Ellipse Questions in Hindi

(C) दिया गया है $\angle F'BF = 90^\circ$,जिसका अर्थ है $F'B \perp FB$.
बिंदुओं के निर्देशांक $B(0, b)$,$F(ae, 0)$,और $F'(-ae, 0)$ हैं।
$FB$ की ढाल $m_1 = \frac{b - 0}{0 - ae} = -\frac{b}{ae}$ है।
$F'B$ की ढाल $m_2 = \frac{b - 0}{0 - (-ae)} = \frac{b}{ae}$ है।
चूंकि $F'B \perp FB$,उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होगा:
$m_1 \times m_2 = -1$
$(-\frac{b}{ae}) \times (\frac{b}{ae}) = -1$
$\frac{b^2}{a^2e^2} = 1 \implies b^2 = a^2e^2$.
हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त के लिए,$b^2 = a^2(1 - e^2)$ होता है।
इस समीकरण में $b^2 = a^2e^2$ रखने पर:
$a^2e^2 = a^2(1 - e^2)$
$e^2 = 1 - e^2$
$2e^2 = 1$
$e^2 = \frac{1}{2}$
$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) दिया गया है कि नाभियाँ $(\pm \sqrt{5}, 0)$ हैं,इसलिए $ae = \sqrt{5}$ है।
उत्केंद्रता $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$ दी गई है।
$ae = \sqrt{5}$ में $e$ का मान रखने पर,$a(\frac{\sqrt{5}}{3}) = \sqrt{5}$,जिसका अर्थ है $a = 3$,अतः $a^2 = 9$ है।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,$b^2 = 9(1 - \frac{5}{9}) = 9(\frac{4}{9}) = 4$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जो $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ हो जाता है।
$36$ से गुणा करने पर,हमें $4x^2 + 9y^2 = 36$ प्राप्त होता है।

(A) दीर्घवृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ के लिए,जिसकी नाभियाँ $S$ और $S'$ हैं,नाभीय दूरियों का योग $SP + S'P = 2a$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ है,जिसकी तुलना मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से करने पर।
यहाँ,$a^2 = 25$,जिसका अर्थ है $a = 5$ है।
अतः,नाभीय दूरियों का योग $2a = 2 \times 5 = 10$ है।

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $\frac{x}{a} \cos \theta + \frac{y}{b} \sin \theta = 1$ है।
इस स्पर्शरेखा का $x$-अंतःखंड $y = 0$ रखने पर $P = (\frac{a}{\cos \theta}, 0)$ प्राप्त होता है।
इस स्पर्शरेखा का $y$-अंतःखंड $x = 0$ रखने पर $Q = (0, \frac{b}{\sin \theta})$ प्राप्त होता है।
स्पर्शरेखा और निर्देशांक अक्षों द्वारा बने त्रिभुज $OPQ$ का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times |x_P| \times |y_Q| = \frac{1}{2} \left| \frac{a}{\cos \theta} \right| \left| \frac{b}{\sin \theta} \right| = \frac{ab}{|2 \sin \theta \cos \theta|} = \frac{ab}{|\sin 2\theta|}$ है।
चूंकि $|\sin 2\theta|$ का न्यूनतम मान $1$ है,इसलिए न्यूनतम क्षेत्रफल $ab$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $25x^2 + 16y^2 - 150x - 175 = 0$
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $25(x^2 - 6x) + 16y^2 = 175$
$25(x - 3)^2 + 16y^2 = 400$
$400$ से भाग देने पर: $\frac{(x - 3)^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$
यहाँ,$a^2 = 25$ और $b^2 = 16$ है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$।

(C) दीर्घवृत्त $S(x, y) = 4x^2 + 5y^2 - 1 = 0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ की स्थिति निर्धारित करने के लिए,हम $S(x_1, y_1)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$(i)$ यदि $S(x_1, y_1) = 0$ है,तो बिंदु दीर्घवृत्त पर स्थित है।
$(ii)$ यदि $S(x_1, y_1) > 0$ है,तो बिंदु दीर्घवृत्त के बाहर स्थित है।
$(iii)$ यदि $S(x_1, y_1) < 0$ है,तो बिंदु दीर्घवृत्त के अंदर स्थित है।
दिए गए बिंदु $(4, -3)$ और दीर्घवृत्त समीकरण $4x^2 + 5y^2 - 1 = 0$ के लिए,हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$S(4, -3) = 4(4)^2 + 5(-3)^2 - 1$
$S(4, -3) = 4(16) + 5(9) - 1$
$S(4, -3) = 64 + 45 - 1$
$S(4, -3) = 108$
चूंकि $108 > 0$ है,इसलिए बिंदु $(4, -3)$ दीर्घवृत्त के बाहर स्थित है।

(B) माना बिंदु $P(h, k)$ है। निश्चित बिंदु (नाभि) $S(-2, 0)$ है और नियता रेखा $x = 9/2$ है,जिसे $2x - 9 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया है कि दूरियों का अनुपात $PS : PM = 2 : 3$ है,जहाँ $PM$ बिंदु $P$ से रेखा $2x - 9 = 0$ की लंबवत दूरी है।
अतः,$PS = \frac{2}{3} PM$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(PS)^2 = \frac{4}{9} (PM)^2$.
$(h + 2)^2 + k^2 = \frac{4}{9} \left( \frac{2h - 9}{2} \right)^2$.
$(h + 2)^2 + k^2 = \frac{4}{9} \cdot \frac{(2h - 9)^2}{4}$.
$9[(h + 2)^2 + k^2] = (2h - 9)^2$.
$9[h^2 + 4h + 4 + k^2] = 4h^2 - 36h + 81$.
$9h^2 + 36h + 36 + 9k^2 = 4h^2 - 36h + 81$.
$5h^2 + 9k^2 = 45$.
$45$ से भाग देने पर,हमें $\frac{h^2}{9} + \frac{k^2}{5} = 1$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P(h, k)$ का बिंदुपथ $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ है,जो एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है क्योंकि उत्केंद्रता $e = 2/3 < 1$ है।

(D) दीर्घवृत्त $E$,$f(x, y) = \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} - 1 = 0$ द्वारा दिया गया है।
बिंदु $P(1, 2)$ के लिए,$f(1, 2) = \frac{1}{9} + \frac{4}{4} - 1 = \frac{1}{9} > 0$,इसलिए $P$,$E$ के बाहर स्थित है।
बिंदु $Q(2, 1)$ के लिए,$f(2, 1) = \frac{4}{9} + \frac{1}{4} - 1 = \frac{16+9-36}{36} = -\frac{11}{36} < 0$,इसलिए $Q$,$E$ के अंदर स्थित है।
वृत्त $C$,$g(x, y) = x^2 + y^2 - 9 = 0$ द्वारा दिया गया है।
बिंदु $P(1, 2)$ के लिए,$g(1, 2) = 1^2 + 2^2 - 9 = 1 + 4 - 9 = -4 < 0$,इसलिए $P$,$C$ के अंदर स्थित है।
बिंदु $Q(2, 1)$ के लिए,$g(2, 1) = 2^2 + 1^2 - 9 = 4 + 1 - 9 = -4 < 0$,इसलिए $Q$,$C$ के अंदर स्थित है।
अतः,$P$,$C$ के अंदर है लेकिन $E$ के बाहर है।

(C) दिया गया समीकरण: $2x^2 + 3y^2 - 8x - 18y + 35 - k = 0$.
$x$ और $y$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$2(x - 2)^2 + 3(y - 3)^2 = k$.
स्थिति $1$: यदि $k = 0$ है,तो समीकरण $2(x - 2)^2 + 3(y - 3)^2 = 0$ हो जाता है,जो बिंदु $(2, 3)$ को दर्शाता है।
स्थिति $2$: यदि $k > 0$ है,तो यह एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है।
स्थिति $3$: यदि $k < 0$ है,तो यह कोई वास्तविक बिंदु पथ नहीं दर्शाता है।
अतः,सही कथन यह है कि यह $k = 0$ होने पर एक बिंदु को दर्शाता है।

(A) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ हैं।
दीर्घ अक्ष के अंतिम बिंदु $A \equiv (a, 0)$ और $A' \equiv (-a, 0)$ हैं।
चूँकि $PN$,$P$ की कोटि है,इसलिए $N$ के निर्देशांक $(a \cos \theta, 0)$ हैं।
अतः,$PN = b \sin \theta$ है।
$AN = a - a \cos \theta = a(1 - \cos \theta)$ है।
$A'N = a \cos \theta - (-a) = a(1 + \cos \theta)$ है।
अब,अनुपात की गणना करते हैं:
$\frac{PN^2}{AN \cdot A'N} = \frac{(b \sin \theta)^2}{a(1 - \cos \theta) \cdot a(1 + \cos \theta)}$
$= \frac{b^2 \sin^2 \theta}{a^2(1 - \cos^2 \theta)}$
$= \frac{b^2 \sin^2 \theta}{a^2 \sin^2 \theta}$
$= \frac{b^2}{a^2}$।

(B) नाभियों के निर्देशांक $F_1(-ae, 0)$ और $F_2(ae, 0)$ हैं।
मान लीजिए बिंदु $P$ $(x, y)$ है। त्रिभुज $PF_1F_2$ का आधार नाभियों के बीच की दूरी है,जो $F_1F_2 = 2ae$ है।
त्रिभुज की ऊँचाई $P$ से $x$-अक्ष पर लंबवत दूरी है,जो $|y|$ है।
त्रिभुज $PF_1F_2$ का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times (2ae) \times |y| = ae|y|$ द्वारा दिया जाता है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,$|y|$ का अधिकतम मान $b$ है (जब $x = 0$ हो)।
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल $A = ae \times b = abe$ है।

(B) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
नाभियाँ $F(ae, 0)$ और $F'(-ae, 0)$ हैं और लघु अक्ष का अंतिम बिंदु $B(0, b)$ है।
दीर्घवृत्त का केंद्र $C(0, 0)$ है।
दिया गया है कि $\angle FBF' = \frac{\pi}{2}$ है।
चूँकि $\triangle FBF'$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है,इसलिए शीर्षलंब $BC$,$\angle FBF'$ को समद्विभाजित करता है।
अतः,$\angle FBC = \frac{1}{2} \angle FBF' = \frac{\pi}{4}$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle BCF$ में,$\tan(\angle FBC) = \frac{CF}{BC}$ है।
$\tan(\frac{\pi}{4}) = \frac{ae}{b}$ है।
$1 = \frac{ae}{b} \Rightarrow b = ae$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$b^2 = a^2 e^2$ प्राप्त होता है।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,$a^2(1 - e^2) = a^2 e^2$ प्राप्त होता है।
$1 - e^2 = e^2$ है।
$2e^2 = 1$ है।
$e^2 = 1/2$ है।
$e = 1/\sqrt{2}$ है।

(B) दिया गया है कि नियता $x = 4$ है,जो $y$-अक्ष के समानांतर है,इसलिए दीर्घवृत्त का मुख्य अक्ष $x$-अक्ष पर है।
माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
उत्केंद्रता $e = \frac{1}{2}$ है।
संबंध $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ का उपयोग करने पर,$\frac{b^2}{a^2} = 1 - e^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
नियता का समीकरण $x = \frac{a}{e}$ है। अतः $\frac{a}{e} = 4$ है।
$e = \frac{1}{2}$ रखने पर,$a = 4e = 4 \times \frac{1}{2} = 2$ प्राप्त होता है।
अब,$b^2 = \frac{3}{4}a^2 = \frac{3}{4} \times 4 = 3$ है।
अतः,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ है,जिसे सरल करने पर $3x^2 + 4y^2 = 12$ प्राप्त होता है।

(C) रेखा का समीकरण $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ है,जिसे $y = -x \cot \alpha + \frac{p}{\sin \alpha}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी तुलना $y = mx + c$ से करने पर,हमें $m = -\cot \alpha$ और $c = \frac{p}{\sin \alpha}$ प्राप्त होता है।
रेखा $y = mx + c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2 m^2 + b^2$ है।
$m$ और $c$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{p}{\sin \alpha})^2 = a^2(-\cot \alpha)^2 + b^2$
$\frac{p^2}{\sin^2 \alpha} = a^2 \cot^2 \alpha + b^2$
$p^2 = a^2 \cos^2 \alpha + b^2 \sin^2 \alpha$.

(D) दिया गया दीर्घवृत्त $4x^2 + 9y^2 = 1$ है,जिसे $\frac{x^2}{1/4} + \frac{y^2}{1/9} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $8x = 9y$ की ढाल $m = \frac{8}{9}$ है।
माना स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1)$ है। $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $4xx_1 + 9yy_1 = 1$ है।
इस स्पर्श रेखा की ढाल $-\frac{4x_1}{9y_1}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा,रेखा के समांतर है,इसलिए $-\frac{4x_1}{9y_1} = \frac{8}{9}$,जो सरल होकर $x_1 = -2y_1$ देता है।
$x_1 = -2y_1$ को दीर्घवृत्त के समीकरण $4x_1^2 + 9y_1^2 = 1$ में रखने पर:
$4(-2y_1)^2 + 9y_1^2 = 1$
$16y_1^2 + 9y_1^2 = 1$
$25y_1^2 = 1 \implies y_1 = \pm \frac{1}{5}$।
यदि $y_1 = \frac{1}{5}$ है,तो $x_1 = -2(\frac{1}{5}) = -\frac{2}{5}$।
यदि $y_1 = -\frac{1}{5}$ है,तो $x_1 = -2(-\frac{1}{5}) = \frac{2}{5}$।
अतः,बिंदु $\left( -\frac{2}{5}, \frac{1}{5} \right)$ और $\left( \frac{2}{5}, -\frac{1}{5} \right)$ हैं।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ के लिए,$a^2 = 9$ और $b^2 = 5$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \frac{2}{3}$ है।
नाभिलंब के अंत बिंदु $(\pm 2, \pm \frac{5}{3})$ हैं।
बिंदु $(2, \frac{5}{3})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{2x}{9} + \frac{y}{3} = 1$ है।
प्रथम चतुर्थांश में इस स्पर्श रेखा द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \frac{9}{2} \times 3 = \frac{27}{4}$ है।
चूँकि ऐसे चार सममित त्रिभुज बनते हैं,इसलिए चतुर्भुज का कुल क्षेत्रफल $4 \times \frac{27}{4} = 27$ $sq. \text{ units}$ होगा।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ है।
यहाँ $a = 3\sqrt{3}$ और $b = 1$ है।
अतः,स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{3\sqrt{3}} + y \sin \theta = 1$ है।
$x$-अंतःखंड $3\sqrt{3} \sec \theta$ और $y$-अंतःखंड $\csc \theta$ है।
अंतःखंडों का योग $f(\theta) = 3\sqrt{3} \sec \theta + \csc \theta$ है।
न्यूनतम मान के लिए $f'(\theta) = 0$ रखने पर,$\tan^3 \theta = \frac{1}{3\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$,जिसका अर्थ है $\theta = \pi/6$।

(A) माना बिंदु $P$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर $(x_1, y_1)$ है।
$(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ है।
दीर्घ अक्ष ($x$-अक्ष) पर बिंदु $G$ के लिए,$y = 0$ रखें:
$\frac{a^2x}{x_1} = a^2 - b^2 \implies CG = x = \frac{x_1(a^2 - b^2)}{a^2}$.
लघु अक्ष ($y$-अक्ष) पर बिंदु $g$ के लिए,$x = 0$ रखें:
$-\frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2 \implies Cg = y = -\frac{y_1(a^2 - b^2)}{b^2}$.
अब,$a^2(CG)^2 + b^2(Cg)^2$ की गणना करें:
$a^2 \left[ \frac{x_1^2(a^2 - b^2)^2}{a^4} \right] + b^2 \left[ \frac{y_1^2(a^2 - b^2)^2}{b^4} \right] = (a^2 - b^2)^2 \left( \frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} \right)$.
चूंकि $(x_1, y_1)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,इसलिए $\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1$.
अतः,$a^2(CG)^2 + b^2(Cg)^2 = (a^2 - b^2)^2$.

(A) माना $y = m_1x$ और $y = m_2x$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के संयुग्मी व्यासों का एक युग्म है।
माना $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ और $Q(a \cos \phi, b \sin \phi)$ इन दो व्यासों के सिरे हैं।
संयुग्मी व्यासों के लिए शर्त $m_1 m_2 = -\frac{b^2}{a^2}$ है।
चूंकि $m_1 = \frac{b \sin \theta}{a \cos \theta}$ और $m_2 = \frac{b \sin \phi}{a \cos \phi}$ है,इसलिए:
$\left(\frac{b \sin \theta}{a \cos \theta}\right) \times \left(\frac{b \sin \phi}{a \cos \phi}\right) = -\frac{b^2}{a^2}$।
यह सरल होकर $\frac{\sin \theta \sin \phi}{\cos \theta \cos \phi} = -1$ हो जाता है।
अतः,$\sin \theta \sin \phi + \cos \theta \cos \phi = 0$,जो कि $\cos(\theta - \phi) = 0$ है।
इस प्रकार,$\theta - \phi = \pm \frac{\pi}{2}$।

(C) माना दीर्घवृत्त पर एक बिंदु $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ है।
चूंकि आयत दीर्घवृत्त के अंतर्गत है,इसके शीर्ष $(a \cos \theta, b \sin \theta)$,$(-a \cos \theta, b \sin \theta)$,$(-a \cos \theta, -b \sin \theta)$ और $(a \cos \theta, -b \sin \theta)$ हैं।
आयत की लंबाई $2a \cos \theta$ और चौड़ाई $2b \sin \theta$ है।
आयत का क्षेत्रफल $A = (2a \cos \theta) \times (2b \sin \theta) = 4ab \sin \theta \cos \theta = 2ab \sin 2\theta$ है।
क्षेत्रफल को अधिकतम होने के लिए,$\sin 2\theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए,अर्थात $\sin 2\theta = 1$।
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल $2ab(1) = 2ab$ है।

(D) दिया गया समीकरण $9x^2 + 4y^2 - 36 = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $9x^2 + 4y^2 = 36$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $36$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
यह दीर्घवृत्त ($\text{ellipse}$) का मानक समीकरण $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ है,जहाँ $b^2 = 4$ और $a^2 = 9$ है।
अतः,$b = 2$ और $a = 3$ है।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \pi ab$ है।
मान रखने पर,$A = \pi \times 2 \times 3 = 6\pi$ वर्ग इकाई।

(C) दिए गए समीकरण $x = 2(\cos t + \sin t)$ और $y = 5(\cos t - \sin t)$ हैं।
गुणांकों से भाग देने पर,$\frac{x}{2} = \cos t + \sin t$ और $\frac{y}{5} = \cos t - \sin t$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर:
$(\frac{x}{2})^2 = \cos^2 t + \sin^2 t + 2 \sin t \cos t = 1 + \sin(2t)$
$(\frac{y}{5})^2 = \cos^2 t + \sin^2 t - 2 \sin t \cos t = 1 - \sin(2t)$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(\frac{x}{2})^2 + (\frac{y}{5})^2 = (1 + \sin(2t)) + (1 - \sin(2t)) = 2$
$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{25} = 2$
$2$ से भाग देने पर:
$\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{50} = 1$
यह दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।

(C) बिंदु $(x_1, y_1)$ से दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_1 = T^2$ द्वारा दिया जाता है।
दीर्घवृत्त $3x^2 + 2y^2 - 5 = 0$ और बिंदु $(1, 2)$ के लिए:
$S = 3x^2 + 2y^2 - 5$
$S_1 = 3(1)^2 + 2(2)^2 - 5 = 6$
$T = 3x(1) + 2y(2) - 5 = 3x + 4y - 5$
$SS_1 = T^2$ में मान रखने पर:
$6(3x^2 + 2y^2 - 5) = (3x + 4y - 5)^2$
$9x^2 - 24xy - 4y^2 + 30x + 40y - 55 = 0$
यहाँ $a = 9, h = -12, b = -4$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{144 + 36}}{5} \right| = \frac{12}{\sqrt{5}}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{12}{\sqrt{5}}\right)$.

(B) दिया गया समीकरण: $9x^2 + 5y^2 - 30y = 0$
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $9x^2 + 5(y^2 - 6y) = 0$
$9x^2 + 5(y^2 - 6y + 9) = 45$
$9x^2 + 5(y - 3)^2 = 45$
$45$ से भाग देने पर: $\frac{x^2}{5} + \frac{(y - 3)^2}{9} = 1$
यहाँ,$a^2 = 5$ और $b^2 = 9$ है। चूँकि $b^2 > a^2$,दीर्घवृत्त ऊर्ध्वाधर है।
उत्केंद्रता $e$ का सूत्र: $a^2 = b^2(1 - e^2)$
$5 = 9(1 - e^2)$
$1 - e^2 = \frac{5}{9}$
$e^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$
$e = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$

(D) दीर्घवृत्त की नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 6$ है,जिससे $ae = 3$ प्राप्त होता है।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 8$ है,जिससे $a = 4$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e = \frac{ae}{a} = \frac{3}{4}$ होती है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार $3/5$ सही उत्तर है,जो यह दर्शाता है कि दीर्घ अक्ष की लंबाई $10$ होनी चाहिए थी।

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{2} = 1$ पर स्थित कोई भी बिंदु $(\sqrt{6} \cos \varphi, \sqrt{2} \sin \varphi)$ के रूप में होता है,जहाँ $\varphi$ उत्केंद्र कोण है।
इस बिंदु की केंद्र $(0, 0)$ से दूरी $2$ है।
अतः,$(\sqrt{6} \cos \varphi)^2 + (\sqrt{2} \sin \varphi)^2 = 2^2$.
$6 \cos^2 \varphi + 2 \sin^2 \varphi = 4$.
$2$ से भाग देने पर,$3 \cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi = 2$.
$\sin^2 \varphi = 1 - \cos^2 \varphi$ रखने पर,$3 \cos^2 \varphi + 1 - \cos^2 \varphi = 2$.
$2 \cos^2 \varphi = 1 \implies \cos^2 \varphi = \frac{1}{2}$.
$\cos \varphi = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इस प्रकार,$\varphi = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$ है।

(C) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूँकि नाभियाँ $(\pm 2, 0)$ हैं,दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm ae, 0)$ के रूप में हैं।
अतः,$ae = 2$। दिया गया है $e = 1/2$,इसलिए $a(1/2) = 2$,जिसका अर्थ है $a = 4$।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर:
$b^2 = 16(1 - (1/2)^2) = 16(1 - 1/4) = 16(3/4) = 12$।
$a^2 = 16$ और $b^2 = 12$ को मानक समीकरण में रखने पर,हमें $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1$ प्राप्त होता है।

(A) बिंदु $P(3, 4)$ के लिए स्पर्श जीवा $AB$ का समीकरण $T = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{3x}{9} + \frac{4y}{4} = 1 \implies \frac{x}{3} + y = 1 \implies x + 3y = 3$.
माना बिंदु $(h, k)$ है। बिंदु $(h, k)$ की $P(3, 4)$ से दूरी और रेखा $x + 3y - 3 = 0$ से दूरी समान है:
$\sqrt{(h-3)^2 + (k-4)^2} = \frac{|h + 3k - 3|}{\sqrt{1^2 + 3^2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(h-3)^2 + (k-4)^2 = \frac{(h + 3k - 3)^2}{10}$.
सरल करने पर: $9h^2 + k^2 - 6hk - 54h - 62k + 241 = 0$.
अतः,बिंदुपथ का समीकरण $9x^2 + y^2 - 6xy - 54x - 62y + 241 = 0$ है।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है।
रेखा $y = mx + c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ है।
$a^2$ और $b^2$ के मानों को शर्त में रखने पर:
$c^2 = 9m^2 + 4$
अतः,$c = \pm \sqrt{9m^2 + 4}$।

(B) दीर्घवृत्त के समीकरण में $x = at^2$ रखने पर:
$\frac{(at^2)^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
$\frac{a^2 t^4}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
$t^4 + \frac{y^2}{b^2} = 1$
$\frac{y^2}{b^2} = 1 - t^4$
$y^2 = b^2(1 - t^4)$
$y$ के वास्तविक मान के लिए,$y^2 \geq 0$ होना चाहिए।
अतः,$1 - t^4 \geq 0$
$t^4 \leq 1$
$|t| \leq 1$

(C) बिंदु $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ पर दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ है।
इसे अंतःखंड रूप $\frac{x}{a/\cos \theta} + \frac{y}{b/\sin \theta} = 1$ में लिखा जा सकता है।
यहाँ अंतःखंड $h = \frac{a}{\cos \theta}$ और $k = \frac{b}{\sin \theta}$ हैं।
अतः,$\frac{a}{h} = \cos \theta$ और $\frac{b}{k} = \sin \theta$.
दोनों का वर्ग करके जोड़ने पर,$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = \frac{a^2}{h^2} + \frac{b^2}{k^2}$.
इस प्रकार,$\frac{a^2}{h^2} + \frac{b^2}{k^2} = 1$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया शीर्ष $(0, 7)$ है और नियता $y = 12$ है।
चूंकि शीर्ष $y$-अक्ष पर है,दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष के अनुदिश है,अतः $b = 7$ है।
नियता का समीकरण $y = b/e$ होता है,इसलिए $7/e = 12 \implies e = 7/12$ है।
$a^2 = b^2(1 - e^2) = 49(1 - 49/144) = 49(95/144) = 4655/144$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
मान रखने पर: $\frac{144x^2}{4655} + \frac{y^2}{49} = 1$ है।
$4655$ से गुणा करने पर: $144x^2 + 95y^2 = 4655$ प्राप्त होता है।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ के लिए,$a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ है।
नाभियाँ $(\pm ae, 0)$ अर्थात $(\pm \sqrt{7}, 0)$ हैं।
वृत्त का केंद्र $(0, 3)$ है और यह $(\pm \sqrt{7}, 0)$ से गुजरता है।
त्रिज्या $r$,$(0, 3)$ और $(\sqrt{7}, 0)$ के बीच की दूरी है।
$r = \sqrt{(\sqrt{7} - 0)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{7 + 9} = \sqrt{16} = 4$.

(C) दिया गया है कि नाभिलंब की लंबाई लघु अक्ष की आधी है:
$\frac{2b^2}{a} = \frac{1}{2} (2b)$
$\Rightarrow \frac{2b^2}{a} = b$
$\Rightarrow 2b = a$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$4b^2 = a^2$
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर:
$4a^2(1 - e^2) = a^2$
$4(1 - e^2) = 1$
$1 - e^2 = \frac{1}{4}$
$e^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$e = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b)$ के लिए,नियत रेखाओं के बीच की दूरी $\frac{2a}{e}$ होती है और नाभियों के बीच की दूरी $2ae$ होती है।
दी गई शर्त के अनुसार,नियत रेखाओं के बीच की दूरी नाभियों के बीच की दूरी की तीन गुनी है:
$\frac{2a}{e} = 3(2ae)$
$\frac{2a}{e} = 6ae$
$1 = 3e^2$
$e^2 = \frac{1}{3}$
$e = \frac{1}{\sqrt{3}}$

(D) दिया गया है कि नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 8$ है,इसलिए $ae = 4$.
नियताओं के बीच की दूरी $\frac{2a}{e} = 18$ है,इसलिए $\frac{a}{e} = 9$.
इन दोनों समीकरणों का गुणा करने पर: $(ae) \times (\frac{a}{e}) = 4 \times 9$ $\Rightarrow a^2 = 36$ $\Rightarrow a = 6$.
समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{ae}{a/e} = \frac{4}{9}$ $\Rightarrow e^2 = \frac{4}{9}$ $\Rightarrow e = \frac{2}{3}$.
दीर्घवृत्त के लिए,$b^2 = a^2(1 - e^2) = 36(1 - \frac{4}{9}) = 36(\frac{5}{9}) = 20$.
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जो $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20} = 1$ है।
$180$ से गुणा करने पर,हमें $5x^2 + 9y^2 = 180$ प्राप्त होता है।

(B) मूल बिंदु पर केंद्रित दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूंकि यह $(-3, 1)$ और $(2, -2)$ से होकर गुजरता है,हमारे पास है:
$\frac{9}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ (समीकरण $1$)
$\frac{4}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1 \Rightarrow \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{4}$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ से समीकरण $2$ को घटाने पर:
$(\frac{9}{a^2} - \frac{1}{a^2}) = 1 - \frac{1}{4}$ $\Rightarrow \frac{8}{a^2} = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow a^2 = \frac{32}{3}$.
$a^2$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर:
$\frac{3}{32} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow \frac{1}{b^2} = \frac{8}{32} - \frac{3}{32} = \frac{5}{32}$ $\Rightarrow b^2 = \frac{32}{5}$.
चूंकि $a^2 = \frac{32}{3}$ और $b^2 = \frac{32}{5}$ है,इसलिए $a > b$ की शर्त पूरी होती है।
अतः दीर्घवृत्त का समीकरण $3x^2 + 5y^2 = 32$ है।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए रेखा $y = mx + c$ के स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2 m^2 + b^2$ है।
दी गई रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ को $y = -(\cot \alpha) x + \frac{p}{\sin \alpha}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ $m = -\cot \alpha$ और $c = \frac{p}{\sin \alpha}$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$(\frac{p}{\sin \alpha})^2 = a^2 (-\cot \alpha)^2 + b^2$.
$\frac{p^2}{\sin^2 \alpha} = a^2 \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + b^2$.
दोनों पक्षों को $\sin^2 \alpha$ से गुणा करने पर,$p^2 = a^2 \cos^2 \alpha + b^2 \sin^2 \alpha$ प्राप्त होता है।

(A) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
दो नाभियों के बीच की दूरी $2ae$ होती है।
लघु अक्ष की लंबाई $2b$ होती है।
प्रश्न के अनुसार,$2ae = 2b$,जिसका अर्थ है $ae = b$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2e^2 = b^2$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त के लिए,$b^2 = a^2(1 - e^2)$ होता है।
$b^2$ का मान रखने पर,$a^2e^2 = a^2(1 - e^2)$ प्राप्त होता है।
$a^2$ से भाग देने पर,$e^2 = 1 - e^2$ प्राप्त होता है।
$2e^2 = 1 \Rightarrow e^2 = \frac{1}{2}$।
अतः,$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$।

(A) दिया गया दीर्घवृत्त $x^{2} + 2y^{2} = 2$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{1} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दीर्घवृत्त पर कोई भी बिंदु $(\sqrt{2} \cos \theta, \sin \theta)$ के रूप में लिया जा सकता है।
इस बिंदु पर स्पर्शरेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{\sqrt{2}} + \frac{y \sin \theta}{1} = 1$ है।
स्पर्शरेखा $x$-अक्ष को $A(\sqrt{2} \sec \theta, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $B(0, \csc \theta)$ पर काटती है।
माना $AB$ का मध्यबिंदु $Q(h, k)$ है।
अतः $h = \frac{\sqrt{2} \sec \theta}{2} = \frac{\sec \theta}{\sqrt{2}}$ और $k = \frac{\csc \theta}{2}$ है।
इससे,$\sec \theta = h\sqrt{2} \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{h\sqrt{2}}$ और $\csc \theta = 2k \Rightarrow \sin \theta = \frac{1}{2k}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$\left(\frac{1}{h\sqrt{2}}\right)^{2} + \left(\frac{1}{2k}\right)^{2} = 1$ मिलता है।
इस प्रकार,$\frac{1}{2h^{2}} + \frac{1}{4k^{2}} = 1$ है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,अभीष्ट बिंदुपथ $\frac{1}{2x^{2}} + \frac{1}{4y^{2}} = 1$ है।

(A) दिया गया दीर्घवृत्त $3x^{2} + 4y^{2} = 12$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^{2} = 4$ और $b^{2} = 3$ है।
रेखा $y + 2x = 4$ की प्रवणता (slope) $m_{1} = -2$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा इस रेखा पर लंब है,इसलिए इसकी प्रवणता $m$ को $m \times (-2) = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए,अतः $m = \frac{1}{2}$।
दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के लिए $m$ प्रवणता वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^{2}m^{2} + b^{2}}$ होता है।
मान रखने पर,$y = \frac{1}{2}x \pm \sqrt{4(\frac{1}{4}) + 3}$।
$y = \frac{1}{2}x \pm \sqrt{1 + 3} = \frac{1}{2}x \pm 2$।
$2$ से गुणा करने पर,$2y = x \pm 4$ प्राप्त होता है,जिसे $x - 2y \pm 4 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 8$ है,जिसका अर्थ है $a = 4$ है।
दी गई उत्केंद्रता $e = 1/2$ है।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर:
$b^2 = 4^2(1 - (1/2)^2) = 16(1 - 1/4) = 16(3/4) = 12$।
$x$-अक्ष पर दीर्घ अक्ष वाले दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
मान रखने पर: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1$।
हर को हटाने के लिए $48$ से गुणा करने पर: $3x^2 + 4y^2 = 48$।

(A) दिया गया है: केंद्र $C = (2, -3)$,नाभि $S = (3, -3)$,शीर्ष $A = (4, -3)$.
दूरी $CA = \sqrt{(4-2)^2 + (-3 - (-3))^2} = 2$. अतः,$a = 2$.
दूरी $CS = \sqrt{(3-2)^2 + (-3 - (-3))^2} = 1$. चूँकि $CS = ae$,इसलिए $ae = 1$. अतः,$e = \frac{1}{a} = \frac{1}{2}$.
दीर्घवृत्त के लिए,केंद्र से नियता (directrix) की दूरी $\frac{a}{e}$ होती है। मुख्य अक्ष क्षैतिज $(y = -3)$ है,इसलिए नियता एक ऊर्ध्वाधर रेखा $x = h$ है। केंद्र $(2, -3)$ से नियता की दूरी $\frac{a}{e} = \frac{2}{1/2} = 4$ है।
नाभि $x = 3$ पर है,इसलिए नियता $x = 2 + 4 = 6$ होगी।
दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,$PS = e \cdot PN$,जहाँ $P(x, y)$ दीर्घवृत्त पर एक बिंदु है और $PN$ नियता $x = 6$ से लंबवत दूरी है:
$\sqrt{(x-3)^2 + (y+3)^2} = \frac{1}{2} |x-6|$
$(x-3)^2 + (y+3)^2 = \frac{1}{4} (x-6)^2$
$4(x^2 - 6x + 9 + y^2 + 6y + 9) = x^2 - 12x + 36$
$3x^2 + 4y^2 - 12x + 24y + 36 = 0$.

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण: $25(x + 1)^2 + 9(y + 2)^2 = 225$.
$225$ से भाग देने पर मानक रूप प्राप्त होता है:
$\frac{(x + 1)^2}{9} + \frac{(y + 2)^2}{25} = 1$.
यहाँ,$a^2 = 25$ और $b^2 = 9$,इसलिए $a = 5$ और $b = 3$.
चूँकि $a > b$,दीर्घवृत्त ऊर्ध्वाधर है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
केंद्र $(h, k) = (-1, -2)$ है।
नाभियों के निर्देशांक $(h, k \pm ae) = (-1, -2 \pm 5 \times \frac{4}{5}) = (-1, -2 \pm 4)$ हैं।
अतः,नाभियाँ $(-1, 2)$ और $(-1, -6)$ हैं।

(A) दिया गया है कि नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^{2}}{a} = 10$ है और लघु अक्ष की लंबाई $2b$,नाभियों के बीच की दूरी $2ae$ के बराबर है।
अतः,$2b = 2ae \Rightarrow b = ae$.
चूंकि $b^{2} = a^{2}(1 - e^{2})$,हमें प्राप्त होता है $(ae)^{2} = a^{2}(1 - e^{2})$,जिसका अर्थ है $e^{2} = 1 - e^{2}$,यानी $2e^{2} = 1$,या $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$b = ae$ से,$b^{2} = a^{2}e^{2} = a^{2}(\frac{1}{2}) = \frac{a^{2}}{2}$.
इस मान को नाभिलंब के सूत्र में रखने पर: $\frac{2(a^{2}/2)}{a} = 10 \Rightarrow a = 10$.
तब $b^{2} = \frac{100}{2} = 50$.
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ है,जो $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{50} = 1$ है।
$100$ से गुणा करने पर,हमें $x^{2} + 2y^{2} = 100$ प्राप्त होता है।

(B) माना बिंदु $P(h, k)$ है और दिए गए बिंदु $A(0, 2)$ और $B(0, -2)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,$PA + PB = 6$.
$\sqrt{(h-0)^2 + (k-2)^2} + \sqrt{(h-0)^2 + (k+2)^2} = 6$.
$\sqrt{h^2 + (k-2)^2} = 6 - \sqrt{h^2 + (k+2)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$h^2 + (k-2)^2 = 36 - 12\sqrt{h^2 + (k+2)^2} + h^2 + (k+2)^2$.
$k^2 - 4k + 4 = 36 - 12\sqrt{h^2 + (k+2)^2} + k^2 + 4k + 4$.
$-8k - 36 = -12\sqrt{h^2 + (k+2)^2}$.
$-4$ से विभाजित करने पर: $2k + 9 = 3\sqrt{h^2 + (k+2)^2}$.
पुनः वर्ग करने पर:
$(2k + 9)^2 = 9(h^2 + k^2 + 4k + 4)$.
$4k^2 + 36k + 81 = 9h^2 + 9k^2 + 36k + 36$.
$9h^2 + 5k^2 = 45$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $9x^2 + 5y^2 = 45$ प्राप्त होता है।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $9x^2 + 16y^2 = 144$ है।
$144$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से करने पर,$a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ प्राप्त होता है।
रेखा का समीकरण $y = x + \lambda$ है,जो $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $m = 1$ और $c = \lambda$ है।
रेखा $y = mx + c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ को स्पर्श करने की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ है।
मान रखने पर,हमें $\lambda^2 = 16(1)^2 + 9$ प्राप्त होता है।
$\lambda^2 = 16 + 9 = 25$.
अतः,$\lambda = \pm 5$.

(B) माना $P(a \cos \theta_1, b \sin \theta_1)$ और $Q(a \cos \theta_2, b \sin \theta_2)$ दीर्घवृत्त पर दो बिंदु हैं।
माना $O(0, 0)$ दीर्घवृत्त का केंद्र है।
$OP$ की ढाल $m_1 = \frac{b \sin \theta_1}{a \cos \theta_1} = \frac{b}{a} \tan \theta_1$ है।
$OQ$ की ढाल $m_2 = \frac{b \sin \theta_2}{a \cos \theta_2} = \frac{b}{a} \tan \theta_2$ है।
अतः $m_1 m_2 = (\frac{b}{a} \tan \theta_1) \times (\frac{b}{a} \tan \theta_2) = \frac{b^2}{a^2} \tan \theta_1 \tan \theta_2$ होगा।
दिया गया है कि $\tan \theta_1 \tan \theta_2 = -\frac{a^2}{b^2}$,इसलिए $m_1 m_2 = \frac{b^2}{a^2} \times (-\frac{a^2}{b^2}) = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि ढाल का गुणनफल $-1$ है,इसलिए रेखाएं $OP$ और $OQ$ परस्पर लंबवत हैं।
अतः,जीवा $PQ$ दीर्घवृत्त के केंद्र $O$ पर समकोण बनाती है।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (जहाँ $a > b$) की नाभियाँ $F_1(-ae, 0)$ और $F_2(ae, 0)$ हैं।
मान लीजिए $P(x, y)$ दीर्घवृत्त पर एक बिंदु है। त्रिभुज $PF_1F_2$ का आधार नाभियों के बीच की दूरी है,जो $F_1F_2 = 2ae$ है।
त्रिभुज की ऊँचाई $P$ से $x$-अक्ष पर लंबवत दूरी है,जो $|y|$ है।
$\triangle PF_1F_2$ का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times (2ae) \times |y| = ae|y|$.
चूँकि $P(x, y)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,$y^2 = b^2(1 - \frac{x^2}{a^2})$,इसलिए $|y| = \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}$.
इस मान को क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर,$A = ae \times \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} = be\sqrt{a^2 - x^2}$.
क्षेत्रफल $A$ तब अधिकतम होता है जब $\sqrt{a^2 - x^2}$ अधिकतम हो,जो $x = 0$ पर प्राप्त होता है।
अतः,$A$ का अधिकतम मान $be \times \sqrt{a^2 - 0^2} = be \times a = abe$ है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $4x^2 + 9y^2 = 1$ है।
माना स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $4xx_1 + 9yy_1 = 1$ है।
इस स्पर्श रेखा की ढाल $m = -\frac{4x_1}{9y_1}$ है।
दी गई रेखा $8x = 9y$ है,जिसे $y = \frac{8}{9}x$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $\frac{8}{9}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा,रेखा के समानांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होगी:
$-\frac{4x_1}{9y_1} = \frac{8}{9}$ $\Rightarrow -\frac{x_1}{y_1} = 2$ $\Rightarrow x_1 = -2y_1$.
चूंकि $(x_1, y_1)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,$4x_1^2 + 9y_1^2 = 1$.
$x_1 = -2y_1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$4(-2y_1)^2 + 9y_1^2 = 1
$ $\Rightarrow 4(4y_1^2) + 9y_1^2 = 1
$ $\Rightarrow 16y_1^2 + 9y_1^2 = 1
$ $\Rightarrow 25y_1^2 = 1
$ $\Rightarrow y_1^2 = \frac{1}{25}
$ $\Rightarrow y_1 = \pm \frac{1}{5}$.
यदि $y_1 = \frac{1}{5}$,तो $x_1 = -2(\frac{1}{5}) = -\frac{2}{5}$.
यदि $y_1 = -\frac{1}{5}$,तो $x_1 = -2(-\frac{1}{5}) = \frac{2}{5}$.
अतः,बिंदु $\left( -\frac{2}{5}, \frac{1}{5} \right)$ और $\left( \frac{2}{5}, -\frac{1}{5} \right)$ हैं।