,$a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें $x^2 + y^2 = 9 + 4 = 13$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदुपथ $x^2 + y^2 = 13$ है।

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक,जिसका उत्केंद्र कोण $\theta$ है,$(a \cos \theta, b \sin \theta)$ होते हैं।
नाभिलंब के सिरों के निर्देशांक $(ae, \pm \frac{b^2}{a})$ होते हैं।
निर्देशांकों की तुलना करने पर,$a \cos \theta = ae$ और $b \sin \theta = \pm \frac{b^2}{a}$ प्राप्त होता है।
$a \cos \theta = ae$ से,$\cos \theta = e$ प्राप्त होता है।
$b \sin \theta = \pm \frac{b^2}{a}$ से,$\sin \theta = \pm \frac{b}{a}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\pm b/a}{e} = \pm \frac{b}{ae}$।
इस प्रकार,$\theta = \tan^{-1}\left( \pm \frac{b}{ae} \right)$।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2 + 3y^2 = 6$ है,जिसे $\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{2} = 1$ लिखा जा सकता है।
यहाँ $a = \sqrt{6}$ और $b = \sqrt{2}$ है।
दीर्घवृत्त पर किसी बिंदु के निर्देशांक $(\sqrt{6} \cos \theta, \sqrt{2} \sin \theta)$ होते हैं,जहाँ $\theta$ उत्केंद्र कोण है।
केंद्र $(0, 0)$ से दूरी $2$ इकाई है,अतः $\sqrt{(\sqrt{6} \cos \theta)^2 + (\sqrt{2} \sin \theta)^2} = 2$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$6 \cos^2 \theta + 2 \sin^2 \theta = 4$ प्राप्त होता है।
$6 \cos^2 \theta + 2(1 - \cos^2 \theta) = 4 \implies 4 \cos^2 \theta = 2 \implies \cos^2 \theta = \frac{1}{2}$।
अतः,$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिससे $\theta = \frac{\pi}{4}$ या $\theta = \frac{3\pi}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $9x^2 + 5y^2 - 30y = 0$ है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $9x^2 + 5(y^2 - 6y) = 0$।
$9x^2 + 5(y^2 - 6y + 9) = 45$।
$45$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^2}{5} + \frac{(y - 3)^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(y - 3)^2$ का हर $x^2$ के हर से बड़ा है $(9 > 5)$,इसलिए दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष के समानांतर है।
शीर्ष ज्ञात करने के लिए $\frac{x^2}{5} + \frac{(y - 3)^2}{9} = 1$ में $x = 0$ रखने पर,$\frac{(y - 3)^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है,जिससे $(y - 3)^2 = 9$ मिलता है।
अतः,$y - 3 = \pm 3$,जिसका अर्थ है $y = 6$ या $y = 0$।
दीर्घ अक्ष के सिरों पर स्पर्श रेखाएं इन शीर्षों से गुजरने वाली क्षैतिज रेखाएं हैं,जो $y = 0$ और $y = 6$ हैं।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$।
बिंदु $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = -\frac{b^2 (a \cos \theta)}{a^2 (b \sin \theta)} = -\frac{b \cos \theta}{a \sin \theta}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = \frac{a \sin \theta}{b \cos \theta}$ है।
अभिलंब का समीकरण $y - b \sin \theta = \frac{a \sin \theta}{b \cos \theta} (x - a \cos \theta)$ है।
$b \cos \theta$ से गुणा करने पर,$by \cos \theta - b^2 \sin \theta \cos \theta = ax \sin \theta - a^2 \sin \theta \cos \theta$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$ax \sin \theta - by \cos \theta = (a^2 - b^2) \sin \theta \cos \theta$ प्राप्त होता है।
$\sin \theta \cos \theta$ से भाग देने पर,$\frac{ax}{\cos \theta} - \frac{by}{\sin \theta} = a^2 - b^2$ प्राप्त होता है।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $P(a\cos \theta, b\sin \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $ax \sec \theta - by \csc \theta = a^2 - b^2$ होता है।
यहाँ $a^2 = 14$ और $b^2 = 5$ है,अतः अभिलंब का समीकरण $\frac{14x}{a\cos \theta} - \frac{5y}{b\sin \theta} = 9$ है।
बिंदु $Q(a\cos 2\theta, b\sin 2\theta)$ इस समीकरण को संतुष्ट करता है:
$14 \frac{\cos 2\theta}{\cos \theta} - 5 \frac{\sin 2\theta}{\sin \theta} = 9$
$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ और $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ रखने पर:
$14 \frac{2\cos^2 \theta - 1}{\cos \theta} - 10\cos \theta = 9$
$28\cos \theta - \frac{14}{\cos \theta} - 10\cos \theta = 9$
$18\cos^2 \theta - 9\cos \theta - 14 = 0$
गुणनखंड करने पर: $(6\cos \theta - 7)(3\cos \theta + 2) = 0$
अतः,$\cos \theta = -\frac{2}{3}$।

(C) रेखा का समीकरण $mx - y + c = 0$ है।
इसे $Lx + My + N = 0$ से तुलना करने पर,$L = m$,$M = -1$,और $N = c$ प्राप्त होता है।
रेखा $Lx + My + N = 0$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ का अभिलंब होने की शर्त $\frac{a^2}{L^2} + \frac{b^2}{M^2} = \frac{(a^2 - b^2)^2}{N^2}$ है।
$L, M, N$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{a^2}{m^2} + \frac{b^2}{(-1)^2} = \frac{(a^2 - b^2)^2}{c^2}$
$\frac{a^2 + b^2m^2}{m^2} = \frac{(a^2 - b^2)^2}{c^2}$
$c^2 = \frac{m^2(a^2 - b^2)^2}{a^2 + b^2m^2}$
$c = \pm \frac{(a^2 - b^2)m}{\sqrt{a^2 + b^2m^2}}$.

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण: $9x^2 + 5y^2 = 45$ है।
$45$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^2 = 5$ और $b^2 = 9$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (0, 3)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है।
$(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2(x - x_1)}{x_1} = \frac{b^2(y - y_1)}{y_1}$ है।
मान रखने पर: $\frac{5(x - 0)}{0} = \frac{9(y - 3)}{3}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\frac{5x}{0} = 3(y - 3)$।
व्यंजक को परिभाषित होने के लिए,$x = 0$ होना चाहिए।
अतः,अभिलंब का समीकरण $x = 0$ है,जो $y$-अक्ष को दर्शाता है।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ होता है।
दिए गए दीर्घवृत्त $9x^2 + 16y^2 = 180$ को $180$ से विभाजित करने पर,$\frac{x^2}{20} + \frac{y^2}{11.25} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^2 = 20$ और $b^2 = 11.25$ है।
बिंदु $(2, 3)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{20x}{2} - \frac{11.25y}{3} = 20 - 11.25$ होगा।
$10x - 3.75y = 8.75$.
$4$ से गुणा करने पर: $40x - 15y = 35$.
$5$ से विभाजित करने पर: $8x - 3y = 7$,अर्थात $3y - 8x + 7 = 0$।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के किसी बिंदु $\phi$ पर अभिलंब का समीकरण $ax \sec \phi - by \csc \phi = a^2 - b^2$ है ... $(i)$.
दी गई रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ है।
यदि $(i)$ और दी गई रेखा एक ही रेखा को दर्शाती हैं,तो उनके गुणांकों का अनुपात समान होगा:
$\frac{a \sec \phi}{\cos \alpha} = \frac{-b \csc \phi}{\sin \alpha} = \frac{a^2 - b^2}{p}$.
इससे हमें प्राप्त होता है:
$\cos \phi = \frac{ap}{(a^2 - b^2) \cos \alpha}$ और $\sin \phi = \frac{-bp}{(a^2 - b^2) \sin \alpha}$.
सर्वसमिका $\sin^2 \phi + \cos^2 \phi = 1$ का उपयोग करने पर:
$\frac{b^2 p^2}{(a^2 - b^2)^2 \sin^2 \alpha} + \frac{a^2 p^2}{(a^2 - b^2)^2 \cos^2 \alpha} = 1$.
$(a^2 - b^2)^2$ से गुणा करने पर:
$p^2 \left( \frac{b^2}{\sin^2 \alpha} + \frac{a^2}{\cos^2 \alpha} \right) = (a^2 - b^2)^2$.
अतः,$p^2(a^2 \sec^2 \alpha + b^2 \csc^2 \alpha) = (a^2 - b^2)^2$.

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $ax \sec \theta - by \csc \theta = a^2 - b^2$ $(i)$ है।
दी गई रेखा $lx + my + n = 0$ $(ii)$ है।
यदि $(i)$ और $(ii)$ एक ही रेखा को दर्शाती हैं,तो उनके गुणांकों का अनुपात समान होगा:
$\frac{a \sec \theta}{l} = \frac{-b \csc \theta}{m} = \frac{-(a^2 - b^2)}{n}$.
इससे हमें प्राप्त होता है:
$\cos \theta = \frac{-an}{l(a^2 - b^2)}$ और $\sin \theta = \frac{bn}{m(a^2 - b^2)}$.
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$\frac{a^2 n^2}{l^2(a^2 - b^2)^2} + \frac{b^2 n^2}{m^2(a^2 - b^2)^2} = 1$.
दोनों पक्षों को $(a^2 - b^2)^2 / n^2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{a^2}{l^2} + \frac{b^2}{m^2} = \frac{(a^2 - b^2)^2}{n^2}$.

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $4x^2 + 9y^2 = 36$ है,जिसे $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ लिखा जा सकता है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$ है।
$(x_1, y_1) = (3, -2)$,$a^2 = 9$,और $b^2 = 4$ रखने पर:
$\frac{3x}{9} + \frac{-2y}{4} = 1 \Rightarrow \frac{x}{3} - \frac{y}{2} = 1$.
स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{2}{3}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{3}{2}$ है।
$(3, -2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - (-2) = -\frac{3}{2}(x - 3)$ है।
$3x + 2y = 5$,जिसे $6$ से विभाजित करने पर $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = \frac{5}{6}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया शांकव $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ है,जो एक दीर्घवृत्त है जहाँ $a = 1$ और $b = 2$ है।
दीर्घवृत्त के लिए अभिलंब का समीकरण $\frac{ax}{\cos \theta} - \frac{by}{\sin \theta} = a^2 - b^2$ होता है।
मान रखने पर,$\frac{x}{\cos \theta} - \frac{2y}{\sin \theta} = -3$ प्राप्त होता है।
दी गई रेखा $2x - \frac{8}{3}\lambda y = -3$ से तुलना करने पर,$\lambda = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,दो व्यास $y = m_1x$ और $y = m_2x$ संयुग्मी व्यास होते हैं यदि $m_1m_2 = -\frac{b^2}{a^2}$ हो।
दिया गया व्यास $y = \frac{b}{a}x$ है,इसलिए $m_1 = \frac{b}{a}$ है।
माना संयुग्मी व्यास $y = m_2x$ है।
तब,$\frac{b}{a} \times m_2 = -\frac{b^2}{a^2}$ होगा।
$m_2$ के लिए हल करने पर,हमें $m_2 = -\frac{b^2}{a^2} \times \frac{a}{b} = -\frac{b}{a}$ प्राप्त होता है।
अतः,संयुग्मी व्यास का समीकरण $y = -\frac{b}{a}x$ है।