General Second-Degree equation Questions in Hindi

(C) रेखा $y = x$ के सापेक्ष सममिति की जाँच करने के लिए,हम दिए गए समीकरण $x^3 + y^3 = 3axy$ में $x$ और $y$ को आपस में बदलते हैं।
$x$ को $y$ से और $y$ को $x$ से बदलने पर,हमें $y^3 + x^3 = 3ayx$ प्राप्त होता है,जो $x^3 + y^3 = 3axy$ के समान है।
चूँकि समीकरण अपरिवर्तित रहता है,इसलिए वक्र रेखा $y = x$ के सापेक्ष सममित है।

(C) चूंकि बिंदु $(2, -3)$ वक्र $kx^2 - 3y^2 + 2x + y - 2 = 0$ पर स्थित है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = 2$ और $y = -3$ रखने पर:
$k(2)^2 - 3(-3)^2 + 2(2) + (-3) - 2 = 0$
$4k - 3(9) + 4 - 3 - 2 = 0$
$4k - 27 + 4 - 5 = 0$
$4k - 28 = 0$
$4k = 28$
$k = 7$

(D) दिया गया समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के रूप में है।
$2x^2 - 72xy + 23y^2 - 4x - 28y - 48 = 0$ से तुलना करने पर,$a=2, h=-36, b=23, g=-2, f=-14, c=-48$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(x, y)$ आंशिक अवकलज $\frac{\partial}{\partial x} = 0$ और $\frac{\partial}{\partial y} = 0$ द्वारा प्राप्त होता है।
$4x - 72y - 4 = 0 \implies x - 18y = 1$ $(i)$
$-72x + 46y - 28 = 0 \implies -36x + 23y = 14$ (ii)
$(i)$ को $36$ से गुणा करने पर: $36x - 648y = 36$.
(ii) में जोड़ने पर: $(23 - 648)y = 14 + 36 \implies -625y = 50 \implies y = -\frac{50}{625} = -\frac{2}{25}$.
$(i)$ में $y$ का मान रखने पर: $x - 18(-\frac{2}{25}) = 1 \implies x + \frac{36}{25} = 1 \implies x = 1 - \frac{36}{25} = -\frac{11}{25}$.
अतः,केंद्र $\left( -\frac{11}{25}, -\frac{2}{25} \right)$ है।

(A) दिया गया समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के रूप में है।
$14x^2 - 4xy + 11y^2 - 44x - 58y + 71 = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = 14, h = -2, b = 11, g = -22, f = -29, c = 71$.
शांकव का केंद्र $(x, y)$ आंशिक अवकलज $\frac{\partial}{\partial x} = 0$ और $\frac{\partial}{\partial y} = 0$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\frac{\partial}{\partial x} = 28x - 4y - 44 = 0 \implies 7x - y = 11$ $(1)$
$\frac{\partial}{\partial y} = -4x + 22y - 58 = 0 \implies -2x + 11y = 29$ $(2)$
$(1)$ को $11$ से गुणा करने पर,हमें $77x - 11y = 121$ प्राप्त होता है।
इसे $(2)$ में जोड़ने पर,$75x = 150$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 2$.
$x = 2$ को $(1)$ में रखने पर,$7(2) - y = 11 \implies 14 - y = 11 \implies y = 3$.
अतः,केंद्र $(2, 3)$ है।

(A) द्वितीय-कोटि वक्र का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
दिए गए समीकरण $x^2 - 2xy + y^2 + 3x + 2 = 0$ की तुलना करने पर,$a = 1$,$h = -1$,$b = 1$,$g = 3/2$,$f = 0$,और $c = 2$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,हम $h^2 - ab$ की जाँच करते हैं:
$h^2 - ab = (-1)^2 - (1)(1) = 1 - 1 = 0$.
चूँकि $h^2 - ab = 0$,यह शांकव एक परवलय को दर्शाता है।
सारणिक $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2$ की जाँच करने पर:
$\Delta = (1)(1)(2) + 2(0)(3/2)(-1) - (1)(0)^2 - (1)(3/2)^2 - (2)(-1)^2 = -9/4 \neq 0$.
अतः,यह समीकरण एक परवलय को दर्शाता है।

(A) द्वितीय-कोटि वक्र का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
दिए गए समीकरण $16x^2 + 8xy + y^2 - 74x - 78y + 212 = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 16$,$h = 4$,और $b = 1$ प्राप्त होता है।
हम स्थिति $h^2 - ab = (4)^2 - (16)(1) = 16 - 16 = 0$ की जाँच करते हैं।
चूँकि $h^2 - ab = 0$ है,इसलिए यह वक्र एक परवलय को दर्शाता है।

(B) द्विघात वक्र का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर,$a = 14$,$h = -2$,$b = 11$,$g = -22$,$f = -29$,और $c = 71$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,हम विवेचक $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2$ की गणना करते हैं:
$\Delta = (14)(11)(71) + 2(-29)(-22)(-2) - 14(-29)^2 - 11(-22)^2 - 71(-2)^2 = -9000 \neq 0$.
चूंकि $\Delta \neq 0$,यह एक शांकव परिच्छेद को दर्शाता है।
अब,$h^2 - ab$ की स्थिति की जाँच करते हैं:
$h^2 - ab = (-2)^2 - (14)(11) = 4 - 154 = -150$.
चूंकि $h^2 - ab < 0$,यह एक दीर्घवृत्त है।

(D) द्वितीय-कोटि वक्र का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ होता है।
अतिपरवलय के लिए,विविक्तकर (discriminant) $\Delta \neq 0$ और $h^2 > ab$ होना चाहिए।
विकल्प $(d)$ के लिए,समीकरण $x^2 - y^2 = 0$ है,जिसे $(x - y)(x + y) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह दो प्रतिच्छेदी सरल रेखाओं के युग्म को दर्शाता है,अतिपरवलय को नहीं,क्योंकि इस स्थिति में $\Delta = 0$ है।

(C) द्वितीय-डिग्री वक्र का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
दिए गए समीकरण $x^2 + 4xy + y^2 + 2x + 4y + 2 = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 1, h = 2, b = 1, g = 1, f = 2, c = 2$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,हम विविक्तकर $h^2 - ab = (2)^2 - (1)(1) = 4 - 1 = 3$ की गणना करते हैं।
चूंकि $h^2 - ab > 0$,इसलिए यह शांकव एक अतिपरवलय है।
इसके बाद,हम सारणिक $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = (1)(1)(2) + 2(2)(1)(1) - (1)(2)^2 - (1)(1)^2 - (2)(2)^2 = 2 + 4 - 4 - 1 - 8 = -7$ की जाँच करते हैं।
चूंकि $\Delta \neq 0$ और $h^2 - ab > 0$,समीकरण एक अतिपरवलय को दर्शाता है।

(A) माना $f(x, y) = 14x^2 - 4xy + 11y^2 - 44x - 58y + 71 = 0$ है।
$x$ और $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial f}{\partial x} = 28x - 4y - 44$ और $\frac{\partial f}{\partial y} = -4x + 22y - 58$.
केंद्र के लिए,$\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ और $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ रखने पर:
$28x - 4y - 44 = 0 \implies 7x - y = 11$ (समीकरण $I$)
$-4x + 22y - 58 = 0 \implies -2x + 11y = 29$ (समीकरण $II$)
इन रैखिक समीकरणों को हल करने पर:
$I$ से,$y = 7x - 11$.
$II$ में मान रखने पर: $-2x + 11(7x - 11) = 29 \implies -2x + 77x - 121 = 29 \implies 75x = 150 \implies x = 2$.
अतः $y = 7(2) - 11 = 3$.
इसलिए,केंद्र $(2, 3)$ है।

(C) दिए गए समीकरण की तुलना व्यापक रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से करने पर:
$a = 13, h = -9, b = 37, g = 1, f = 7, c = -2$.
सबसे पहले,हम विविक्तकर $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2$ की गणना करते हैं:
$\Delta = (13)(37)(-2) + 2(7)(1)(-9) - 13(7)^2 - 37(1)^2 - (-2)(-9)^2$
$\Delta = -962 - 126 - 637 - 37 + 162 = -1600 \neq 0$.
चूंकि $\Delta \neq 0$,शांकव एक गैर-अपभ्रष्ट (non-degenerate) वक्र है।
अब,हम $h^2 - ab$ की स्थिति की जाँच करते हैं:
$h^2 = (-9)^2 = 81$ और $ab = 13 \times 37 = 481$.
$h^2 - ab = 81 - 481 = -400 < 0$,जिसका अर्थ है कि $ab - h^2 > 0$.
चूंकि $\Delta \neq 0$ और $h^2 - ab < 0$,इसलिए यह समीकरण एक दीर्घवृत्त को निरूपित करता है।

(B) सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ एक शांकव परिच्छेद (conic section) को दर्शाता है।
यहाँ,$\Delta$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{bmatrix}$ का सारणिक है।
समीकरण के दीर्घवृत्त होने के लिए निम्नलिखित शर्तें पूरी होनी चाहिए:
$1$. $\Delta \neq 0$ (गैर-अपभ्रष्ट शांकव)।
$2$. $h^2 - ab < 0$,जिसका अर्थ है $h^2 < ab$।

(D) दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{1-k} - \frac{y^2}{1+k} = 1$ है,जहाँ $k > 1$ है।
चूँकि $k > 1$,इसलिए $1-k < 0$ और $1+k > 2$ है।
माना $a^2 = k-1$ और $b^2 = k+1$ है।
तब समीकरण $\frac{x^2}{-(k-1)} - \frac{y^2}{k+1} = 1$ हो जाता है,जो कि $-\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = -1$ प्राप्त होता है।
चूँकि दो वर्गों का योग कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए यह समीकरण कोई वास्तविक बिंदु नहीं दर्शाता है।
अतः,सही विकल्प 'इनमें से कोई नहीं' है।

(B) दिया गया समीकरण $5x^2 + 8xy + 5y^2 + 3x + 2y + 5 = 0$ है।
इसे व्यापक द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 5$,$2h = 8$ (अर्थात $h = 4$),और $b = 5$ प्राप्त होता है।
$xy$ पद को हटाने के लिए आवश्यक घूर्णन कोण $\theta$ का सूत्र $\tan(2\theta) = \frac{2h}{a - b}$ है।
मान रखने पर,$\tan(2\theta) = \frac{8}{5 - 5} = \frac{8}{0}$,जो अपरिभाषित है।
अतः,$2\theta = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $\theta = \frac{\pi}{4}$।

(C) एक सामान्य द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ एक परवलय को निरूपित करता है यदि उसका विविक्तकर (discriminant) $B^2 - 4AC = 0$ हो।
विकल्प $A$ के लिए: $A=4, B=-12, C=9$. विविक्तकर $B^2 - 4AC = (-12)^2 - 4(4)(9) = 144 - 144 = 0$. यह एक परवलय है।
विकल्प $B$ के लिए: $A=4, B=-12, C=9$. विविक्तकर $B^2 - 4AC = (-12)^2 - 4(4)(9) = 144 - 144 = 0$. यह एक परवलय है।
विकल्प $C$ के लिए: $A=2, B=-4, C=1$. विविक्तकर $B^2 - 4AC = (-4)^2 - 4(2)(1) = 16 - 8 = 8$. चूँकि $8 \neq 0$,यह परवलय को निरूपित नहीं करता है (यह एक अतिपरवलय को निरूपित करता है क्योंकि $B^2 - 4AC > 0$ है)।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{x^2}{1 - r} - \frac{y^2}{1 + r} = 1$ जहाँ $r > 1$ है।
चूँकि $r > 1$,मान लीजिए $r - 1 = p$,जहाँ $p > 0$ है। अतः $1 - r = -p$ होगा।
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{x^2}{-p} - \frac{y^2}{1 + r} = 1$ प्राप्त होता है।
$-1$ से गुणा करने पर: $\frac{x^2}{p} + \frac{y^2}{1 + r} = -1$ प्राप्त होता है।
चूँकि दो वर्गों का योग धनात्मक स्थिरांकों से विभाजित होकर एक ऋणात्मक मान $(-1)$ देता है,इसलिए कोई भी वास्तविक $(x, y)$ इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,यह समीकरण एक काल्पनिक दीर्घवृत्त को दर्शाता है।

(C) दिया गया वक्र $3x^2 + 4xy + 5y^2 - 4 = 0$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $6x + 4y + 4x\frac{dy}{dx} + 10y\frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{6x + 4y}{4x + 10y} = -\frac{3x + 2y}{2x + 5y}$ है।
रेखा $y = -\frac{3}{2}x$ पर स्थित बिंदु $P$ के लिए,हमारे पास $2y = -3x$ है,इसलिए $3x + 2y = 0$ है। इसे अवकलज में रखने पर,$\left. \frac{dy}{dx} \right|_P = 0$ प्राप्त होता है।
रेखा $y = -\frac{2}{5}x$ पर स्थित बिंदु $Q$ के लिए,हमारे पास $5y = -2x$ है,इसलिए $2x + 5y = 0$ है। इसे अवकलज में रखने पर,$\left. \frac{dy}{dx} \right|_Q = \infty$ प्राप्त होता है।
चूँकि बिंदु $P$ पर ढाल $0$ (क्षैतिज स्पर्शज्या) है और बिंदु $Q$ पर ढाल $\infty$ (ऊर्ध्वाधर स्पर्शज्या) है,इसलिए स्पर्शज्या एक-दूसरे के लंबवत हैं।

(C) वक्रों $y = ax^2 + bx + c$ और $y = px^2 + qx + r$ के प्रतिच्छेद न करने के लिए,समीकरण $ax^2 + bx + c = px^2 + qx + r$ का कोई वास्तविक मूल नहीं होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $(a - p)x^2 + (b - q)x + (c - r) = 0$ का विविक्तकर $D < 0$ है।
$D = (b - q)^2 - 4(a - p)(c - r) < 0$.
इस शर्त के तहत $(aq - bp)^2 + (c - r)^2$ का अधिकतम मान $162$ प्राप्त होता है।

(B) सामान्य द्विघात समीकरण $Ax^2 + 2hxy + By^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
दिए गए समीकरण $5x^2 + 8xy + 5y^2 + 3x + 2y + 5 = 0$ के साथ तुलना करने पर,$A = 5$,$h = 4$,और $B = 5$ प्राप्त होता है।
$xy$ पद को हटाने के लिए,अक्षों को $\theta$ कोण से घुमाने पर $\tan(2\theta) = \frac{2h}{A - B}$ होता है।
मान रखने पर,$\tan(2\theta) = \frac{2(4)}{5 - 5} = \frac{8}{0} = \infty$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan(2\theta) = \infty$,इसलिए $2\theta = \frac{\pi}{2}$ होगा।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{4}$।

(A) मान लें $P(x, y)$ है। $L_1$ और $L_2$ से दूरियाँ $d_1 = \frac{|x\sqrt{2} + y - 1|}{\sqrt{3}}$ और $d_2 = \frac{|x\sqrt{2} - y + 1|}{\sqrt{3}}$ हैं।
दिया गया है $d_1 d_2 = \lambda^2$,इसलिए $\frac{|(x\sqrt{2})^2 - (y-1)^2|}{3} = \lambda^2$,जो $|2x^2 - (y-1)^2| = 3\lambda^2$ देता है।
रेखा $y = 2x + 1$ के लिए,$y-1 = 2x$ को बिंदुपथ के समीकरण में प्रतिस्थापित करें: $|2x^2 - (2x)^2| = 3\lambda^2 \Rightarrow |-2x^2| = 3\lambda^2 \Rightarrow x^2 = \frac{3\lambda^2}{2}$।
बिंदुओं $R$ और $S$ के $x$-निर्देशांक $x_1 = \sqrt{\frac{3\lambda^2}{2}}$ और $x_2 = -\sqrt{\frac{3\lambda^2}{2}}$ हैं।
दूरी $RS = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (2(x_1-x_2))^2} = \sqrt{5}|x_1-x_2| = \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{\frac{3\lambda^2}{2}} = \sqrt{30\lambda^2}$।
दिया गया है $\sqrt{30\lambda^2} = \sqrt{270} \Rightarrow 30\lambda^2 = 270 \Rightarrow \lambda^2 = 9$।
$RS$ का मध्यबिंदु $T$ $(0, 1)$ है।
$RS$ की ढाल $2$ है,इसलिए लंब समद्विभाजक की ढाल $-\frac{1}{2}$ है।
लंब समद्विभाजक का समीकरण $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 0) \Rightarrow x + 2y = 2 \Rightarrow x = 2 - 2y$ है।
$x = 2(1-y)$ को $|2x^2 - (y-1)^2| = 3\lambda^2 = 27$ में प्रतिस्थापित करें:
$|2(4(1-y)^2) - (y-1)^2| = 27 \Rightarrow |8(y-1)^2 - (y-1)^2| = 27 \Rightarrow 7(y-1)^2 = 27 \Rightarrow (y-1)^2 = \frac{27}{7}$।
दूरी $D = (x_1^{\prime}-x_2^{\prime})^2 + (y_1^{\prime}-y_2^{\prime})^2 = 5(y_1^{\prime}-y_2^{\prime})^2 = 5(4(y-1)^2) = 20 \cdot \frac{27}{7} = \frac{540}{7} \approx 77.14$।

(B) माना दिया गया समीकरण $f(x, y) = 2x^2 + 4xy + 5y^2 - 4x - 22y + 29 = 0$ है। \\ मूल बिंदु को $(h, k)$ पर स्थानांतरित करने के लिए,हम $x = X + h$ और $y = Y + k$ प्रतिस्थापित करते हैं। \\ समीकरण के समघातीय होने के लिए $X$ और $Y$ के रैखिक पद शून्य होने चाहिए। \\ $x$ और $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर: \\ $f_x = 4x + 4y - 4 = 0 \implies x + y = 1$ \\ $f_y = 4x + 10y - 22 = 0 \implies 2x + 5y = 11$ \\ इन समीकरणों को हल करने पर: \\ पहले समीकरण से $x = 1 - y$. दूसरे में रखने पर: $2(1 - y) + 5y = 11 \implies 3y = 9 \implies y = 3$. \\ अतः $x = -2$. \\ इस प्रकार,मूल बिंदु को $(-2, 3)$ पर स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

(A) द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के रेखाओं का युग्म होने के लिए,सारणिक शून्य होना चाहिए:
$abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$.
समीकरण की तुलना करने पर $a=2, h=2, b=-p, g=2, f=q/2, c=1$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर:
$2(-p)(1) + 2(q/2)(2)(2) - 2(q/2)^2 - (-p)(2)^2 - 1(2)^2 = 0$.
$-2p + 4q - q^2/2 + 4p - 4 = 0$.
$-2$ से गुणा करने पर: $q^2 - 8q - 4p + 8 = 0$.
$q$ के पूर्णांक होने के लिए,विविक्तकर $D$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए:
$D = (-8)^2 - 4(1)(8 - 4p) = 32 + 16p = 16(2 + p)$.
$2 + p$ एक पूर्ण वर्ग $k^2$ होना चाहिए।
$p \in [-5, 5]$ के लिए,$2 + p$ का मान $-3$ से $7$ के बीच है।
इस सीमा में पूर्ण वर्ग $0, 1, 4$ हैं।
$2 + p = 0 \Rightarrow p = -2$.
$2 + p = 1 \Rightarrow p = -1$.
$2 + p = 4 \Rightarrow p = 2$.
अतः,$p$ के संभावित पूर्णांक मान $\{-2, -1, 2\}$ हैं।
कुल संख्या $3$ है।

(A) दिए गए समीकरण $x=t^2+t+1$ और $y=t^2-t+1$ हैं।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $x+y = 2t^2+2 = 2(t^2+1)$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $x-y = 2t$,जिसका अर्थ है $t = \frac{x-y}{2}$।
$t$ का मान $x+y$ के व्यंजक में रखने पर:
$x+y = 2\left(\left(\frac{x-y}{2}\right)^2 + 1\right)$
$x+y = 2\left(\frac{x^2+y^2-2xy}{4} + 1\right)$
$x+y = \frac{x^2+y^2-2xy}{2} + 2$
$2$ से गुणा करने पर: $2x+2y = x^2+y^2-2xy+4$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2-2xy+y^2-2x-2y+4=0$।

(C) दिया गया समीकरण $2x^2+4xy-6y^2+2x+8y+1=0$ है।
इसे व्यापक द्विघात समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ के साथ तुलना करने पर,$a=2, h=2, b=-6, g=1, f=4, c=1$ प्राप्त होता है।
प्रथम घात के पदों को हटाने के लिए,मूल बिंदु को $(h_0, k_0)$ बिंदु पर स्थानांतरित करना होगा,जो आंशिक अवकलन $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ और $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा प्राप्त होता है।
ये समीकरण $4x+4y+2=0$ और $4x-12y+8=0$ हैं।
इन समीकरणों को हल करने पर:
$2x+2y=-1$
$2x-6y=-4$
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $8y=3 \implies y=\frac{3}{8}$।
$y=\frac{3}{8}$ को $2x+2y=-1$ में रखने पर:
$2x+2(\frac{3}{8})=-1 \implies 2x+\frac{3}{4}=-1 \implies 2x=-\frac{7}{4} \implies x=-\frac{7}{8}$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left(-\frac{7}{8}, \frac{3}{8}\right)$ है।

(D) माना $PQ$ मूल बिंदु पर $\theta$ कोण अंतरित करती है,अतः $\angle POQ = \theta$.
रेखा की ढाल $m$ है।
$(1, -2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y + 2 = m(x - 1)$ है।
अतः,$\frac{mx - y}{m + 2} = 1$ ...$(i)$
दिया गया वक्र $3x^2 - y^2 - 2x + 4y = 0$ है ...(ii)
वक्र के समीकरण को रेखा के समीकरण का उपयोग करके समघात बनाने पर:
$3x^2 - y^2 - 2x(1) + 4y(1) = 0$
$1 = \frac{mx - y}{m + 2}$ रखने पर:
$3x^2 - y^2 - 2x\left(\frac{mx - y}{m + 2}\right) + 4y\left(\frac{mx - y}{m + 2}\right) = 0$
$(m + 2)$ से गुणा करने पर:
$(m + 6)x^2 + (4m + 2)xy - (m + 6)y^2 = 0$
यदि मूल बिंदु पर अंतरित कोण $90^{\circ}$ है,तो $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए।
$x^2$ का गुणांक + $y^2$ का गुणांक = $(m + 6) - (m + 6) = 0$.
अतः,मूल बिंदु पर $PQ$ द्वारा अंतरित कोण $90^{\circ}$ है।

(D) दिया गया वक्र $3x^2-y^2-2x+4y=0$ है।
बिंदु $(1,-2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y+2=m(x-1)$ है,जिसे $\frac{mx-y}{m+2}=1$ लिखा जा सकता है।
वक्र के समीकरण को रेखा के समीकरण का उपयोग करके समघात बनाने पर:
$(m+2)(3x^2-y^2)-(2x-4y)(mx-y)=0$.
सरल करने पर:
$x^2(m+6) + xy(4m+2) + y^2(-m-6) = 0$.
यह समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ के रूप में है।
यहाँ $a = m+6$ और $b = -(m+6)$ है,इसलिए $a+b=0$ है।
अतः,$OP$ और $OQ$ परस्पर लंबवत हैं,जिसका अर्थ है $\theta = 90^{\circ}$।

(A) माना $f(x) = x^2 - 5ax + 6a$ है। दोनों मूलों के $1$ से अधिक होने के लिए निम्नलिखित शर्तें पूरी होनी चाहिए:
$1$. विविक्तकर $D \ge 0$:
$D = 25a^2 - 24a \ge 0 \implies a \in (- \infty, 0] \cup [\frac{24}{25}, \infty)$.
$2$. शीर्ष $x_v > 1$:
$x_v = \frac{5a}{2} > 1 \implies a > \frac{2}{5}$.
$3$. $f(1) > 0$:
$f(1) = 1 + a > 0 \implies a > -1$.
तीनों शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें $a \in [\frac{24}{25}, \infty)$ प्राप्त होता है।

(A) द्विघात वक्र का सामान्य समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ है। $\ldots(i)$
अक्षों को $\theta = \frac{\pi}{4}$ कोण पर घुमाने पर $x = \frac{X-Y}{\sqrt{2}}$ और $y = \frac{X+Y}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर रूपांतरित समीकरण प्राप्त होता है:
$(\frac{a+b}{2}+h)X^2 + (b-a)XY + (\frac{a+b}{2}-h)Y^2 + \sqrt{2}(g+f)X + \sqrt{2}(f-g)Y + c = 0$.
$Y^2+XY-X=0$ के साथ तुलना करने पर:
$1) \frac{a+b}{2}+h = 0$
$2) b-a = 1$
$3) \frac{a+b}{2}-h = 1$
$4) \sqrt{2}(g+f) = -1$
$5) f-g = 0$
हल करने पर $a+b=1, h=-\frac{1}{2}, b=1, a=0$ और $f=g=-\frac{1}{2\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(h^2-ab)-2gf = (\frac{1}{4} - 0) - 2(\frac{1}{8}) = 0$.

(C) दिया गया समीकरण $2x^2+4xy+5y^2-4x-22y+7=0$ है।
इसे सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$a=2, h=2, b=5, g=-2, f=-11, c=7$ प्राप्त होता है।
प्रथम घात के पदों को हटाने के लिए,मूल बिंदु $(0,0)$ को उस बिंदु $(h', k')$ पर स्थानांतरित किया जाना चाहिए जो आंशिक अवकलन $\frac{\partial}{\partial x} = 0$ और $\frac{\partial}{\partial y} = 0$ का हल हो।
$\frac{\partial}{\partial x} = 4x+4y-4 = 0 \implies x+y=1$
$\frac{\partial}{\partial y} = 4x+10y-22 = 0 \implies 2x+5y=11$
इन समीकरणों को हल करने पर:
पहले समीकरण से,$x = 1-y$।
दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2(1-y)+5y=11 \implies 2-2y+5y=11 \implies 3y=9 \implies y=3$।
तब $x = 1-3 = -2$।
अतः,मूल बिंदु को $(-2, 3)$ पर स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

(B) दिया गया समीकरण $16 x^2+y^2+8 x y-74 x-78 y+212=0$ है।
इसे व्यापक द्विघात समीकरण $a x^2+2 h x y+b y^2+2 g x+2 f y+c=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=16, b=1, h=4, g=-37, f=-39, c=212$.
अब,हम विविक्तकर $D = a b-h^2$ की गणना करते हैं:
$D = (16)(1)-(4)^2 = 16-16 = 0$.
चूंकि $a b-h^2=0$ है,इसलिए दिया गया समीकरण एक परवलय को दर्शाता है।

(A) द्विघात वक्र का सामान्य समीकरण $a x^2+2 h x y+b y^2+2 g x+2 f y+c=0$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $8 x^2+12 y^2-4 x+4 y-1=0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर,हमें $a=8$,$b=12$,और $h=0$ प्राप्त होता है।
शंकु परिच्छेद की प्रकृति का निर्धारण विविक्तकर $h^2-a b$ द्वारा किया जाता है।
यहाँ,$h^2-a b = (0)^2 - (8)(12) = -96$ है।
चूंकि $h^2-a b < 0$ और $a \neq b$ है,इसलिए यह समीकरण एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है।

(B) दिया गया वक्र $x^{2}+4xy+8y^{2}=64$ है ... $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x + 4(y + x\frac{dy}{dx}) + 16y\frac{dy}{dx} = 0$
$2x + 4y + (4x + 16y)\frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x+2y}{2(x+4y)}$
चूंकि स्पर्श रेखाएँ $x$-अक्ष के समानांतर हैं,इसलिए ढाल $\frac{dy}{dx} = 0$ होगी।
इसका अर्थ है $x + 2y = 0$,अतः $x = -2y$ ... (ii)
$x = -2y$ को मूल समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$(-2y)^{2} + 4(-2y)y + 8y^{2} = 64$
$4y^{2} - 8y^{2} + 8y^{2} = 64$
$4y^{2} = 64$
$y^{2} = 16 \Rightarrow y = \pm 4$
यदि $y = 4$ है,तो $x = -2(4) = -8$।
यदि $y = -4$ है,तो $x = -2(-4) = 8$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(-8, 4)$ और $(8, -4)$ हैं।