Ellipse Questions in Hindi

(B) दिया गया समीकरण $|z - 2| + |z + 2| = 8$ है।
यह $|z - z_1| + |z - z_2| = 2a$ के रूप का है,जहाँ $z_1 = 2$ और $z_2 = -2$ है।
यहाँ,दो निश्चित बिंदुओं (नाभियों) के बीच की दूरी $|z_1 - z_2| = |2 - (-2)| = 4$ है।
चूँकि दो निश्चित बिंदुओं से दूरियों का योग अचर $(8)$ है और यह अचर मान निश्चित बिंदुओं के बीच की दूरी $(4)$ से अधिक है,इसलिए $z$ का बिंदु पथ एक दीर्घवृत्त है।
बीजगणितीय रूप से,मान लीजिए $z = x + iy$:
$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1$,जो एक दीर्घवृत्त का समीकरण है।

(A) माना $P(x, y)$ गतिमान बिंदु है और $F_1(ae, 0)$,$F_2(-ae, 0)$ स्थिर बिंदु हैं।
दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,दो स्थिर बिंदुओं (नाभियों) से दूरियों का योग अचर $(2a)$ होता है।
$PF_1 + PF_2 = 2a$
$\sqrt{(x - ae)^2 + y^2} + \sqrt{(x + ae)^2 + y^2} = 2a$
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर:
$x^2(1 - e^2) + y^2 = a^2(1 - e^2)$
$a^2(1 - e^2)$ से भाग देने पर:
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2(1 - e^2)} = 1$.

(B) दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,यह उस बिंदु का बिंदुपथ है जिसका दो निश्चित बिंदुओं (नाभियों) से दूरियों का योग एक स्थिरांक होता है,बशर्ते कि यह स्थिरांक उन दो निश्चित बिंदुओं के बीच की दूरी से अधिक हो।
यहाँ $PA + PB = 4$ दिया गया है,जहाँ $4$ एक स्थिरांक योग है।
यदि दूरी $AB < 4$ है,तो $P$ का बिंदुपथ एक दीर्घवृत्त है।
यदि $AB = 4$ है,तो बिंदुपथ रेखाखंड $AB$ है।
यदि $AB > 4$ है,तो बिंदुपथ एक रिक्त समुच्चय है।
यह मानते हुए कि $AB < 4$,बिंदुपथ एक दीर्घवृत्त है।

(B) रेखा का समीकरण $\frac{x}{a}\cos \theta + \frac{y}{b}\sin \theta - 1 = 0$ है,जिसे $bx \cos \theta + ay \sin \theta - ab = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $(\sqrt{a^2 - b^2}, 0)$ से लंबवत दूरी $p_1 = \frac{|b\sqrt{a^2 - b^2}\cos \theta - ab|}{\sqrt{b^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta}}$ है।
बिंदु $(-\sqrt{a^2 - b^2}, 0)$ से लंबवत दूरी $p_2 = \frac{|-b\sqrt{a^2 - b^2}\cos \theta - ab|}{\sqrt{b^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta}}$ है।
दोनों का गुणनफल $p_1 p_2 = \frac{|(ab)^2 - (b\sqrt{a^2 - b^2}\cos \theta)^2|}{b^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta} = \frac{b^2 |a^2 - (a^2 - b^2)\cos^2 \theta|}{b^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta} = b^2$.

(D) मान लीजिए $P(x, y)$ समतल में एक बिंदु है। दिया गया समीकरण $PF_1 + PF_2 = 4$ है,जहाँ $F_1 = (2, 0)$ और $F_2 = (-2, 0)$ है।
यहाँ,नाभियों $F_1$ और $F_2$ के बीच की दूरी $d(F_1, F_2) = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - 0)^2} = 4$ है।
चूँकि $P$ से दो निश्चित बिंदुओं $F_1$ और $F_2$ की दूरियों का योग उन बिंदुओं के बीच की दूरी के बराबर है $(PF_1 + PF_2 = F_1F_2)$,इसलिए बिंदु $P$ को $F_1$ और $F_2$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित होना चाहिए।
अतः,यह समीकरण $x = -2$ और $x = 2$ के बीच $x$-अक्ष पर स्थित रेखाखंड को दर्शाता है,जो दीर्घवृत्त का एक अपभ्रष्ट (degenerate) रूप है।

(B) दीर्घवृत्त के नाभिलंब की लंबाई का सूत्र $\frac{2b^2}{a}$ है।
दिया गया है कि नाभिलंब लघु अक्ष $(2b)$ के आधे के बराबर है:
$\frac{2b^2}{a} = \frac{1}{2} \times (2b)$
$\frac{2b^2}{a} = b$
दोनों पक्षों को $b$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2b}{a} = 1 \implies \frac{b}{a} = \frac{1}{2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{4}$
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ है।
$\frac{b^2}{a^2}$ का मान रखने पर:
$e = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(C) दीर्घवृत्त के लिए,उत्केंद्रता $e$ और अर्ध-दीर्घ अक्ष $a$ के साथ,नियताओं के बीच की दूरी $\frac{2a}{e}$ होती है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae$ होती है।
दी गई शर्त के अनुसार,नियताओं के बीच की दूरी नाभियों के बीच की दूरी की तीन गुनी है:
$\frac{2a}{e} = 3(2ae)$
$\frac{2a}{e} = 6ae$
$1 = 3e^2$
$e^2 = \frac{1}{3}$
$e = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) मूल बिंदु पर केंद्र वाले दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूंकि यह दीर्घवृत्त बिंदुओं $(-3, 1)$ और $(2, -2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए:
$(-3, 1)$ के लिए: $\frac{9}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ (समीकरण $1$)
$(2, -2)$ के लिए: $\frac{4}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1 \implies \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{4}$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ से समीकरण $2$ को घटाने पर:
$\frac{8}{a^2} = \frac{3}{4} \implies a^2 = \frac{32}{3}$
$a^2$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर:
$\frac{1}{b^2} = \frac{1}{4} - \frac{3}{32} = \frac{5}{32} \implies b^2 = \frac{32}{5}$
अतः,दीर्घवृत्त का अभीष्ट समीकरण $3x^2 + 5y^2 = 32$ है।

(A) दिया गया है कि उत्केंद्रता $e = 5/8$ और नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 10$ है।
$2a(5/8) = 10 \implies a(5/4) = 10 \implies a = 8$.
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर:
$b^2 = 8^2(1 - (5/8)^2) = 64(1 - 25/64) = 64 - 25 = 39$.
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a}$ द्वारा दी जाती है।
$\text{नाभिलंब} = \frac{2 \times 39}{8} = \frac{39}{4}$.

(D) $x$-अक्ष पर नाभियों वाले दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
दी गई नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 1, 0)$ हैं,इसलिए $ae = 1$ है।
दिए गए शीर्ष $(\pm a, 0) = (\pm 2, 0)$ हैं,इसलिए $a = 2$ है।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - (ae)^2$ का उपयोग करने पर,हमें $b^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$b = \sqrt{3}$ है।
लघु अक्ष की लंबाई $2b = 2\sqrt{3}$ है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $16x^2 + 25y^2 = 400$ है।
$400$ से भाग देने पर,$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^2 = 25$ और $b^2 = 16$,इसलिए $a = 5$ और $b = 4$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$ है।
नियता का समीकरण $x = \pm \frac{a}{e}$ होता है।
मान रखने पर,$x = \pm \frac{5}{3/5} = \pm \frac{25}{3}$,जिसका अर्थ है $3x = \pm 25$।
अतः सही विकल्प $D$ है।

(B) दी गई उत्केंद्रता $e = 2/3$ और नाभिलंब $L = 2b^2/a = 5$ है।
संबंध $e^2 = 1 - b^2/a^2$ का उपयोग करने पर,$(2/3)^2 = 1 - b^2/a^2$,जिसका अर्थ है $b^2/a^2 = 1 - 4/9 = 5/9$,इसलिए $b^2 = 5a^2/9$ है।
इसे नाभिलंब के सूत्र में रखने पर: $2(5a^2/9)/a = 5$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $10a/9 = 5$ मिलता है,जिससे $a = 9/2$ प्राप्त होता है।
तब $b^2 = 5(9/2)^2/9 = 45/4$ है।
अतः,$a^2 = 81/4$ और $b^2 = 45/4$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ है,जो $\frac{4x^2}{81} + \frac{4y^2}{45} = 1$ हो जाता है।

(A) दिया गया है कि नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 10$ है।
लघु अक्ष की लंबाई नाभियों के बीच की दूरी के बराबर है,इसलिए $2b = 2ae$,जिसका अर्थ है $b = ae$।
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(1 - e^2)$।
$b = ae$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a^2e^2 = a^2(1 - e^2)$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $e^2 = 1 - e^2$ यानी $2e^2 = 1$ या $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ हो जाता है।
चूंकि $b = ae$,हमारे पास $b^2 = a^2e^2 = a^2(\frac{1}{2})$ है।
इस मान को नाभिलंब के समीकरण में रखने पर: $\frac{2(a^2/2)}{a} = 10$,जिससे $a = 10$ प्राप्त होता है।
तब $b^2 = \frac{100}{2} = 50$,इसलिए $b = 5\sqrt{2}$।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जो $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{50} = 1$ है।
$100$ से गुणा करने पर,हमें $x^2 + 2y^2 = 100$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए दीर्घवृत्त का समीकरण: $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20} = 1$.
इसे $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 36$ और $b^2 = 20$ प्राप्त होता है,अतः $a = 6$ और $b = 2\sqrt{5}$.
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{20}{36}} = \sqrt{\frac{16}{36}} = \frac{2}{3}$.
दीर्घवृत्त के लिए नियताओं के समीकरण $x = \pm \frac{a}{e}$ होते हैं।
अतः नियताओं के बीच की दूरी $2 \times \frac{a}{e} = 2 \times \frac{6}{2/3} = 2 \times 9 = 18$ है।

(B) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $3x^2 + 4y^2 = 48$ है।
दोनों पक्षों को $48$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 16$ और $b^2 = 12$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 4$ और $b = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{12}{16}} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 2 \times 4 \times \frac{1}{2} = 4$ है।

(A) दीर्घवृत्त के शीर्ष $(\pm a, 0) = (\pm 5, 0)$ दिए गए हैं,इसलिए $a = 5$.
नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 4, 0)$ दी गई हैं,इसलिए $ae = 4$.
$a = 5$ रखने पर,$5e = 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $e = \frac{4}{5}$.
दीर्घवृत्त के लिए,$a, b,$ और $e$ के बीच का संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ है।
$b^2 = 5^2(1 - (\frac{4}{5})^2) = 25(1 - \frac{16}{25}) = 25(\frac{9}{25}) = 9$.
अतः,$b = 3$.
दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
$225$ से गुणा करने पर,$9x^2 + 25y^2 = 225$ प्राप्त होता है।

(A) नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 5, 0)$ द्वारा दी गई हैं,इसलिए $ae = 5$ है।
नियता का समीकरण $x = \frac{a}{e} = \frac{36}{5}$ है।
दोनों समीकरणों का गुणा करने पर: $(ae) \times (\frac{a}{e}) = 5 \times \frac{36}{5} \implies a^2 = 36 \implies a = 6$ प्राप्त होता है।
$a = 6$ को $ae = 5$ में रखने पर,$6e = 5 \implies e = \frac{5}{6}$ प्राप्त होता है।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,$b^2 = 36(1 - \frac{25}{36}) = 36(\frac{11}{36}) = 11$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जो $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{11} = 1$ है।

(D) दी गई उत्केंद्रता $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
दीर्घवृत्त के नाभिलंब का सूत्र $L = \frac{2b^2}{a}$ होता है।
हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त के लिए,$b^2 = a^2(1 - e^2)$ होता है।
$e^2 = \frac{1}{2}$ का मान समीकरण में रखने पर:
$b^2 = a^2(1 - \frac{1}{2}) = a^2(\frac{1}{2}) = \frac{a^2}{2}$.
अब,$b^2$ का मान नाभिलंब के सूत्र में रखने पर:
$L = \frac{2(\frac{a^2}{2})}{a} = \frac{a^2}{a} = a$.
चूंकि $a$ अर्ध-दीर्घ अक्ष को दर्शाता है,इसलिए नाभिलंब इसके अर्ध-दीर्घ अक्ष के बराबर है।

(D) दिया गया दीर्घवृत्त का समीकरण $5x^2 + 9y^2 = 45$ है।
दोनों पक्षों को $45$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 9$ और $b^2 = 5$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 3$ और $b = \sqrt{5}$।
दीर्घवृत्त के नाभिलंब की लंबाई का सूत्र $\frac{2b^2}{a}$ है।
मान रखने पर,$\text{नाभिलंब} = \frac{2 \times 5}{3} = \frac{10}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) दीर्घवृत्त के लिए नाभि और संगत नियता के बीच की दूरी $\frac{a}{e} - ae = 8$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि उत्केंद्रता $e = \frac{1}{2}$ है।
समीकरण में $e$ का मान रखने पर: $\frac{a}{1/2} - a(\frac{1}{2}) = 8 \implies 2a - \frac{a}{2} = 8 \implies \frac{3a}{2} = 8 \implies a = \frac{16}{3}$।
अर्ध-लघु अक्ष $b$ का मान $b = a\sqrt{1 - e^2}$ होता है।
$b = \frac{16}{3}\sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \frac{16}{3}\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{16}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$।
लघु अक्ष की लंबाई $2b = 2 \times \frac{8\sqrt{3}}{3} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिए गए शांकव का समीकरण: $16x^2 + 7y^2 = 112$ है।
दोनों पक्षों को $112$ से विभाजित करने पर:
$\frac{16x^2}{112} + \frac{7y^2}{112} = 1$
$\frac{x^2}{7} + \frac{y^2}{16} = 1$ प्राप्त होता है।
यह दीर्घवृत्त (ellipse) का समीकरण $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ के रूप में है,जहाँ $a^2 = 16$ और $b^2 = 7$ है।
चूंकि $a^2 > b^2$,उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ है।
मान रखने पर: $e = \sqrt{1 - \frac{7}{16}} = \sqrt{\frac{16 - 7}{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$।

(B) दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm ae, 0)$ द्वारा दी जाती हैं।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae$ है।
लघु अक्ष की लंबाई $2b$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,$2ae = 2b$,जिसका अर्थ है $ae = b$।
हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त के लिए $b^2 = a^2(1 - e^2)$ होता है।
$b = ae$ को समीकरण में रखने पर,हमें $(ae)^2 = a^2(1 - e^2)$ प्राप्त होता है।
$a^2e^2 = a^2(1 - e^2)$।
दोनों पक्षों को $a^2$ से विभाजित करने पर,$e^2 = 1 - e^2$ प्राप्त होता है।
$2e^2 = 1$,जिससे $e^2 = 1/2$ प्राप्त होता है।
अतः,$e = 1/\sqrt{2}$।

(A) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूंकि यह $(-3, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{9}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ है।
$a^2$ से गुणा करने पर,$9 + \frac{a^2}{b^2} = a^2$.....$(i)$
दी गई उत्केंद्रता $e = \sqrt{\frac{2}{5}}$ है,हम जानते हैं कि $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$।
अतः,$\frac{2}{5} = 1 - \frac{b^2}{a^2} \Rightarrow \frac{b^2}{a^2} = \frac{3}{5}$,जिसका अर्थ है $\frac{a^2}{b^2} = \frac{5}{3}$.....$(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ में रखने पर,$9 + \frac{5}{3} = a^2 \Rightarrow a^2 = \frac{27 + 5}{3} = \frac{32}{3}$।
$(ii)$ से,$b^2 = \frac{3}{5} a^2 = \frac{3}{5} \times \frac{32}{3} = \frac{32}{5}$।
$a^2$ और $b^2$ के मानों को मानक समीकरण में रखने पर: $\frac{x^2}{32/3} + \frac{y^2}{32/5} = 1$।
इसे सरल करने पर $\frac{3x^2}{32} + \frac{5y^2}{32} = 1$,या $3x^2 + 5y^2 = 32$ प्राप्त होता है।

(B) यहाँ दीर्घ अक्ष की लंबाई $2b = 10$ दी गई है,इसलिए $b = 5$ है।
लघु अक्ष की लंबाई $2a = 8$ दी गई है,इसलिए $a = 4$ है।
चूंकि दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ होगा।
मान रखने पर,हमें $\frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$ है।

(A) दिया गया है: केंद्र $(h, k) = (0, 0)$,नाभि $(0, 3)$,और अर्ध-दीर्घ अक्ष $a = 5$ है।
चूंकि नाभि $y$-अक्ष पर स्थित है,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ होगा।
केंद्र से नाभि की दूरी $ae = 3$ है।
$a = 5$ होने पर,$5e = 3$,अर्थात $e = \frac{3}{5}$।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,$b^2 = 25(1 - (\frac{3}{5})^2) = 25(1 - \frac{9}{25}) = 16$ प्राप्त होता है।
अतः,$b^2 = 16$ और $a^2 = 25$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$ है।

(B) दिया गया है कि शीर्ष $(0, 7)$ है और नियता $y = 12$ है। चूंकि शीर्ष $y$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष पर है।
$y$-अक्ष पर दीर्घ अक्ष वाले दीर्घवृत्त के लिए,शीर्ष $(0, b)$ और नियता $y = b/e$ होती है।
यहाँ,$b = 7$ और $b/e = 12$ है।
अतः,$e = 7/12$ है।
$a, b,$ और $e$ के बीच संबंध $a^2 = b^2(1 - e^2)$ है।
$a^2 = 7^2(1 - (7/12)^2) = 49(1 - 49/144) = 49(95/144) = 4655/144$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
मान रखने पर: $\frac{x^2}{4655/144} + \frac{y^2}{49} = 1$ है।
$\frac{144x^2}{4655} + \frac{y^2}{49} = 1$ है।
$4655$ से गुणा करने पर: $144x^2 + 95y^2 = 4655$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $2x^2 + 3y^2 = 30$
दोनों पक्षों को $30$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2x^2}{30} + \frac{3y^2}{30} = \frac{30}{30}$
$\frac{x^2}{15} + \frac{y^2}{10} = 1$
यह दीर्घवृत्त का मानक रूप है,$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$,जहाँ $a^2 = 15$ और $b^2 = 10$ है।
अतः,यह समीकरण एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है।

(C) दीर्घवृत्त के नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 8$ दी गई है,जिसका अर्थ है $b^2 = 4a$.
उत्केंद्रता $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ दी गई है,इसलिए हम संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करते हैं।
$e^2 = \frac{1}{2}$ रखने पर,$b^2 = a^2(1 - \frac{1}{2}) = \frac{a^2}{2}$,जिससे $a^2 = 2b^2$ प्राप्त होता है।
$b^2 = 4a$ को $a^2 = 2b^2$ में रखने पर,$a^2 = 2(4a) = 8a$ मिलता है।
चूंकि $a > 0$,इसलिए $a = 8$। अतः $a^2 = 64$।
अब,$b^2 = 4a = 4(8) = 32$।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जो $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{32} = 1$ है।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b)$ के लिए,नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a}$ होती है और नाभियों के बीच की दूरी $2ae$ होती है।
दी गई शर्त के अनुसार,नाभिलंब = नाभियों के बीच की दूरी:
$\frac{2b^2}{a} = 2ae$
$\frac{b^2}{a} = ae$
$b^2 = a^2e$
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(1 - e^2)$,इसलिए:
$a^2(1 - e^2) = a^2e$
$1 - e^2 = e$
$e^2 + e - 1 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
$e = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
चूंकि उत्केंद्रता $e$ धनात्मक होनी चाहिए और $e < 1$,इसलिए $e = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $3x^2 + 4y^2 = 12$ दिया गया है।
दोनों पक्षों को $12$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 4$ और $b^2 = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 2$ और $b = \sqrt{3}$।
नाभिलंब की लंबाई का सूत्र $\frac{2b^2}{a}$ है।
मान रखने पर,$\frac{2 \times 3}{2} = 3$ प्राप्त होता है।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{28} = 1$ है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 64$ और $b^2 = 28$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a^2 > b^2$,उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ है।
मान रखने पर,$e^2 = 1 - \frac{28}{64}$।
$e^2 = \frac{64 - 28}{64} = \frac{36}{64}$।
वर्गमूल लेने पर,$e = \sqrt{\frac{36}{64}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$।

(D) माना दीर्घवृत्त के दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a$ और लघु अक्ष की लंबाई $2b$ है।
दिया गया है कि दीर्घ अक्ष की लंबाई लघु अक्ष की लंबाई की तीन गुनी है:
$2a = 3(2b) \implies a = 3b$.
हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ है।
$a = 3b$ को सूत्र में रखने पर:
$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{(3b)^2}}$
$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{9b^2}}$
$e = \sqrt{1 - \frac{1}{9}}$
$e = \sqrt{\frac{8}{9}}$
$e = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
अतः,उत्केंद्रता $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ है।

(B) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a}$ है और दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a$ है।
दिया गया है कि नाभिलंब की लंबाई दीर्घ अक्ष की $\frac{1}{3}$ है:
$\frac{2b^2}{a} = \frac{1}{3} (2a)$
$\frac{b^2}{a} = \frac{a}{3}$
$3b^2 = a^2$
हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त के लिए $b^2 = a^2(1 - e^2)$,जहाँ $e$ उत्केंद्रता है।
समीकरण में $b^2$ का मान रखने पर:
$3a^2(1 - e^2) = a^2$
$3(1 - e^2) = 1$
$1 - e^2 = \frac{1}{3}$
$e^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$e = \sqrt{\frac{2}{3}}$.

(D) दीर्घवृत्त खींचने के लिए उपयोग की जाने वाली डोरी की लंबाई दीर्घ अक्ष और नाभियों के बीच की दूरी के योग के बराबर होती है।
दीर्घ अक्ष $2a = 6 \ cm$ दिया गया है,इसलिए $a = 3 \ cm$.
लघु अक्ष $2b = 4 \ cm$ दिया गया है,इसलिए $b = 2 \ cm$.
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
पिनों (नाभियों) के बीच की दूरी $2ae = 2 \times 3 \times \frac{\sqrt{5}}{3} = 2\sqrt{5} \ cm$ है।
डोरी की लंबाई $2a + 2ae = 6 + 2\sqrt{5} \ cm$ है।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{2 - r} + \frac{y^2}{r - 5} + 1 = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{x^2}{r - 2} + \frac{y^2}{5 - r} = 1$ प्राप्त होता है।
इसके दीर्घवृत्त होने के लिए,हर (denominators) धनात्मक होने चाहिए,अर्थात $r - 2 > 0$ और $5 - r > 0$।
इसका अर्थ है $r > 2$ और $r < 5$।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $2 < r < 5$ प्राप्त होता है।

(C) दीर्घवृत्त की लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के बिंदुपथ को निर्देशक वृत्त (director circle) कहा जाता है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,निर्देशक वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ होता है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{49} = 1$ है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 36$ और $b^2 = 49$ प्राप्त होता है।
चूंकि $b^2 > a^2$,दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष पर है,इसलिए $b = 7$ और $a = 6$ है।
$y$-अक्ष पर दीर्घ अक्ष वाले दीर्घवृत्त के लिए नाभिलंब की लंबाई $\frac{2a^2}{b}$ होती है।
मान रखने पर,$\text{लंबाई} = \frac{2 \times 36}{7} = \frac{72}{7}$।

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर किसी बिंदु $P(x, y)$ की नाभीय दूरी $SP = a + ex$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $S$ नाभि $(ae, 0)$ है।
दीर्घवृत्त पर एक बिंदु के लिए,निर्देशांक $x = a \cos \theta$ द्वारा दिए जाते हैं।
सूत्र में $x$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$SP = a + e(a \cos \theta)$
$SP = a(1 + e \cos \theta)$.

(B) दिया गया है कि नाभि $(ae, 0) = (4, 0)$ है,इसलिए $ae = 4$ है।
उत्केंद्रता $e = 4/5$ है,अतः $a = 4 / (4/5) = 5$ प्राप्त होता है।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,$b^2 = 25(1 - 16/25) = 25(9/25) = 9$ मिलता है।
अतः,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ है,जिसे $\frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $16x^2 + 25y^2 = 400$ है।
दोनों पक्षों को $400$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 25$ और $b^2 = 16$ है,अतः $a = 5$ और $b = 4$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ है।
नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 5 \times \frac{3}{5}, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं।

(B) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $9x^2 + 25y^2 = 225$ है।
दोनों पक्षों को $225$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 25$ और $b^2 = 9$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a^2 > b^2$,उत्केंद्रता $e$ का सूत्र है:
$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$
$e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

(C) दिया गया समीकरण $25x^2 + 16y^2 = 100$ है।
दोनों पक्षों को $100$ से भाग देने पर,$\frac{25x^2}{100} + \frac{16y^2}{100} = 1$,जो सरल होकर $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{6.25} = 1$ हो जाता है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 4$ और $b^2 = 6.25$ प्राप्त होता है।
चूंकि $b^2 > a^2$,उत्केंद्रता $e$ के लिए सूत्र $a^2 = b^2(1 - e^2)$ है।
मान रखने पर: $4 = \frac{25}{4}(1 - e^2)$.
$1 - e^2 = \frac{16}{25}$.
$e^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.
अतः,$e = \frac{3}{5}$.

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $9x^2 + 4y^2 = 1$ है।
इसे $\frac{x^2}{(1/3)^2} + \frac{y^2}{(1/2)^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = \frac{1}{9}$ और $b^2 = \frac{1}{4}$ है।
चूँकि $b > a$,दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष पर है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए जहाँ $b > a$ हो,नाभिलंब की लंबाई $\frac{2a^2}{b}$ होती है।
मान रखने पर,$\text{लंबाई} = \frac{2 \times (1/9)}{1/2} = \frac{2/9}{1/2} = \frac{4}{9}$।

(A) माना चर बिंदु $P(x, y)$ है।
शांकव परिच्छेद की परिभाषा के अनुसार,एक निश्चित बिंदु (नाभि) से दूरी,एक निश्चित रेखा (नियता) से दूरी की $e$ गुनी होती है।
यहाँ,नाभि $S(-2, 0)$ है,नियता $x = -\frac{9}{2}$ है,और उत्केंद्रता $e = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि $e < 1$,इसलिए बिंदुपथ एक दीर्घवृत्त है।
गणितीय रूप से,$\sqrt{(x + 2)^2 + y^2} = \frac{2}{3} |x + \frac{9}{2}|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x + 2)^2 + y^2 = \frac{4}{9} (x + \frac{9}{2})^2$.
$(x^2 + 4x + 4) + y^2 = \frac{4}{9} (x^2 + 9x + \frac{81}{4})$.
$x^2 + 4x + 4 + y^2 = \frac{4}{9}x^2 + 4x + 9$.
$\frac{5}{9}x^2 + y^2 = 5$.
$5$ से भाग देने पर: $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$.
यह एक दीर्घवृत्त का समीकरण है।

(C) दिया गया समीकरण $16x^2 + 25y^2 = 400$ है। $400$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ प्राप्त होता है,जो $a^2 = 25$ और $b^2 = 16$ वाला एक दीर्घवृत्त है।
यहाँ,$a = 5$ और $b = 4$ है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ है।
नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 5 \times \frac{3}{5}, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं,जो $F_1$ और $F_2$ के समान हैं।
दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,दीर्घवृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ से दोनों नाभियों की दूरियों का योग दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a$ के बराबर होता है।
अतः,$PF_1 + PF_2 = 2a = 2 \times 5 = 10$।

(B) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $9x^2 + 36y^2 = 324$ है।
दोनों पक्षों को $324$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{9x^2}{324} + \frac{36y^2}{324} = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{9} = 1$ हो जाता है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 36$,अतः $a = 6$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,दीर्घवृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ के लिए नाभीय दूरियों का योग दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a$ के बराबर होता है।
अतः,$SP + S'P = 2a = 2 \times 6 = 12$.

(A) नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 2, 0)$ द्वारा दी गई हैं,इसलिए $ae = 2$ है।
$e = \frac{1}{2}$ दिया गया है,इसलिए $a(\frac{1}{2}) = 2$,जिसका अर्थ है $a = 4$ है।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करते हुए,हमें $b^2 = 16(1 - \frac{1}{4}) = 16(\frac{3}{4}) = 12$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1$ प्राप्त होता है।
$48$ से गुणा करने पर,हमें $3x^2 + 4y^2 = 48$ प्राप्त होता है।

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण: $4x^2 + 9y^2 = 36$ है।
दोनों पक्षों को $36$ से विभाजित करने पर: $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है।
उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ है।
मान रखने पर: $e = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण: $25x^2 + 16y^2 = 400$ है।
दोनों पक्षों को $400$ से विभाजित करने पर: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^2 = 25$ और $b^2 = 16$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ के लिए,उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ है।
मान रखने पर: $e = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$।