दीर्घवृत्त frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = | vedclass

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Question

(C) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। दीर्घवृत्त की कोई भी स्पर्श रेखा $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ द्वारा दी

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एक वृत्त

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(C) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। दीर्घवृत्त की कोई भी स्पर्श रेखा $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ द्वारा दी जाती है। यदि यह स्पर्श रेखा बिंदु $(h, k)$ से गुजरती है,तो $k - mh = \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(k - mh)^2 = a^2m^2 + b^2$,जो $k^2 - 2mhk + m^2h^2 = a^2m^2 + b^2$ में सरल हो जाता है। $m$ में द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $m^2(h^2 - a^2) - 2mhk + (k^2 - b^2) = 0$। चूंकि स्पर्श रेखाएं परस्पर लंबवत हैं,इसलिए उनकी ढलानों का गुणनफल $m_1m_2 = -1$ है। द्विघात समीकरण $Am^2 + Bm + C = 0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $\frac{C}{A}$ होता है। अतः,$\frac{k^2 - b^2}{h^2 - a^2} = -1$। $k^2 - b^2 = -(h^2 - a^2) \implies h^2 + k^2 = a^2 + b^2$। $(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ प्राप्त होता है,जो एक वृत्त है जिसे निर्देशक वृत्त (director circle) कहा जाता है।

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के परस्पर लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ क्या है?

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