Mix Examples-Conic Sections Questions in Hindi

(D) दिए गए समुच्चय $A = \{(x, y) : x^2 + y^2 = 5^2\}$ हैं,जो केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $r = 5$ वाला एक वृत्त है।
$B = \{(x, y) : x^2 + 9y^2 = 144\}$ है। $144$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^2}{144} + \frac{9y^2}{144} = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{x^2}{12^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1$ हो जाता है। यह एक दीर्घवृत्त (ellipse) को दर्शाता है जिसकी अर्ध-दीर्घ अक्ष $a = 12$ और अर्ध-लघु अक्ष $b = 4$ है।
चूंकि वृत्त की त्रिज्या $5$ है और दीर्घवृत्त की अर्ध-लघु अक्ष $4$ और अर्ध-दीर्घ अक्ष $12$ है,इसलिए वृत्त दीर्घवृत्त को चार अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है।
अतः,$A \cap B$ में चार बिंदु हैं।

(A) माना वक्र $C_1: ax^2 + by^2 = 1$ और $C_2: a'x^2 + b'y^2 = 1$ हैं।
$C_1$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2ax + 2by \frac{dy}{dx} = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{ax}{by}$।
$C_2$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2a'x + 2b'y \frac{dy}{dx} = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{a'x}{b'y}$।
लंबकोणीय प्रतिच्छेदन के लिए,प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y)$ पर ढाल का गुणनफल $-1$ होना चाहिए:
$(-\frac{ax}{by}) \times (-\frac{a'x}{b'y}) = -1$
$\frac{aa'x^2}{bb'y^2} = -1$
दोनों मूल समीकरणों को घटाने पर: $(a - a')x^2 + (b - b')y^2 = 0$,जिससे $\frac{x^2}{y^2} = \frac{b' - b}{a - a'}$ प्राप्त होता है।
इस मान को गुणनफल की शर्त में रखने पर:
$\frac{aa'}{bb'} \times \frac{b' - b}{a - a'} = -1$
$aa'(b' - b) = -bb'(a - a')$
$aa'b' - aa'b = -bba' + bb'a$
$aa'b' - bb'a = aa'b - bba'$
$aa'bb'$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{b} - \frac{1}{b'} = \frac{1}{a'} - \frac{1}{a}$
व्यवस्थित करने पर $\frac{1}{a} - \frac{1}{a'} = \frac{1}{b} - \frac{1}{b'}$ प्राप्त होता है।

(B) प्रथम वक्र के लिए,$x = t^2 + 1$ और $y = 2t$ है। $t = \frac{y}{2}$ को $x$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x = (\frac{y}{2})^2 + 1$ प्राप्त होता है,जो $y^2 = 4(x - 1)$ में सरल हो जाता है।
दूसरे वक्र के लिए,$x = 2s$ और $y = \frac{2}{s}$ है। इनका गुणा करने पर $xy = (2s)(\frac{2}{s}) = 4$ प्राप्त होता है,अर्थात $xy = 4$।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = \frac{4}{x}$ को $y^2 = 4x - 4$ में प्रतिस्थापित करें:
$(\frac{4}{x})^2 = 4x - 4$
$\frac{16}{x^2} = 4(x - 1)$
$4 = x^2(x - 1)$
$x^3 - x^2 - 4 = 0$।
$x = 2$ रखने पर,$8 - 4 - 4 = 0$ प्राप्त होता है,जो सत्य है।
यदि $x = 2$ है,तो $y = \frac{4}{2} = 2$ है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 2)$ है।

(C) दिया गया अतिपरवलय $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ है,जिसे $\frac{x^2}{(12/5)^2} - \frac{y^2}{(9/5)^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = \frac{144}{25}$ और $b^2 = \frac{81}{25}$ है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_1 = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{81}{144}} = \sqrt{\frac{225}{144}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$ है।
अतिपरवलय की नाभियाँ $(\pm a e_1, 0) = (\pm \frac{12}{5} \times \frac{5}{4}, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,नाभियाँ $(\pm ae, 0)$ हैं,जहाँ $a^2 = 16$,इसलिए $a = 4$ है।
चूँकि नाभियाँ संपाती हैं,$4e = 3$,जिससे $e = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त के लिए,$b^2 = a^2(1 - e^2) = 16(1 - (\frac{3}{4})^2) = 16(1 - \frac{9}{16}) = 16(\frac{7}{16}) = 7$।

(D) दीर्घवृत्त $5x^2 + 9y^2 = 45$ के लिए,$45$ से भाग देने पर $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = 5$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ है।
अतिपरवलय $5x^2 - 4y^2 = 45$ के लिए,$45$ से भाग देने पर $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{45/4} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = \frac{45}{4}$ है।
उत्केंद्रता $e' = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{45/4}{9}} = \sqrt{1 + \frac{5}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ है।
अतः,$ee' = \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 1$।

(D) परवलय $y^2 = 2px$ की नाभि $S = (p/2, 0)$ है।
परवलय की नियता $x = -p/2$ है।
वृत्त का केंद्र $(p/2, 0)$ है और यह नियता को स्पर्श करता है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r = p$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - p/2)^2 + y^2 = p^2$ है।
परवलय के समीकरण $y^2 = 2px$ का उपयोग करने पर,हमें प्रतिच्छेदन बिंदु $\left( \frac{p}{2}, p \right)$ और $\left( \frac{p}{2}, -p \right)$ प्राप्त होते हैं।

(D) माना परवलय ${y^2} = 8x$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{2}{m}$ है।
चूंकि यह रेखा अतिपरवलय $xy = -1$ की भी स्पर्श रेखा है,इसलिए हम $x = \frac{-1}{y}$ को स्पर्श रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$y = m(\frac{-1}{y}) + \frac{2}{m}$
$y^2 = -m + \frac{2y}{m}$
$my^2 - 2y + m^2 = 0$.
रेखा के स्पर्श रेखा होने के लिए,इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) शून्य होना चाहिए:
$D = (-2)^2 - 4(m)(m^2) = 0$
$4 - 4m^3 = 0$
$m^3 = 1 \implies m = 1$.
$m = 1$ को स्पर्श रेखा के समीकरण $y = mx + \frac{2}{m}$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = (1)x + \frac{2}{1}$
$y = x + 2$.

(C) दिया गया दीर्घवृत्त $x^2 + 2y^2 = 2$ है,जिसे $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2 = 2$ और $b^2 = 1$ है।
माना स्पर्श बिंदु $R \equiv (\sqrt{2} \cos \theta, \sin \theta)$ है।
$R$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{\sqrt{2}} + y \sin \theta = 1$ है।
यह स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $A \equiv (\sqrt{2} \sec \theta, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $B \equiv (0, \csc \theta)$ पर काटती है।
माना $Q(h, k)$ रेखा $AB$ का मध्य बिंदु है। अतः $h = \frac{\sec \theta}{\sqrt{2}}$ और $k = \frac{\csc \theta}{2}$ है।
इससे $\cos \theta = \frac{1}{h\sqrt{2}}$ और $\sin \theta = \frac{1}{2k}$ प्राप्त होता है।
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$\left(\frac{1}{h\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{2k}\right)^2 = 1$ मिलता है।
अतः,अभीष्ट बिंदुपथ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ है।

(D) माना $P(a \sec \theta, b \tan \theta)$ और $Q(a \sec \theta, -b \tan \theta)$ द्वि-कोटि के अंतिम बिंदु हैं।
$O(0, 0)$ अतिपरवलय का केंद्र है।
द्वि-कोटि की लंबाई $PQ = 2b \tan \theta$ है।
चूँकि $\triangle OPQ$ एक समबाहु त्रिभुज है,$OP = OQ = PQ$ होगा।
$OP^2 = (a \sec \theta)^2 + (b \tan \theta)^2 = a^2 \sec^2 \theta + b^2 \tan^2 \theta$।
साथ ही,$PQ^2 = (2b \tan \theta)^2 = 4b^2 \tan^2 \theta$।
$OP^2 = PQ^2$ को बराबर करने पर,$a^2 \sec^2 \theta + b^2 \tan^2 \theta = 4b^2 \tan^2 \theta$।
$a^2 \sec^2 \theta = 3b^2 \tan^2 \theta$।
$a^2 \frac{1}{\cos^2 \theta} = 3b^2 \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} \implies a^2 = 3b^2 \sin^2 \theta$।
$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ का उपयोग करने पर,$a^2 = 3a^2(e^2 - 1) \sin^2 \theta$।
$1 = 3(e^2 - 1) \sin^2 \theta \implies \sin^2 \theta = \frac{1}{3(e^2 - 1)}$।
चूँकि $0 < \sin^2 \theta < 1$,इसलिए $0 < \frac{1}{3(e^2 - 1)} < 1$।
$3(e^2 - 1) > 1 \implies e^2 - 1 > 1/3 \implies e^2 > 4/3$।
अतः,$e > 2/\sqrt{3}$।

(A) वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ और अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 1$ की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ $x = 1$ और $x = -1$ हैं।
इनमें से, $x = 1$ बिंदु $P\left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ के निकट है।
अतः, अभीष्ट दीर्घवृत्त की नियता $x = 1$ है।
माना $Q(x, y)$ दीर्घवृत्त पर कोई बिंदु है।
दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार, नाभि $P$ से दूरी $QP = e \times (\text{\text{नियता से दूरी}})$.
$QP = \sqrt{(x - 1/2)^2 + (y - 1)^2}$ और नियता $x = 1$ से दूरी $|x - 1|$ है।
$e = 1/2$ दिया गया है, इसलिए $\sqrt{(x - 1/2)^2 + (y - 1)^2} = \frac{1}{2} |x - 1|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x - 1/2)^2 + (y - 1)^2 = \frac{1}{4}(x - 1)^2$.
सरल करने पर: $\frac{(x - 1/3)^2}{1/9} + \frac{(y - 1)^2}{1/12} = 1$.

(A) परवलय $y^2 = 8x$ के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{2}{m}$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{3} = 1$ के लिए स्पर्श रेखा की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ का उपयोग करने पर $c^2 = m^2 - 3$ प्राप्त होता है।
$\frac{4}{m^2} = m^2 - 3$ को हल करने पर,$m^4 - 3m^2 - 4 = 0$ मिलता है।
अतः $m^2 = 4$,जिससे $m = \pm 2$ प्राप्त होता है।
इन मानों को रखने पर,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ $2x \pm y + 1 = 0$ प्राप्त होती हैं।

(C) दिया गया समीकरण $2|x| + 3|y| = 6$ है।
यह $x$-अक्ष और $y$-अक्ष दोनों के सापेक्ष सममित एक समचतुर्भुज (rhombus) को दर्शाता है।
अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$y=0$ रखने पर $2|x|=6$ प्राप्त होता है,जिससे $|x|=3$ अर्थात $x = \pm 3$ मिलता है।
$x=0$ रखने पर $3|y|=6$ प्राप्त होता है,जिससे $|y|=2$ अर्थात $y = \pm 2$ मिलता है।
समचतुर्भुज के शीर्ष $(3, 0), (-3, 0), (0, 2)$ और $(0, -2)$ हैं।
विकर्णों की लंबाई $d_1 = 3 - (-3) = 6$ और $d_2 = 2 - (-2) = 4$ है।
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$ वर्ग इकाई।

(A) चरण $1$: स्तंभ-$II$ के व्यंजकों का विश्लेषण करें।
$P$: रेखा $hx + ky = 1$ वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ (त्रिज्या $r=2$) को स्पर्श करती है। मूल बिंदु से रेखा की दूरी $1/\sqrt{h^2 + k^2} = 2 \implies h^2 + k^2 = 1/4$। यह एक वृत्त है।
$Q$: $|z + 2| - |z - 2| = \pm 3$। यह एक अतिपरवलय को दर्शाता है।
$R$: उत्केंद्रता $e \in [1, \infty)$ में परवलय $(e=1)$ और अतिपरवलय $(e>1)$ दोनों शामिल हैं।
$S$: $Re(z+1)^2 = |z|^2 + 1$ को हल करने पर $x = y^2$ प्राप्त होता है,जो एक परवलय है।
चरण $2$: स्तंभ-$I$ के साथ सुमेलित करें।
$A$ (वृत्त) $\to P$.
$B$ (परवलय) $\to S, R$.
$C$ (अतिपरवलय) $\to Q, R$.
अतः,$A \to (P), B \to (R, S), C \to (Q, R)$।

(C) माना $P$ के निर्देशांक $(at^2, 2at)$ हैं। चूँकि $PQ$ एक द्वि-कोटि है,$Q$ के निर्देशांक $(at^2, -2at)$ होंगे।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $(at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y + tx = 2at + at^3$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $9y^2 = 4ax$ है।

(C) समीकरण $|x| + |y| = 1$ एक वर्ग को दर्शाता है जिसके शीर्ष $(1, 0)$,$(0, 1)$,$(-1, 0)$,और $(0, -1)$ हैं।
इस वर्ग के विकर्ण अक्षों पर स्थित हैं जिनकी लंबाई $d_1 = 2$ और $d_2 = 2$ है।
लंबवत विकर्णों वाले चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ वर्ग इकाई।

(A) परवलय $y^2 = 8x$ के लिए,बिंदु $(2t^2, 4t)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $yt = x + 2t^2$ है।
यह रेखा अतिपरवलय $xy = -1$ की भी स्पर्शरेखा है। $x = \frac{yt - 2t^2}{1}$ को $xy = -1$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y(\frac{yt - 2t^2}{1}) = -1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $ty^2 - 2t^2y + 1 = 0$ हो जाता है।
रेखा के स्पर्शरेखा होने के लिए,इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर शून्य होना चाहिए:
$D = (-2t^2)^2 - 4(t)(1) = 0$
$4t^4 - 4t = 0$
$4t(t^3 - 1) = 0$
चूंकि $t \neq 0$ (क्योंकि $t=0$ पर $x=0$ प्राप्त होता है,जो $xy=-1$ की स्पर्शरेखा नहीं है),इसलिए $t^3 = 1$,जिससे $t = 1$ प्राप्त होता है।
$t = 1$ को स्पर्शरेखा के समीकरण $yt = x + 2t^2$ में रखने पर,हमें $y(1) = x + 2(1)^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $y = x + 2$ हो जाता है।

(C) मान लीजिए कि नाभिलंब के अंत्य बिंदु $L(x_1, y_1)$ और $L'(x_2, y_2)$ हैं।
नाभिलंब की लंबाई $4a = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ होती है।
चूंकि परवलय का अक्ष नाभिलंब के लंबवत होता है और उसके मध्य बिंदु से गुजरता है,इसलिए अक्ष के लिए दो संभावित दिशाएँ होती हैं।
अतः,नाभिलंब के दिए गए अंत्य बिंदुओं से ठीक $2$ परवलय खींचे जा सकते हैं।

(A) माना $P(h, k)$ वह गतिमान बिंदु है जिसका बिंदुपथ ज्ञात करना है।
दी गई शर्त के अनुसार,$P$ की मूल बिंदु $O(0, 0)$ से दूरी,$y$-अक्ष से उसकी दूरी की दोगुनी है।
$P(h, k)$ की $O(0, 0)$ से दूरी $\sqrt{h^2 + k^2}$ है।
$P(h, k)$ की $y$-अक्ष से दूरी $|h|$ है।
अतः,$\sqrt{h^2 + k^2} = 2|h|$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$h^2 + k^2 = 4h^2$
$k^2 = 3h^2$
$3h^2 - k^2 = 0$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $3x^2 - y^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) परवलय $y^2 = 4x$ की कोई भी स्पर्शरेखा $y = mx + \frac{1}{m}$ के रूप में होती है।
यह वृत्त $(x - 3)^2 + y^2 = 9$ (केंद्र $(3, 0)$,त्रिज्या $3$) को स्पर्श करती है यदि केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर हो:
$3 = \left| \frac{m(3) - 0 + \frac{1}{m}}{\sqrt{m^2 + 1}} \right|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$9(m^2 + 1) = (3m + \frac{1}{m})^2$
$9m^2 + 9 = 9m^2 + 6 + \frac{1}{m^2}$
$3 = \frac{1}{m^2}$ $\Rightarrow m^2 = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$
$X$-अक्ष के ऊपर स्पर्शरेखा के लिए,हम धनात्मक ढाल $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ लेते हैं:
$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \sqrt{3}$
$\sqrt{3}y = x + 3$

(B) माना $P(x, y)$ दीर्घवृत्त पर कोई बिंदु है।
दी गई नाभि $S = (-1, 1)$ और नियता $L: x - y + 3 = 0$ है।
माना $PM$,बिंदु $P(x, y)$ से नियता $x - y + 3 = 0$ पर लंबवत दूरी है।
दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,$SP = e \cdot PM$,जहाँ $e = 1/2$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$SP^{2} = e^{2} \cdot PM^{2}$ प्राप्त होता है।
$(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = (1/2)^{2} \cdot \left( \frac{x - y + 3}{\sqrt{1^{2} + (-1)^{2}}} \right)^{2}$
$(x^{2} + 2x + 1 + y^{2} - 2y + 1) = \frac{1}{4} \cdot \frac{(x - y + 3)^{2}}{2}$
$8(x^{2} + y^{2} + 2x - 2y + 2) = (x - y + 3)^{2}$
$8x^{2} + 8y^{2} + 16x - 16y + 16 = x^{2} + y^{2} + 9 - 2xy + 6x - 6y$
$7x^{2} + 7y^{2} + 2xy + 10x - 10y + 7 = 0$
अतः,दीर्घवृत्त का समीकरण $7x^{2} + 7y^{2} + 2xy + 10x - 10y + 7 = 0$ है।

(C) माना बिंदु $B$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
चूंकि $B$ परवलय $y^2 = 4ax$ पर स्थित है,इसलिए $y^2 = 4ax$ है।
$AB$ की ढाल $m_1 = \frac{y}{x}$ है।
चूंकि $BC \perp AB$,इसलिए $BC$ की ढाल $m_2 = -\frac{x}{y}$ है।
$(x, y)$ से गुजरने वाली रेखा $BC$ का समीकरण $(Y - y) = -\frac{x}{y}(X - x)$ है।
परवलय के अक्ष पर (जहाँ $Y = 0$) बिंदु $C$ ज्ञात करने के लिए,$Y = 0$ रखने पर:
$-y = -\frac{x}{y}(X - x) \implies y^2 = x(X - x) \implies 4ax = x(X - x) \implies 4a = X - x$.
अतः,अक्ष पर $BC$ का प्रक्षेप $DC = X - x = 4a$ है।

(C) बिंदु $P(3, 4)$ के लिए दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ की स्पर्श जीवा का समीकरण $T = 0$ से $\frac{3x}{9} + \frac{4y}{4} = 1$ अर्थात $x + 3y = 3$ प्राप्त होता है।
स्पर्श बिंदु $A(3, 0)$ और $B(-9/5, 8/5)$ हैं।
लंबकेंद्र $R$ शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $PB$ की ढाल $\frac{4 - 8/5}{3 - (-9/5)} = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $A$ से गुजरने वाले शीर्षलंब की ढाल $-2$ होगी। इसका समीकरण $2x + y = 6$ है।
$PA$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है,इसलिए $B$ से गुजरने वाला शीर्षलंब क्षैतिज रेखा $y = 8/5$ होगी।
इन दोनों रेखाओं को हल करने पर $R = \left( \frac{11}{5}, \frac{8}{5} \right)$ प्राप्त होता है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है।
आकृति से,एक स्पर्श रेखा $P(3, 4)$ से होकर गुजरती है और दीर्घवृत्त को $A(3, 0)$ पर स्पर्श करती है।
मान लीजिए दूसरी स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + c$ है। चूँकि यह $P(3, 4)$ से होकर गुजरती है,इसलिए $4 = 3m + c$,यानी $c = 4 - 3m$।
रेखा $y = mx + c$ के दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ है।
$c = 4 - 3m$,$a^2 = 9$,और $b^2 = 4$ रखने पर:
$(4 - 3m)^2 = 9m^2 + 4$
$16 - 24m + 9m^2 = 9m^2 + 4$
$24m = 12 \implies m = \frac{1}{2}$।
अतः $c = 4 - 3(\frac{1}{2}) = 4 - 1.5 = 2.5 = \frac{5}{2}$।
स्पर्श रेखा $y = mx + c$ के लिए स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1)$ को $\left( -\frac{a^2m}{c}, \frac{b^2}{c} \right)$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$x_1 = -\frac{9 \times (1/2)}{5/2} = -\frac{9}{5}$।
$y_1 = \frac{4}{5/2} = \frac{8}{5}$।
इस प्रकार,स्पर्श बिंदु $A(3, 0)$ और $B\left( -\frac{9}{5}, \frac{8}{5} \right)$ हैं।

(C) दिए गए समीकरण $x^2 - 5x + 6 = 0$ और $y^2 - 6y + 5 = 0$ हैं।
इन्हें हल करने पर,हमें $x = 2, 3$ और $y = 1, 5$ प्राप्त होते हैं।
समांतर चतुर्भुज के शीर्ष $(2, 1), (3, 1), (3, 5),$ और $(2, 5)$ हैं।
विकर्ण $d_1$,$(2, 1)$ और $(3, 5)$ को जोड़ता है। इसका समीकरण $y - 1 = \frac{5 - 1}{3 - 2}(x - 2)$ $\Rightarrow y - 1 = 4(x - 2)$ $\Rightarrow y = 4x - 7$ है।
विकर्ण $d_2$,$(3, 1)$ और $(2, 5)$ को जोड़ता है। इसका समीकरण $y - 1 = \frac{5 - 1}{2 - 3}(x - 3)$ $\Rightarrow y - 1 = -4(x - 3)$ $\Rightarrow 4x + y = 13$ है।
अतः,विकर्णों के समीकरण $4x + y = 13$ और $y = 4x - 7$ हैं।

(B) वृत्त $(x-4)^2 + y^2 = 16$ का केंद्र $(4, 0)$ और त्रिज्या $r = 4$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ पर बिंदु $P(3 \sec \theta, 2 \tan \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \sec \theta}{3} - \frac{y \tan \theta}{2} = 1$ है।
केंद्र $(4, 0)$ से स्पर्श रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $4$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|\frac{4 \sec \theta}{3} - 1|}{\sqrt{\frac{\sec^2 \theta}{9} + \frac{\tan^2 \theta}{4}}} = 4$.
इस समीकरण को हल करने पर $\sec \theta = -3/2$ और $\tan \theta = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,अभीष्ट स्पर्श रेखा का समीकरण $2x - \sqrt{5}y + 4 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) परवलय $y^2 = 4x$ की स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx + \frac{1}{m}$ है।
यदि यह रेखा दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ की स्पर्शरेखा है,तो इसे $c^2 = a^2m^2 + b^2$ शर्त को संतुष्ट करना चाहिए,जहाँ $c = \frac{1}{m}$,$a^2 = 4$,और $b^2 = 3$ है।
इन मानों को रखने पर: $(\frac{1}{m})^2 = 4m^2 + 3$ प्राप्त होता है।
माना $m^2 = t$,तब $\frac{1}{t} = 4t + 3$,जिसका अर्थ है $4t^2 + 3t - 1 = 0$ है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(4t - 1)(t + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $t = m^2$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $t = \frac{1}{4}$,अर्थात $m = \pm \frac{1}{2}$ है।
$m = \frac{1}{2}$ के लिए,स्पर्शरेखा $y = \frac{1}{2}x + 2 \Rightarrow x - 2y + 4 = 0$ है।
$m = -\frac{1}{2}$ के लिए,स्पर्शरेखा $y = -\frac{1}{2}x - 2 \Rightarrow x + 2y + 4 = 0$ है।

(D) पहला वक्र एक वृत्त $x^2 + y^2 = 2^2$ है जिसका केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = 2$ है।
दूसरा वक्र एक दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{2} = 1$ है जहाँ $a^2 = 1$ और $b^2 = 2$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ है।
$a^2 = 1$ और $b^2 = 2$ रखने पर,हमें $y = mx \pm \sqrt{m^2 + 2}$ प्राप्त होता है,जिसे $mx - y \pm \sqrt{m^2 + 2} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ की भी स्पर्शरेखा है,इसलिए केंद्र $(0, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r_1 = 2$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$\frac{|m(0) - 0 \pm \sqrt{m^2 + 2}|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{m^2 + 2}{m^2 + 1} = 4$ प्राप्त होता है।
$m^2 + 2 = 4m^2 + 4$.
$3m^2 = -2$,जिससे $m^2 = -2/3$ प्राप्त होता है।
वास्तविक स्पर्शरेखाओं के लिए $m^2$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए इन दो वक्रों के लिए कोई वास्तविक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा नहीं है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{3} = 1$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ होता है।
यहाँ,$a^2 = 16$,$b^2 = 3$,$x_1 = 2$,और $y_1 = \frac{3}{2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{16x}{2} - \frac{3y}{3/2} = 16 - 3$.
$8x - 2y = 13$,जिसे सरल करने पर $2y = 8x - 13$ या $y = 4x - \frac{13}{2}$ प्राप्त होता है।
रेखा $y = mx + c$ के परवलय $y^2 = 4Ax$ को स्पर्श करने की शर्त $c = \frac{A}{m}$ है।
यहाँ,$m = 4$ और $c = -\frac{13}{2}$ है।
अतः,$-\frac{13}{2} = \frac{A}{4} \implies A = -26$.
परवलय का समीकरण $y^2 = 4Ax = 4(-26)x = -104x$ है।

(D) दिया गया अतिपरवलय $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ है।
$\frac{1}{25}$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^2}{144/25} - \frac{y^2}{81/25} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^2 = \frac{144}{25}$ और $b^2 = \frac{81}{25}$ है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{81}{144}} = \sqrt{\frac{225}{144}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$ है।
अतिपरवलय की नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm \frac{12}{5} \times \frac{5}{4}, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,$a^2 = 16$,इसलिए $a = 4$ है।
दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm ae', 0) = (\pm 4e', 0)$ हैं।
चूंकि नाभियाँ समान हैं,$4e' = 3$,इसलिए $e' = \frac{3}{4}$ है।
दीर्घवृत्त के लिए,$e'^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ है।
मान रखने पर,$(\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{b^2}{16}$ प्राप्त होता है।
$\frac{9}{16} = 1 - \frac{b^2}{16} \Rightarrow \frac{b^2}{16} = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$ है।
अतः,$b^2 = 7$।

(C) माना वक्र $C_1: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $C_2: x^2 - y^2 = c^2$ हैं।
$C_1$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $y'_1 = -\frac{b^2x}{a^2y}$।
$C_2$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $y'_2 = \frac{x}{y}$।
चूंकि वक्र समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं,प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y)$ पर उनके ढाल का गुणनफल $-1$ होगा:
$y'_1 \times y'_2 = -1$
$(-\frac{b^2x}{a^2y}) \times (\frac{x}{y}) = -1$
$\frac{b^2x^2}{a^2y^2} = 1 \implies b^2x^2 = a^2y^2$।
$C_2$ से,$y^2 = x^2 - c^2$। इस मान को उपरोक्त समीकरण में रखने पर:
$b^2x^2 = a^2(x^2 - c^2) \implies x^2(a^2 - b^2) = a^2c^2$।
$C_1$ से,$\frac{x^2}{a^2} + \frac{x^2 - c^2}{b^2} = 1$ को हल करने पर $x^2 = \frac{a^2(b^2 + c^2)}{a^2 + b^2}$ प्राप्त होता है।
$x^2$ के दोनों मानों की तुलना करने पर:
$\frac{a^2c^2}{a^2 - b^2} = \frac{a^2(b^2 + c^2)}{a^2 + b^2}$
$c^2(a^2 + b^2) = (b^2 + c^2)(a^2 - b^2)$
$a^2c^2 + b^2c^2 = a^2b^2 - b^4 + a^2c^2 - b^2c^2$
$2b^2c^2 = a^2b^2 - b^4$
$b^2$ से विभाजित करने पर:
$2c^2 = a^2 - b^2$।

(C) माना दो वक्र $C_1: x^2 - y^2 = 5$ और $C_2: \frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{8} = 1$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2 = x^2 - 5$ को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
$\frac{x^2}{18} + \frac{x^2 - 5}{8} = 1
\Rightarrow 4x^2 + 9(x^2 - 5) = 72
\Rightarrow 13x^2 = 117
\Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$.
यदि $x^2 = 9$ है,तो $y^2 = 9 - 5 = 4 \Rightarrow y = \pm 2$.
अब,$C_1$ का अवकलन करने पर: $2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$.
बिंदु $(3, 2)$ पर,$m_1 = \frac{3}{2}$.
$C_2$ का अवकलन करने पर: $\frac{2x}{18} + \frac{2y}{8} \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{8x}{18y} = -\frac{4x}{9y}$.
बिंदु $(3, 2)$ पर,$m_2 = -\frac{4(3)}{9(2)} = -\frac{12}{18} = -\frac{2}{3}$.
चूंकि $m_1 \times m_2 = (\frac{3}{2}) \times (-\frac{2}{3}) = -1$,इसलिए वक्र $\frac{\pi}{2}$ के कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।

(A) द्विघात समीकरण $x^2 + px + p^3 = 0$ के लिए,मूलों का योग और गुणनफल $\alpha + \beta = -p$ और $\alpha \beta = p^3$ हैं।
चूंकि $(\alpha, \beta)$ परवलय $y^2 = x$ पर स्थित है,इसलिए $\beta^2 = \alpha$ है।
मूलों के गुणनफल में $\alpha = \beta^2$ प्रतिस्थापित करने पर: $\beta^2 \cdot \beta = p^3$ $\Rightarrow \beta^3 = p^3$ $\Rightarrow \beta = p$.
अब,मूलों के योग के समीकरण में $\beta = p$ और $\alpha = p^2$ रखने पर: $p^2 + p = -p$.
यह $p^2 + 2p = 0$ में सरल हो जाता है,जिससे $p(p + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p \neq 0$,इसलिए $p = -2$ होगा।
$p = -2$ का मान रखने पर: $\beta = p = -2$ और $\alpha = p^2 = (-2)^2 = 4$.
अतः,मूल $4$ और $-2$ हैं।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ है।
माना $(h, k)$ केंद्र $(0, 0)$ से इस स्पर्श रेखा पर खींचे गए लंब का पाद है।
स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{b \cos \theta}{a \sin \theta}$ है।
रेखा की ढाल $m_2 = \frac{k}{h}$ है।
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,$m_1 \times m_2 = -1$,जिससे हल करने पर बिंदुपथ $(x^2 + y^2)^2 = a^2x^2 + b^2y^2$ प्राप्त होता है।

(C) माना परवलय $y^2 = 4ax$ की दो स्पर्श रेखाएँ बिंदुओं $t_1$ और $t_2$ पर हैं।
चूँकि स्पर्श रेखाएँ लंबवत हैं,इसलिए $t_1 t_2 = -1$ है।
बिंदु $t$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $ty = x + at^2$ है।
अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए $y = 0$ रखने पर,$x = -at^2$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $P_1 = (-at_1^2, 0)$ और $P_2 = (-at_2^2, 0)$ हैं।
परवलय की नाभि $S$ बिंदु $(a, 0)$ पर है।
दूरियाँ $SP_1 = a(1 + t_1^2)$ और $SP_2 = a(1 + t_2^2)$ हैं।
हमें $\frac{1}{SP_1} + \frac{1}{SP_2} = \frac{1}{a(1 + t_1^2)} + \frac{1}{a(1 + t_2^2)}$ की गणना करनी है।
$t_2 = -\frac{1}{t_1}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{a(1 + t_1^2)} + \frac{t_1^2}{a(t_1^2 + 1)} = \frac{1 + t_1^2}{a(1 + t_1^2)} = \frac{1}{a}$ प्राप्त होता है।

(B) माना परवलय $y^2 = 4x$ पर बिंदु $P(t^2, 2t)$ है।
बिंदु $P(t^2, 2t)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $ty = x + t^2$ है।
स्पर्श रेखा का $x$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए $y = 0$ रखने पर,$x = -t^2$ प्राप्त होता है। अतः,स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $A(-t^2, 0)$ पर काटती है।
बिंदु $P$ की कोटि $PN = 2t$ है,जहाँ $N$ बिंदु $P$ का $x$-अक्ष पर प्रक्षेप $N(t^2, 0)$ है।
स्पर्श रेखा,$P$ की कोटि और $x$-अक्ष द्वारा निर्मित त्रिभुज $\triangle APN$ है।
त्रिभुज का आधार $AN = |t^2 - (-t^2)| = 2t^2$ है और ऊँचाई $PN = 2t$ है।
$\triangle APN$ का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times (2t^2) \times (2t) = 2t^3$ है।
दिया गया है कि $t^2 \in [1, 4]$,इसलिए $t \in [1, 2]$ (प्रथम चतुर्थांश के लिए $t > 0$ मानते हुए)।
अतः,$A = 2t^3 = 2(t^2)^{3/2}$।
चूँकि $t^2 \in [1, 4]$,अधिकतम क्षेत्रफल $t^2 = 4$ पर प्राप्त होता है।
$A_{max} = 2(4)^{3/2} = 2(8) = 16$।

(B) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है जिसकी उत्केंद्रता $e_1$ है। नाभियाँ $(\pm ae_1, 0)$ हैं।
माना अतिपरवलय $\frac{x^2}{A^2} - \frac{y^2}{B^2} = 1$ है जिसकी उत्केंद्रता $e_2$ है। नाभियाँ $(\pm Ae_2, 0)$ हैं।
समान नाभियों के कारण,$ae_1 = Ae_2$.
दिया गया है कि दीर्घवृत्त की लघु अक्ष $(2b)$ अतिपरवलय की संयुग्मी अक्ष $(2B)$ के समान है,इसलिए $b = B$,अर्थात $b^2 = B^2$.
दीर्घवृत्त के लिए,$b^2 = a^2(1 - e_1^2)$.
अतिपरवलय के लिए,$B^2 = A^2(e_2^2 - 1)$.
$b^2$ और $B^2$ की तुलना करने पर,$a^2(1 - e_1^2) = A^2(e_2^2 - 1)$.
चूंकि $ae_1 = Ae_2$,इसलिए $A = \frac{ae_1}{e_2}$.
समीकरण में $A$ का मान रखने पर: $a^2 - a^2e_1^2 = (\frac{ae_1}{e_2})^2(e_2^2 - 1) = a^2e_1^2 - \frac{a^2e_1^2}{e_2^2}$.
$a^2$ से भाग देने पर: $1 - e_1^2 = e_1^2 - \frac{e_1^2}{e_2^2}$.
$1 = 2e_1^2 - \frac{e_1^2}{e_2^2}$.
$e_1^2$ से भाग देने पर: $\frac{1}{e_1^2} = 2 - \frac{1}{e_2^2}$.
अतः,$e_1^{-2} + e_2^{-2} = 2$.

(B) माना $P$ के निर्देशांक $(at_1^2, 2at_1)$ और $Q$ के निर्देशांक $(at_2^2, 2at_2)$ हैं।
$P(t_1)$ पर अभिलंब की ढाल $m_1 = -t_1 = \tan \alpha$ है।
$Q(t_2)$ पर अभिलंब की ढाल $m_2 = -t_2 = \tan \beta$ है।
$t_1$ पर अभिलंब के परवलय को $t_2$ पर मिलने का संबंध $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}$ है।
$t_1$ से गुणा करने पर,हमें $t_1 t_2 = -t_1^2 - 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t_1^2 + t_1 t_2 = -2$।
$t_1 = -\tan \alpha$ और $t_2 = -\tan \beta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(-\tan \alpha)^2 + (-\tan \alpha)(-\tan \beta) = -2$
$\tan^2 \alpha + \tan \alpha \tan \beta = -2$
$\tan \alpha (\tan \alpha + \tan \beta) = -2$.

(C) माना $PF_1 = y$ और $PF_2 = x$ है। दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,$x + y = 2a$,जहाँ $2a$ मुख्य अक्ष की लंबाई है। दिया गया है $2a = 17$,इसलिए $x + y = 17$.
चूँकि वृत्त नाभियों से होकर गुजरता है और केंद्र मूल बिंदु पर है,इसलिए $\angle F_1PF_2 = 90^\circ$ होगा।
त्रिभुज $PF_1F_2$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times x \times y = 30$,जिससे $xy = 60$ प्राप्त होता है।
नाभियों के बीच की दूरी $F_1F_2 = \sqrt{x^2 + y^2}$ है।
$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = (17)^2 - 2(60) = 289 - 120 = 169$.
अतः,$F_1F_2 = \sqrt{169} = 13$.

(D) $(0, 1)$ केंद्र और $1$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण $x^2 + (y - 1)^2 = 1$ है,जो $x^2 + y^2 - 2y = 0$ में सरल हो जाता है।
दिए गए परवलय $y = ax^2$ के लिए,हमारे पास $x^2 = y/a$ ($a \neq 0$ के लिए) है।
वृत्त के समीकरण में $x^2 = y/a$ प्रतिस्थापित करने पर:
$y/a + y^2 - 2y = 0$
$y(y + 1/a - 2) = 0$
इससे $y = 0$ (मूल बिंदु) या $y = 2 - 1/a$ प्राप्त होता है।
वक्रों के मूल बिंदु के अलावा किसी अन्य बिंदु पर मिलने के लिए,हमें $y > 0$ और $x^2 > 0$ की आवश्यकता है।
$2 - 1/a > 0$ $\Rightarrow 2 > 1/a$ $\Rightarrow a > 1/2$ (चूंकि परवलय के ऊपर की ओर खुलने और मूल बिंदु के ऊपर वृत्त को काटने के लिए $a$ का धनात्मक होना आवश्यक है)।
अतः,मानों का आवश्यक समुच्चय $a \in (1/2, \infty)$ है।

(C) माना बिंदु $T$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए बिंदु $T(h, k)$ से स्पर्श जीवा $PQ$ का समीकरण $ky = 2a(x + h)$ है।
चूंकि जीवा $PQ$ स्थिर बिंदु $(-a, b)$ से होकर गुजरती है,इसलिए हम $x = -a$ और $y = b$ को जीवा के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$b(k) = 2a(-a + h)$
$bk = 2a(h - a)$
$T$ का बिंदुपथ ज्ञात करने के लिए $(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,हमें प्राप्त होता है:
$by = 2a(x - a)$

(A) माना $P$ के निर्देशांक $(at_1^2, 2at_1)$ और $Q$ के निर्देशांक $(at_2^2, 2at_2)$ हैं।
$P$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = \frac{1}{t_1} = \tan \theta_1$ है,अतः $\cot \theta_1 = t_1$ है।
$Q$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_2 = \frac{1}{t_2} = \tan \theta_2$ है,अतः $\cot \theta_2 = t_2$ है।
$OP$ व्यास वाले वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - at_1^2x - 2at_1y = 0$ है।
$OQ$ व्यास वाले वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - at_2^2x - 2at_2y = 0$ है।
इन समीकरणों को घटाने पर उभयनिष्ठ जीवा $OR$ का समीकरण $(t_1 + t_2)x + 2y = 0$ प्राप्त होता है।
$OR$ की ढाल $\tan \phi = -\frac{t_1 + t_2}{2}$ है।
अतः,$\cot \theta_1 + \cot \theta_2 = t_1 + t_2 = -2 \tan \phi$।

(D) माना अतिपरवलय $xy = c^2$ पर स्पर्श बिंदु $(ct, c/t)$ है।
$(ct, c/t)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x/t + yt = 2c$ है,अर्थात $x + t^2y = 2ct$।
इस स्पर्श रेखा की ढाल $m = -1/t^2$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरने वाली और स्पर्श रेखा के लंबवत रेखा की ढाल $m' = t^2$ है।
इस लंबवत रेखा का समीकरण $y = t^2x$ है।
स्पर्श रेखा के समीकरण $x + t^2y = 2ct$ में $t^2 = y/x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x + (y/x)y = 2c\sqrt{y/x} \implies x + y^2/x = 2c\sqrt{y/x}$।
$x$ से गुणा करने पर,हमें $x^2 + y^2 = 2c\sqrt{xy}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x^2 + y^2)^2 = 4c^2xy$ प्राप्त होता है।

(A) माना परवलय $y^2 = 4ax$ पर बिंदु $P(at^2, 2at)$ है।
बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $ty = x + at^2$ है।
नियता $x = -a$ है। स्पर्शरेखा के समीकरण में $x = -a$ रखने पर,$ty = -a + at^2$,इसलिए $y = \frac{a(t^2 - 1)}{t}$। अतः,$U = (-a, \frac{a(t^2 - 1)}{t})$।
नाभिलंब $x = a$ है। स्पर्शरेखा के समीकरण में $x = a$ रखने पर,$ty = a + at^2$,इसलिए $y = \frac{a(1 + t^2)}{t}$। अतः,$V = (a, \frac{a(1 + t^2)}{t})$।
नाभि $S = (a, 0)$ है।
हम जानते हैं कि परवलय पर किसी भी बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा नाभि $S$ पर समकोण बनाती है। इसलिए,$\angle PSU = 90^\circ$।
अतः,$\triangle SUV$ एक समकोण त्रिभुज है।

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $t$ पर अभिलंब का समीकरण $y + tx = 2at + at^3$ है।
इस अभिलंब की प्रवणता $m_N = -t$ है। चूंकि अभिलंब अक्ष के साथ $\phi$ कोण बनाता है,$m_N = \tan \phi$,अतः $t = -\tan \phi$.
यदि अभिलंब वक्र को बिंदु $t_1$ पर पुनः काटता है,तो $t_1 = -t - \frac{2}{t}$।
बिंदु $t_1$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $m_T = \frac{1}{t_1}$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु पर अभिलंब और स्पर्श रेखा के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \left| \frac{m_N - m_T}{1 + m_N m_T} \right| = \frac{|t|}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $t = -\tan \phi$,इसलिए $\tan \theta = \frac{\tan \phi}{2}$।
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left( \frac{\tan \phi}{2} \right)$।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2 + b^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{(a^2 + b^2)m^2 + b^2}$ है।
यदि यह रेखा दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 + b^2} = 1$ की भी स्पर्शरेखा है,तो स्पर्शरेखा की शर्त $c^2 = A^2m^2 + B^2$ संतुष्ट होनी चाहिए,जहाँ $A^2 = a^2$ और $B^2 = a^2 + b^2$ है।
अतः,$(a^2 + b^2)m^2 + b^2 = a^2m^2 + (a^2 + b^2)$.
इसे सरल करने पर,$a^2m^2 + b^2m^2 + b^2 = a^2m^2 + a^2 + b^2$,जिसका अर्थ है $b^2m^2 = a^2$.
इसलिए,$m^2 = \frac{a^2}{b^2}$,यानी $m = \pm \frac{a}{b}$.
$m = \pm \frac{a}{b}$ को स्पर्शरेखा के समीकरण में रखने पर:
$y = \pm \frac{a}{b}x \pm \sqrt{(a^2 + b^2)\frac{a^2}{b^2} + b^2} = \pm \frac{a}{b}x \pm \sqrt{\frac{a^4 + a^2b^2 + b^4}{b^2}}$.
$b$ से गुणा करने पर,हमें $by = \pm ax \pm \sqrt{a^4 + a^2b^2 + b^4}$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर,$by = ax - \sqrt{a^4 + a^2b^2 + b^4}$ एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है।

(C) अतिपरवलय $xy = c^2$ पर दो बिंदु $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ हैं।
प्राचलिक रूप का उपयोग करते हुए,$x_1 = ct_1, y_1 = c/t_1$ और $x_2 = ct_2, y_2 = c/t_2$ है।
जीवा का समीकरण $x + t_1 t_2 y = c(t_1 + t_2)$ होता है।
$t_1 = c/x_1$ और $t_2 = c/x_2$ प्रतिस्थापित करने पर,सही विकल्प $C$ प्राप्त होता है।

(B) अतिपरवलय $xy = a^2$ के लिए मध्य-बिंदु $C(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ के अनुसार $\frac{x}{h} + \frac{y}{k} = 2$ होता है।
$x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए $y = 0$ रखने पर,$\frac{x}{h} = 2$ प्राप्त होता है,अतः $x = 2h$। इस प्रकार,बिंदु $A$ के निर्देशांक $(2h, 0)$ हैं।
$\Delta ACO$ के शीर्ष $O(0, 0)$,$C(h, k)$ और $A(2h, 0)$ हैं।
भुजा $OC$ की लंबाई $= \sqrt{h^2 + k^2}$।
भुजा $AC$ की लंबाई $= \sqrt{(2h - h)^2 + (0 - k)^2} = \sqrt{h^2 + k^2}$।
चूंकि $OC = AC$,इसलिए $\Delta ACO$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(B) दिए गए समीकरण $x^2 + y^2 = 5$ और $y^2 = 4x$ हैं।
वृत्त के समीकरण में $y^2 = 4x$ प्रतिस्थापित करने पर: $x^2 + 4x = 5$.
$x^2 + 4x - 5 = 0$.
$(x + 5)(x - 1) = 0$.
परवलय $y^2 = 4x$ के लिए $x$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $x = 1$.
$x = 1$ के लिए,$y^2 = 4(1) = 4$,अतः $y = \pm 2$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $P(1, 2)$ और $Q(1, -2)$ हैं।
$PQ$ की लंबाई $= \sqrt{(1 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4$.

(C) माना स्पर्श बिंदु $(x, y)$ है और स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{dy}{dx}$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $Y - y = m(X - x)$ है।
$X$-अंतःखंड (जहाँ $Y=0$) $X = x - \frac{y}{m}$ है।
$Y$-अंतःखंड (जहाँ $X=0$) $Y = y - mx$ है।
चूंकि बिंदु $(x, y)$ अक्षों के बीच के खंड को समद्विभाजित करता है,इसलिए $x = \frac{1}{2}(x - \frac{y}{m} + 0)$ $\Rightarrow 2x = x - \frac{y}{m}$ $\Rightarrow \frac{y}{m} = -x$।
$m = \frac{dy}{dx}$ रखने पर,$y \frac{dx}{dy} = -x \Rightarrow \frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln y = -\ln x + C \Rightarrow xy = c$।
शांकव $(2, 4)$ से गुजरता है,इसलिए $c = 2 \times 4 = 8$। अतः,समीकरण $xy = 8$ है।
यह एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) है।
$xy = 8$ की नाभियाँ $(4, 4)$ और $(-4, -4)$ हैं।

(C) माना $P$ के निर्देशांक $(at_1^2, 2at_1)$ और $Q$ के $(at_2^2, 2at_2)$ हैं।
चूँकि $PQ$,$P$ पर एक अभिलंब जीवा है,हमारे पास संबंध $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}$ है,जिसका अर्थ है $t_1t_2 + t_1^2 = -2$।
रेखा $AQ$ की ढाल $m = \frac{2at_2 - 0}{at_2^2 - 0} = \frac{2}{t_2}$ है।
$P(at_1^2, 2at_1)$ से गुजरने वाली और $AQ$ के समानांतर रेखा का समीकरण:
$y - 2at_1 = \frac{2}{t_2}(x - at_1^2)$।
$x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए,$y = 0$ रखें:
$-2at_1 = \frac{2}{t_2}(x - at_1^2) \Rightarrow -at_1t_2 = x - at_1^2$।
$x = at_1^2 - at_1t_2$।
$t_1t_2 = -2 - t_1^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x = at_1^2 - a(-2 - t_1^2) = at_1^2 + 2a + at_1^2 = 2a + 2at_1^2 = 2(a + at_1^2)$।
चूँकि $A$ मूलबिंदु $(0,0)$ है,$AR$ की लंबाई $|x| = 2(a + at_1^2)$ है।
बिंदु $P(at_1^2, 2at_1)$ की नाभीय दूरी $a + at_1^2$ है।
अतः,$AR = 2 \times (P \text{ की नाभीय दूरी})$।