दीर्घवृत्त $4x^2 + y^2 - 8x + 2y + 1 = 0$ की उत्केंद्रता क्या है?

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर किसी बिंदु $P$ पर अभिलंब निर्देशांक अक्षों को क्रमशः $G$ और $g$ पर मिलता है,तो $PG:Pg = $

$\frac{(x-3)^2}{25}+\frac{(y-2)^2}{16}=1$ द्वारा दिए गए दीर्घवृत्त के लिए,List-$I$ में दिए गए रेखाओं के समीकरणों को List-$II$ के साथ सुमेलित करें।

List-$I$	List-$II$
$(i)$ दीर्घ अक्ष का समीकरण	$(p)$ $3x = 34$
$(ii)$ नियता का समीकरण	$(q)$ $y = 2$
$(iii)$ नाभिलंब का समीकरण	$(r)$ $x + y = 9$
	$(s)$ $x = 6$
	$(t)$ $x = 3$
	$(u)$ $3y = 34$

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ पर विचार करें। मान लीजिए $H(\alpha, 0)$,$0 < \alpha < 2$,एक बिंदु है। $H$ से होकर जाने वाली और $y$-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा दीर्घवृत्त और उसके सहायक वृत्त को प्रथम चतुर्थांश में क्रमशः $E$ और $F$ बिंदुओं पर काटती है। बिंदु $E$ पर दीर्घवृत्त की स्पर्शरेखा धनात्मक $x$-अक्ष को बिंदु $G$ पर काटती है। मान लीजिए कि $F$ और मूलबिंदु को जोड़ने वाली सीधी रेखा धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\phi$ कोण बनाती है।

$List-I$	$List-II$
$(I)$ यदि $\phi=\frac{\pi}{4}$ है,तो त्रिभुज $FGH$ का क्षेत्रफल है	$(P) \frac{(\sqrt{3}-1)^4}{8}$
$(II)$ यदि $\phi=\frac{\pi}{3}$ है,तो त्रिभुज $FGH$ का क्षेत्रफल है	$(Q) 1$
$(III)$ यदि $\phi=\frac{\pi}{6}$ है,तो त्रिभुज $FGH$ का क्षेत्रफल है	$(R) \frac{3}{4}$
$(IV)$ यदि $\phi=\frac{\pi}{12}$ है,तो त्रिभुज $FGH$ का क्षेत्रफल है	$(S) \frac{1}{2\sqrt{3}}$
	$(T) \frac{3\sqrt{3}}{2}$

सही विकल्प है:

मान लीजिए कि एक दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a < b$,बिंदु $(4, 3)$ से होकर गुजरता है और इसकी उत्केंद्रता $\frac{\sqrt{5}}{3}$ है। तो इसके नाभिलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए:

$P$ प्रथम चतुर्थांश में दीर्घवृत्त $3x^{2} + 4y^{2} = 48$ के नाभिलंब का एक सिरा है। $P$ का उत्केंद्र कोण क्या है?