$2a$ और $2b$ दीर्घ और लघु अक्ष वाले दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु की नाभीय दूरियों का योग किसके बराबर होता है?

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{4} = 1$ पर स्थित दो बिंदुओं $P$ और $Q$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए,यदि $P$ और $Q$ के उत्केंद्र कोणों का अंतर $\frac{3\pi}{2}$ है।

दीर्घवृत्त $3x^{2} + 4y^{2} = 12$ की उन स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $y + 2x = 4$ पर लंब हैं।

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ पर स्थित तीन बिंदुओं $\theta_1, \theta_2, \theta_3$ को शीर्षों के रूप में रखने वाले समबाहु त्रिभुज का परिकेंद्र $(r, s)$ है। तो $\cos(\theta_1-\theta_2)$,$\cos(\theta_2-\theta_3)$ और $\cos(\theta_3-\theta_1)$ का औसत क्या है?

मान लीजिए $C$ दीर्घवृत्त $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ को घेरने वाला न्यूनतम क्षेत्रफल वाला वृत्त है,जिसकी उत्केंद्रता $e = \frac{1}{2}$ और नाभियाँ $(\pm 2, 0)$ हैं। मान लीजिए $PQR$ एक चर त्रिभुज है,जिसका शीर्ष $P$ वृत्त $C$ पर है और $2$ लंबाई वाली भुजा $QR$ दीर्घवृत्त $E$ के मुख्य अक्ष के समानांतर है और $E$ के ऋणात्मक $y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती है। तो त्रिभुज $PQR$ का अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

निम्नलिखित में से किस वक्र के लिए रेखा $x+\sqrt{3} y=2 \sqrt{3}$ बिंदु $\left(\frac{3 \sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ पर स्पर्शरेखा है?