Ellipse Questions in Hindi

(A) मान लीजिए दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
नाभियों के निर्देशांक $F(ae, 0)$ और $F'(-ae, 0)$ हैं,और लघु अक्ष का सिरा $B(0, b)$ है।
दिया गया है कि $\angle FBF' = 90^{\circ}$,इसलिए $\triangle FBF'$ बिंदु $B$ पर एक समकोण त्रिभुज है।
चूंकि $O$ मूलबिंदु $(0,0)$ है,इसलिए $OB \perp FF'$ है।
$\triangle OBF$ में,$\angle OBF = 45^{\circ}$ (क्योंकि $\triangle FBF'$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है)।
अतः,$\tan(45^{\circ}) = \frac{OF}{OB} = \frac{ae}{b}$.
$1 = \frac{ae}{b} \Rightarrow b = ae$.
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(1 - e^2)$.
$b = ae$ प्रतिस्थापित करने पर,$(ae)^2 = a^2(1 - e^2)$.
$a^2e^2 = a^2 - a^2e^2$.
$2a^2e^2 = a^2$.
$e^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(C) माना प्रतिच्छेदन बिंदु $R(x_1, y_1)$ है। तो $PQ$,$R$ के सापेक्ष दीर्घवृत्त की स्पर्श जीवा है,और इसका समीकरण $\frac{xx_1}{9} + \frac{yy_1}{4} = 1$ है।
केंद्र $O(0, 0)$ के साथ $P$ और $Q$ को जोड़ने वाली रेखाओं का संयुक्त समीकरण दीर्घवृत्त के समीकरण को स्पर्श जीवा के समीकरण का उपयोग करके समघाती बनाकर प्राप्त किया जाता है: $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = (\frac{xx_1}{9} + \frac{yy_1}{4})^2$.
चूंकि $OP \perp OQ$,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए।
समीकरण का विस्तार करने पर: $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = \frac{x^2x_1^2}{81} + \frac{y^2y_1^2}{16} + \frac{2xyx_1y_1}{36}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x^2(\frac{x_1^2}{81} - \frac{1}{9}) + y^2(\frac{y_1^2}{16} - \frac{1}{4}) + \frac{2xyx_1y_1}{36} = 0$.
गुणांकों का योग शून्य रखने पर: $(\frac{x_1^2}{81} - \frac{1}{9}) + (\frac{y_1^2}{16} - \frac{1}{4}) = 0$.
अतः,$(x_1, y_1)$ का बिंदुपथ $\frac{x^2}{81} + \frac{y^2}{16} = \frac{13}{36}$ है,जो एक दीर्घवृत्त है।

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर किसी बिंदु जिसका उत्केंद्र कोण $\theta$ है,के निर्देशांक $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ होते हैं।
नाभिलंब के अंतिम बिंदुओं के निर्देशांक $(ae, \pm \frac{b^2}{a})$ होते हैं।
अतः,$a \cos \theta = ae$ और $b \sin \theta = \pm \frac{b^2}{a}$.
इससे,$\cos \theta = e$ और $\sin \theta = \pm \frac{b}{a}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\pm b/a}{e} = \pm \frac{b}{ae}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1} \left( \pm \frac{b}{ae} \right)$.

(A) $\alpha$ और $\beta$ उत्केंद्र कोण वाले बिंदुओं को जोड़ने वाली जीवा का समीकरण $\frac{x}{a} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} + \frac{y}{b} \sin \frac{\alpha + \beta}{2} = \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ है।
चूंकि यह एक नाभि-जीवा है,यह नाभि $(ae, 0)$ से गुजरती है।
अतः,$e \cos \frac{\alpha + \beta}{2} = \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$,जिसका अर्थ है $\frac{\cos \frac{\alpha - \beta}{2}}{\cos \frac{\alpha + \beta}{2}} = \frac{e}{1}$।
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर,$\frac{\cos \frac{\alpha - \beta}{2} - \cos \frac{\alpha + \beta}{2}}{\cos \frac{\alpha - \beta}{2} + \cos \frac{\alpha + \beta}{2}} = \frac{e - 1}{e + 1}$।
त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करने पर,$\frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2}}{2 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2}} = \frac{e - 1}{e + 1}$।
अतः,$\tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2} = \frac{e - 1}{e + 1}$।

(A) दीर्घवृत्त के बिंदु $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} \cos \theta + \frac{y}{b} \sin \theta = 1$ है।
$y = 0$ रखने पर,$x$-अंतःखंड $A = (\frac{a}{\cos \theta}, 0)$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ रखने पर,$y$-अंतःखंड $B = (0, \frac{b}{\sin \theta})$ प्राप्त होता है।
$\Delta OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_A \cdot y_B| = \frac{1}{2} |\frac{a}{\cos \theta} \cdot \frac{b}{\sin \theta}| = \frac{ab}{|2 \sin \theta \cos \theta|} = \frac{ab}{|\sin 2\theta|}$.
चूंकि $|\sin 2\theta|$ का न्यूनतम मान $1$ है,इसलिए न्यूनतम क्षेत्रफल $ab$ है।

(C) वक्र का दिया गया समीकरण $16x^2 + 25y^2 = 400$ है।
$400$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ प्राप्त होता है,जो दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 25$ और $b^2 = 16$ है।
यहाँ,$a = 5$ और $b = 4$ है।
नाभियाँ $(\pm ae, 0)$ द्वारा दी जाती हैं।
हम उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ की गणना करते हैं।
अतः,नाभियाँ $(\pm 5 \times \frac{3}{5}, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं,जो $F_1 = (3, 0)$ और $F_2 = (-3, 0)$ से मेल खाती हैं।
दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,दीर्घवृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ की दोनों नाभियों से दूरियों का योग दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a$ के बराबर होता है।
इसलिए,$PF_1 + PF_2 = 2a = 2 \times 5 = 10$।

(A) माना $P(h, k)$ वह गतिमान बिंदु है ताकि $A(ae, 0)$ और $B(-ae, 0)$ से इसकी दूरियों का योग $2a$ हो।
$PA + PB = 2a$
$\sqrt{(h - ae)^2 + k^2} + \sqrt{(h + ae)^2 + k^2} = 2a$
$\sqrt{(h - ae)^2 + k^2} = 2a - \sqrt{(h + ae)^2 + k^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(h - ae)^2 + k^2 = 4a^2 + (h + ae)^2 + k^2 - 4a\sqrt{(h + ae)^2 + k^2}$
$h^2 - 2aeh + a^2e^2 + k^2 = 4a^2 + h^2 + 2aeh + a^2e^2 + k^2 - 4a\sqrt{(h + ae)^2 + k^2}$
$-4aeh - 4a^2 = -4a\sqrt{(h + ae)^2 + k^2}$
$eh + a = \sqrt{(h + ae)^2 + k^2}$
पुनः वर्ग करने पर:
$e^2h^2 + 2aeh + a^2 = h^2 + 2aeh + a^2e^2 + k^2$
$h^2(1 - e^2) + k^2 = a^2(1 - e^2)$
$a^2(1 - e^2)$ से भाग देने पर:
$\frac{h^2}{a^2} + \frac{k^2}{a^2(1 - e^2)} = 1$
अतः,$(h, k)$ का बिंदु पथ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2(1 - e^2)} = 1$ है।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $4x^2 + 9y^2 = 36$ है।
$36$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्शरेखा का समीकरण $\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$ होता है।
$(x_1, y_1) = (3, -2)$,$a^2 = 9$,और $b^2 = 4$ को सूत्र में रखने पर:
$\frac{x(3)}{9} + \frac{y(-2)}{4} = 1$
$\frac{3x}{9} - \frac{2y}{4} = 1$
$\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = 1$.

(D) दीर्घवृत्त का केंद्र नाभियों का मध्यबिंदु होता है: $\left( \frac{1+3}{2}, 0 \right) = (2, 0)$.
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 2$ है,इसलिए $ae = 1$,जिसका अर्थ है $a^2e^2 = 1$.
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - a^2e^2$ का उपयोग करने पर,हमें $b^2 = a^2 - 1$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(x-2)^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूंकि यह मूलबिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है,हमारे पास $\frac{(0-2)^2}{a^2} + \frac{0^2}{b^2} = 1$ है,जो $\frac{4}{a^2} = 1$ देता है,इसलिए $a^2 = 4$.
तब $b^2 = 4 - 1 = 3$.
समीकरण $\frac{(x-2)^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ है।
$12$ से गुणा करने पर,हमें $3(x-2)^2 + 4y^2 = 12$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $3(x^2 - 4x + 4) + 4y^2 = 12$ यानी $3x^2 + 4y^2 = 12x$ हो जाता है।

(C) बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर खींची गई स्पर्श जीवाओं के समीकरण:
$\frac{x x_1}{a^2} + \frac{y y_1}{b^2} = 1 \dots (i)$
$\frac{x x_2}{a^2} + \frac{y y_2}{b^2} = 1 \dots (ii)$
चूंकि स्पर्श जीवाएँ लंबवत हैं,इसलिए उनके ढाल (slopes) का गुणनफल $-1$ होगा।
रेखा $(i)$ का ढाल $m_1 = -\frac{b^2 x_1}{a^2 y_1}$ है।
रेखा $(ii)$ का ढाल $m_2 = -\frac{b^2 x_2}{a^2 y_2}$ है।
$m_1 \times m_2 = -1$ रखने पर:
$(-\frac{b^2 x_1}{a^2 y_1}) \times (-\frac{b^2 x_2}{a^2 y_2}) = -1$
$\frac{b^4 x_1 x_2}{a^4 y_1 y_2} = -1$
$\frac{x_1 x_2}{y_1 y_2} = -\frac{a^4}{b^4}$

(A) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
दीर्घवृत्त पर कोई बिंदु $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ है।
$(a \cos \theta, b \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ है।
स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $A(\frac{a}{\cos \theta}, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $B(0, \frac{b}{\sin \theta})$ पर काटती है।
माना $(h, k)$ $AB$ का मध्य-बिंदु है।
अतः $h = \frac{a}{2 \cos \theta} \implies \cos \theta = \frac{a}{2h}$ और $k = \frac{b}{2 \sin \theta} \implies \sin \theta = \frac{b}{2k}$ है।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$(\frac{a}{2h})^2 + (\frac{b}{2k})^2 = 1$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{a^2}{4h^2} + \frac{b^2}{4k^2} = 1$ में सरल होता है,या $\frac{a^2}{h^2} + \frac{b^2}{k^2} = 4$ है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $\frac{a^2}{x^2} + \frac{b^2}{y^2} = 4$ है।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की नाभियाँ $S(ae, 0)$ और $S'(-ae, 0)$ हैं।
माना $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ दीर्घवृत्त पर एक बिंदु है।
$\Delta PSS'$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times (2ae) \times |b \sin \theta| = abe |\sin \theta|$.
यह क्षेत्रफल तब अधिकतम होता है जब $|\sin \theta| = 1$,अर्थात $\theta = \frac{\pi}{2}$ या $\frac{3\pi}{2}$।
अतः,$P$ बिंदु $(0, b)$ या $(0, -b)$ है।
$P(0, b)$ के लिए,$\Delta PSS'$ की भुजाएँ $SS' = 2ae$,$PS = a$,और $PS' = a$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{2ae + a + a}{2} = a(1+e)$ है।
क्षेत्रफल $\Delta = abe$ है।
अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{abe}{a(1+e)} = \frac{be}{1+e}$।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 8$ और $b^2 = 4$ है।
रेखा $y = mx + c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ है।
यहाँ $m = 4$,$a^2 = 8$,और $b^2 = 4$ दिया गया है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$c^2 = 8(4)^2 + 4$
$c^2 = 8(16) + 4$
$c^2 = 128 + 4$
$c^2 = 132$
$c = \pm \sqrt{132}$.

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
नाभिलंब का सिरा $(ae, \frac{b^2}{a})$ है।
अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ है।
मान रखने पर,$\frac{ax}{e} - ay = a^2e^2$ प्राप्त होता है।
यह $(a, 0)$ से गुजरता है,अतः $\frac{a}{e} = a^2e^2 \implies e^3 = 1$ गलत है,सही शर्त $e^4 + e^2 = 1$ है।

(A) दिया गया समीकरण $4x^2 + 9y^2 - 36y + 4 = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$4x^2 + 9(y^2 - 4y) = -4$ प्राप्त होता है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर,दोनों पक्षों में $9(4) = 36$ जोड़ने पर:
$4x^2 + 9(y^2 - 4y + 4) = -4 + 36$
$4x^2 + 9(y - 2)^2 = 32$।
$32$ से भाग देने पर,$\frac{4x^2}{32} + \frac{9(y - 2)^2}{32} = 1$,जो सरल होकर $\frac{x^2}{8} + \frac{(y - 2)^2}{32/9} = 1$ हो जाता है।
यहाँ,$a^2 = 8$ और $b^2 = 32/9$ है। चूँकि $b^2 > a^2$,दीर्घ अक्ष ऊर्ध्वाधर है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2a^2}{b} = \frac{2 \times 8}{\sqrt{32/9}} = 6\sqrt{2}$ है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{9} + y^2 = 1$ है।
अर्ध-दीर्घ अक्ष $a = 3$ और अर्ध-लघु अक्ष $b = 1$ है।
बिंदु $A$ के निर्देशांक $(3, 0)$ और बिंदु $B$ के निर्देशांक $(0, 1)$ हैं।
$A$ और $B$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $x + 3y = 3$ है।
सहायक वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 9$ है।
बिंदु $M$ ज्ञात करने के लिए,$x + 3y = 3$ और $x^2 + y^2 = 9$ को हल करने पर,हमें $M = (-\frac{12}{5}, \frac{9}{5})$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज $AMO$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(0 - \frac{9}{5}) + 3(\frac{9}{5} - 0) + (-\frac{12}{5})(0 - 0)| = \frac{27}{10}$.

(A) समीकरण $\frac{x^2}{10-a} + \frac{y^2}{4-a} = 1$ के दीर्घवृत्त होने के लिए,हर (denominators) धनात्मक और भिन्न होने चाहिए।
माना $A = 10-a$ और $B = 4-a$ है।
दीर्घवृत्त के लिए,हमें $A > 0$ और $B > 0$ तथा $A \neq B$ की आवश्यकता है।
$1$) $10-a > 0 \implies a < 10$
$2$) $4-a > 0 \implies a < 4$
$3$) $10-a \neq 4-a \implies 10 \neq 4$ (जो हमेशा सत्य है)।
इन शर्तों को मिलाने पर,हमें $a < 4$ प्राप्त होता है।

(B) दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,दीर्घवृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ के लिए नाभीय दूरियों का योग दीर्घ अक्ष (major axis) की लंबाई के बराबर होता है।
यहाँ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ दीर्घवृत्त के लिए $a < b$ है,अतः दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष पर है और इसकी लंबाई $2b$ है।
इसलिए,दीर्घवृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ के लिए $SP + S'P = 2b$ होगा।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2 + 4y^2 = 4$ है,जिसे $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ लिखा जा सकता है।
यहाँ $a = 2$ और $b = 1$ है।
इस दीर्घवृत्त में अंतर्निहित आयत के शीर्ष $(\pm 2, \pm 1)$ हैं।
नए दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1$ मानिए।
यह दीर्घवृत्त $(\pm 2, \pm 1)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{4}{A^2} + \frac{1}{B^2} = 1$।
आयत की भुजाओं का अनुपात $\frac{A}{B} = \frac{2}{1} = 2$ है,इसलिए $A^2 = 4B^2$।
मान रखने पर,$\frac{4}{4B^2} + \frac{1}{B^2} = 1 \implies \frac{2}{B^2} = 1 \implies B^2 = 2$ और $A^2 = 8$।
समीकरण $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{2} = 1$ या $x^2 + 4y^2 = 8$ प्राप्त होता है।
विकल्प $D$ में $x^2 + 12y^2 = 16$ दिया गया है जो बिंदु $(\pm 2, \pm 1)$ को संतुष्ट करता है।

(C) दीर्घवृत्त की लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के बिंदुपथ को उसका नियामक वृत्त (Director Circle) कहा जाता है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,नियामक वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ है।
चूंकि यह समीकरण एक वृत्त को दर्शाता है,इसलिए बिंदुपथ एक वृत्त है।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 12$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदु $(1, 3)$ और $a^2, b^2$ के मान रखने पर:
$\frac{x(1)}{4} + \frac{y(3)}{12} = 1$
$\frac{x}{4} + \frac{y}{4} = 1$
$x + y = 4$.

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए उत्केंद्र कोण $\theta$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ होता है।
दिए गए समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = \sqrt{2}$ को $\frac{x}{a \sqrt{2}} + \frac{y}{b \sqrt{2}} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
गुणांकों की तुलना करने पर,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
अतः $\theta = \frac{\pi}{4}$,जो कि $45^{\circ}$ है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2 + 1} + \frac{y^2}{a^2 + 2} = 1$ दिया गया है।
चूंकि $a^2 + 2 > a^2 + 1$,इसलिए दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष पर है।
यहाँ $b^2 = a^2 + 1$ और $a_e^2 = a^2 + 2$ (जहाँ $a_e$ अर्ध-दीर्घ अक्ष है)।
उत्केंद्रता $e = \frac{1}{\sqrt{6}}$,इसलिए $e^2 = \frac{1}{6}$।
संबंध $b^2 = a_e^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर:
$a^2 + 1 = (a^2 + 2)(1 - \frac{1}{6})$
$a^2 + 1 = (a^2 + 2)(\frac{5}{6})$
$6a^2 + 6 = 5a^2 + 10$
$a^2 = 4$।
अतः,$b^2 = 4 + 1 = 5$ और $a_e^2 = 4 + 2 = 6$।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a_e} = \frac{2(5)}{\sqrt{6}} = \frac{10}{\sqrt{6}}$ है।

(A) दिया गया वृत्त $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ है। इसकी त्रिज्या $r_1 = 1$ है,इसलिए इसका व्यास $d_1 = 2$ है। यह लघु अक्ष की अर्ध-लंबाई $b = 2$ है।
दूसरा वृत्त $x^2 + (y - 2)^2 = 4$ है। इसकी त्रिज्या $r_2 = 2$ है,इसलिए इसका व्यास $d_2 = 4$ है। यह दीर्घ अक्ष की अर्ध-लंबाई $a = 4$ है।
दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ या $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ होता है।
स्थिति $1$: यदि दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष पर है,तो $a = 4$ और $b = 2$। समीकरण $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1 \Rightarrow 4x^2 + y^2 = 16$ होगा।
स्थिति $2$: यदि दीर्घ अक्ष $x$-अक्ष पर है,तो $a = 4$ और $b = 2$। समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1 \Rightarrow x^2 + 4y^2 = 16$ होगा।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$4x^2 + y^2 = 16$ विकल्प $A$ में मौजूद है।

(C) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
दी गई उत्केंद्रता $e = \sqrt{\frac{2}{5}}$.
चूंकि $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,हमारे पास $\frac{2}{5} = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ है,जिसका अर्थ है $\frac{b^2}{a^2} = \frac{3}{5}$,या $a^2 = \frac{5}{3}b^2$.
दीर्घवृत्त बिंदु $(-3, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{9}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$.
$a^2 = \frac{5}{3}b^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{9}{(5/3)b^2} + \frac{1}{b^2} = 1$.
$\frac{27}{5b^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ $\Rightarrow \frac{32}{5b^2} = 1$ $\Rightarrow 5b^2 = 32$ $\Rightarrow b^2 = \frac{32}{5}$.
अतः $a^2 = \frac{32}{3}$.
समीकरण $\frac{3x^2}{32} + \frac{5y^2}{32} = 1$ है,जो $3x^2 + 5y^2 = 32$ में बदल जाता है।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ है।
यहाँ,$a^2 = 16$ और $b^2 = 9$,इसलिए $a = 4$ और $b = 3$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ है।
दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 4 \times \frac{\sqrt{7}}{4}, 0) = (\pm \sqrt{7}, 0)$ हैं।
वृत्त का केंद्र $(0, 3)$ है और यह नाभियों $(\sqrt{7}, 0)$ और $(-\sqrt{7}, 0)$ से होकर गुजरता है।
वृत्त की त्रिज्या $r$,केंद्र $(0, 3)$ और नाभि $(\sqrt{7}, 0)$ के बीच की दूरी है।
$r = \sqrt{(\sqrt{7} - 0)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{7 + 9} = \sqrt{16} = 4$।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ उसका नियामक वृत्त (director circle) होता है,जिसका समीकरण $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ है।
यहाँ,$a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है।
अतः,नियामक वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 9 + 4 = 13$ है।
बिंदु $(\lambda, 3)$ इस नियामक वृत्त पर स्थित है।
इसलिए,$\lambda^2 + 3^2 = 13$।
$\lambda^2 + 9 = 13$।
$\lambda^2 = 4$।
$\lambda = \pm 2$।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की जीवा का समीकरण जो $(x_1, y_1)$ पर समद्विभाजित होती है,$T = S_1$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,दीर्घवृत्त का समीकरण $2x^2 + 5y^2 = 20$ है,जिसे $\frac{x^2}{10} + \frac{y^2}{4} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया बिंदु $(x_1, y_1) = (2, 1)$ है।
$T = 2x(x_1) + 5y(y_1) - 20 = 2x(2) + 5y(1) - 20 = 4x + 5y - 20$.
$S_1 = 2(x_1)^2 + 5(y_1)^2 - 20 = 2(2)^2 + 5(1)^2 - 20 = 2(4) + 5(1) - 20 = 8 + 5 - 20 = -7$.
$T = S_1$ को बराबर करने पर,हमें $4x + 5y - 20 = -7$ प्राप्त होता है।
$4x + 5y - 20 + 7 = 0$.
$4x + 5y - 13 = 0$.

(B) दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,दीर्घवृत्त पर किसी बिंदु $P(x, y)$ की नाभि $S(6, 7)$ से दूरी,नियता $L: x + y + 2 = 0$ से दूरी की $e$ गुना होती है।
$PS^2 = e^2 \times (\text{बिंदु } P \text{ की } L \text{ से लंबवत दूरी})^2$
$(x - 6)^2 + (y - 7)^2 = (1/\sqrt{3})^2 \times \frac{(x + y + 2)^2}{1^2 + 1^2}$
$(x^2 - 12x + 36 + y^2 - 14y + 49) = \frac{1}{3} \times \frac{(x + y + 2)^2}{2}$
$6(x^2 + y^2 - 12x - 14y + 85) = (x + y + 2)^2$
$6x^2 + 6y^2 - 72x - 84y + 510 = x^2 + y^2 + 4 + 2xy + 4x + 4y$
$5x^2 - 2xy + 5y^2 - 76x - 88y + 506 = 0$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ 'नियमक वृत्त' (director circle) कहलाता है।
नियमक वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ होता है।
दिए गए दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ के लिए,$a^2 = 25$ और $b^2 = 16$ है।
इन मानों को नियमक वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$x^2 + y^2 = 25 + 16$
$x^2 + y^2 = 41$.

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $2x^2 + 5y^2 = 20$ है,जिसे $S(x, y) = 2x^2 + 5y^2 - 20 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $(4, -3)$ की स्थिति ज्ञात करने के लिए,हम निर्देशांकों को $S(x, y)$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$S(4, -3) = 2(4)^2 + 5(-3)^2 - 20$
$S(4, -3) = 2(16) + 5(9) - 20$
$S(4, -3) = 32 + 45 - 20$
$S(4, -3) = 77 - 20 = 57$.
चूंकि $S(4, -3) > 0$ है,इसलिए बिंदु $(4, -3)$ दीर्घवृत्त के बाहर स्थित है।

(B) मान लीजिए दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है जहाँ $a > b$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 2h$ है,इसलिए $ae = h$ है।
लघु अक्ष के अंतिम बिंदु $(0, b)$ और $(0, -b)$ हैं।
लघु अक्ष के एक अंतिम बिंदु की नाभीय दूरी $(0, b)$ से नाभि $(ae, 0)$ तक की दूरी है,जो $\sqrt{(ae - 0)^2 + (0 - b)^2} = \sqrt{a^2e^2 + b^2}$ है।
चूंकि यह दूरी $k$ दी गई है,हमारे पास $\sqrt{a^2e^2 + b^2} = k$ है,इसलिए $a^2e^2 + b^2 = k^2$ है।
$ae = h$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $h^2 + b^2 = k^2$ मिलता है,जिसका अर्थ है $b^2 = k^2 - h^2$ है।
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - a^2e^2 = a^2 - h^2$ है।
अतः,$a^2 - h^2 = k^2 - h^2$,जिससे $a^2 = k^2$ प्राप्त होता है।
$a^2 = k^2$ और $b^2 = k^2 - h^2$ को मानक समीकरण में रखने पर,हमें $\frac{x^2}{k^2} + \frac{y^2}{k^2 - h^2} = 1$ प्राप्त होता है।

(C) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूंकि बिंदु $(4, -1)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,इसलिए $\frac{16}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ प्राप्त होता है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y = -\frac{1}{4}x + \frac{5}{2}$ है,जहाँ $m = -\frac{1}{4}$ और $c = \frac{5}{2}$ है।
प्रतिबंध $c^2 = a^2m^2 + b^2$ के अनुसार,$\frac{25}{4} = \frac{a^2}{16} + b^2 \Rightarrow 100 = a^2 + 16b^2$।
समीकरणों को हल करने पर $a^2 = 20$ और $b^2 = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{20} + \frac{y^2}{5} = 1$ है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{32} = 1$ है। यहाँ $a^2 = 18$ और $b^2 = 32$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ है।
यहाँ $m = -4/3$,$a^2 = 18$,और $b^2 = 32$ दिया गया है।
मान रखने पर: $y = -\frac{4}{3}x \pm \sqrt{18(-\frac{4}{3})^2 + 32} = -\frac{4}{3}x \pm \sqrt{18(\frac{16}{9}) + 32} = -\frac{4}{3}x \pm \sqrt{32 + 32} = -\frac{4}{3}x \pm 8$.
माना $y = -\frac{4}{3}x + 8$ है।
$A$ (दीर्घ अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु,जो $y$-अक्ष है) ज्ञात करने के लिए $x = 0$ रखें: $y = 8$,अतः $A = (0, 8)$.
$B$ (लघु अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु,जो $x$-अक्ष है) ज्ञात करने के लिए $y = 0$ रखें: $0 = -\frac{4}{3}x + 8 \implies x = 6$,अतः $B = (6, 0)$.
$\Delta OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times |OA| \times |OB| = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$ वर्ग इकाई।

(A) माना नाभि $S$ मूलबिंदु $(0, 0)$ पर है और नियता $x = 4$ है।
दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,$SP = e \cdot PM$,जहाँ $P(x, y)$ दीर्घवृत्त पर एक बिंदु है और $PM$ नियता से लंबवत दूरी है।
$SP^2 = e^2 \cdot PM^2$
$x^2 + y^2 = (1/2)^2 \cdot (x - 4)^2$
$x^2 + y^2 = \frac{1}{4} (x^2 - 8x + 16)$
$4x^2 + 4y^2 = x^2 - 8x + 16$
$3x^2 + 8x + 4y^2 = 16$
$3(x + 4/3)^2 + 4y^2 = 64/3$
यहाँ $a^2 = 64/9$,इसलिए $a = 8/3$। दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 16/3$ है,लेकिन विकल्पों के अनुसार $8/3$ अर्ध-दीर्घ अक्ष की लंबाई है।

(B) दीर्घवृत्त का केंद्र नाभियों का मध्यबिंदु है: $(\frac{-1+7}{2}, \frac{0+0}{2}) = (3, 0)$।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = \sqrt{(7 - (-1))^2 + (0 - 0)^2} = 8$ है।
चूंकि $e = 1/2$ दिया गया है,$2a(1/2) = 8$,जिसका अर्थ है $a = 8$।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करते हुए,$b^2 = 8^2(1 - (1/2)^2) = 64(3/4) = 48$,इसलिए $b = \sqrt{48} = 4 \sqrt{3}$।
दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{(x - 3)^2}{8^2} + \frac{(y - 0)^2}{(4 \sqrt{3})^2} = 1$ है।
प्राचलिक निर्देशांक $x = h + a \cos \theta$ और $y = k + b \sin \theta$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $(h, k)$ केंद्र है।
मान रखने पर,हमें $x = 3 + 8 \cos \theta$ और $y = 4 \sqrt{3} \sin \theta$ प्राप्त होता है।

(B) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{49} = 1$ है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ से तुलना करने पर,जहाँ $a^2 > b^2$,हमें $a^2 = 49$ और $b^2 = 36$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a = 7$ और $b = 6$ है।
दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष के अनुदिश है।
दीर्घवृत्त के नाभिलंब की लंबाई का सूत्र $\frac{2b^2}{a}$ है।
मान रखने पर,$\text{लंबाई} = \frac{2 \times 36}{7} = \frac{72}{7}$ प्राप्त होता है।

(C) रेखा $y = mx + c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ को स्पर्श करने की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ है।
यहाँ दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ दिया गया है,इसलिए $a^2 = 4$ और $b^2 = 1$ है।
रेखा का समीकरण $y = 4x + c$ है,इसलिए $m = 4$ है।
इन मानों को शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ में रखने पर:
$c^2 = (4)(4^2) + 1$
$c^2 = (4)(16) + 1$
$c^2 = 64 + 1 = 65$
अतः,$c = \pm \sqrt{65}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार $c$ के $2$ संभावित मान हैं,जो $\sqrt{65}$ और $-\sqrt{65}$ हैं।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2 + 2y^2 = 2$ है,जिसे $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = 1$ लिखा जा सकता है।
यहाँ $a^2 = 2$ और $b^2 = 1$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
नाभियों के निर्देशांक $(\pm 1, 0)$ हैं।
नाभिलंब के अंत बिंदु $(1, \pm \frac{1}{\sqrt{2}})$ और $(-1, \pm \frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।
बिंदु $(1, 1/\sqrt{2})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x + \sqrt{2}y = 2$ है।
ये चार स्पर्श रेखाएँ एक समचतुर्भुज बनाती हैं जिसके शीर्ष $(2, 0), (0, \sqrt{2}), (-2, 0), (0, -\sqrt{2})$ हैं।
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 4 \times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

(B) नियता का समीकरण $x = 4$ है,जो $y$-अक्ष के समानांतर है। इसका अर्थ है कि दीर्घवृत्त का मुख्य अक्ष $x$-अक्ष पर स्थित है।
केंद्र मूलबिंदु $(0, 0)$ पर होने के कारण,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
केंद्र से नियता की दूरी $\frac{a}{e} = 4$ दी गई है।
$e = 1/2$ दिया गया है,इसलिए $\frac{a}{1/2} = 4$,जिसका अर्थ है $a = 2$ है।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,$b^2 = 2^2(1 - (1/2)^2) = 4(1 - 1/4) = 4(3/4) = 3$ प्राप्त होता है।
$a^2 = 4$ और $b^2 = 3$ को मानक समीकरण में रखने पर,हमें $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
$12$ से गुणा करने पर,$3x^2 + 4y^2 = 12$ प्राप्त होता है।

(C) यदि बिंदु $(x_1, y_1)$ दीर्घवृत्त के बाहर स्थित है,तो उससे $2$ स्पर्श रेखाएं खींची जा सकती हैं।
प्रथम दीर्घवृत्त $E_1: 3x^2 + 5y^2 - 32 = 0$ के लिए,बिंदु $(3, 5)$ पर:
$S_1 = 3(3)^2 + 5(5)^2 - 32 = 27 + 125 - 32 = 120 > 0$.
अतः,$(3, 5)$ बिंदु $E_1$ के बाहर है,इसलिए $2$ स्पर्श रेखाएं खींची जा सकती हैं।
दूसरे दीर्घवृत्त $E_2: 25x^2 + 9y^2 - 450 = 0$ के लिए,बिंदु $(3, 5)$ पर:
$S_2 = 25(3)^2 + 9(5)^2 - 450 = 225 + 225 - 450 = 0$.
अतः,$(3, 5)$ बिंदु $E_2$ पर स्थित है,इसलिए $1$ स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।
कुल स्पर्श रेखाओं की संख्या $2 + 1 = 3$ है।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 25$ और $b^2 = 16$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$ है।
नाभियाँ $S$ और $S'$ $(\pm 3, 0)$ हैं।
दीर्घवृत्त पर बिंदु $P = (5 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ लें।
$\triangle PSS'$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (3 - (-3)) \times |4 \sin \theta| = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 |\sin \theta| = 12 |\sin \theta|$।
$|\sin \theta|$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए अधिकतम क्षेत्रफल $12$ वर्ग इकाई है।

(C) दीर्घवृत्त $E_1$ के शीर्ष $(\pm 3, 0)$ और $(0, \pm 2)$ हैं।
आयत $R$ के शीर्ष $(\pm 3, \pm 2)$ हैं।
माना दीर्घवृत्त $E_2$ का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूंकि $E_2$ आयत $R$ को परिगत करता है,इसलिए $\frac{9}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1$ है।
$E_2$ बिंदु $(0, 4)$ से गुजरता है,इसलिए $b = 4$ और $b^2 = 16$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{9}{a^2} + \frac{4}{16} = 1$ $\Rightarrow \frac{9}{a^2} = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow a^2 = 12$।
यहाँ $b > a$ है,इसलिए उत्केंद्रता $e$ के लिए $a^2 = b^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर:
$12 = 16(1 - e^2)$ $\Rightarrow 1 - e^2 = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow e^2 = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow e = \frac{1}{2}$।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$ है। यहाँ $a^2 = 16$ और $b^2 = 4$ है।
माना $P = (4 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ है।
$P$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{ax}{\cos \theta} - \frac{by}{\sin \theta} = a^2 - b^2$ है।
मान रखने पर,$\frac{2x}{\cos \theta} - \frac{y}{\sin \theta} = 6$ प्राप्त होता है।
$x$-अक्ष पर बिंदु $Q$ के लिए $y=0$,अतः $x_Q = 3 \cos \theta$। यानी $Q = (3 \cos \theta, 0)$।
$M = (h, k)$ रेखाखंड $PQ$ का मध्यबिंदु है।
$h = \frac{7}{2} \cos \theta$ और $k = \sin \theta$।
अतः $M$ का बिंदुपथ $\frac{4x^2}{49} + y^2 = 1$ है।
दीर्घवृत्त का नाभिलंब $x = \pm ae = \pm 2\sqrt{3}$ है।
$x = \pm 2\sqrt{3}$ को बिंदुपथ के समीकरण में रखने पर,$y^2 = \frac{1}{49}$ प्राप्त होता है,यानी $y = \pm \frac{1}{7}$।
अतः बिंदु $\left( \pm 2\sqrt{3}, \pm \frac{1}{7} \right)$ हैं।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण: $4x^2 + 9y^2 = 1$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $8x + 18y \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{8x}{18y} = -\frac{4x}{9y}$
दी गई रेखा $8x = 9y$ है,जिसे $y = \frac{8}{9}x$ लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m = \frac{8}{9}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा,रेखा के समांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए:
$-\frac{4x}{9y} = \frac{8}{9}$
$-4x = 8y \implies x = -2y$
$x = -2y$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर:
$4(-2y)^2 + 9y^2 = 1$
$4(4y^2) + 9y^2 = 1$
$16y^2 + 9y^2 = 1$
$25y^2 = 1 \implies y^2 = \frac{1}{25} \implies y = \pm \frac{1}{5}$
यदि $y = \frac{1}{5}$ है,तो $x = -2(\frac{1}{5}) = -\frac{2}{5}$।
यदि $y = -\frac{1}{5}$ है,तो $x = -2(-\frac{1}{5}) = \frac{2}{5}$।
अतः,बिंदु $\left( -\frac{2}{5}, \frac{1}{5} \right)$ और $\left( \frac{2}{5}, -\frac{1}{5} \right)$ हैं।

(C) दिए गए समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ के लिए हल करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$
यदि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के समांतर है,तो इसकी ढाल शून्य होनी चाहिए:
$\frac{dy}{dx} = 0 \implies -\frac{b^2 x}{a^2 y} = 0 \implies x = 0$
$x = 0$ को मूल समीकरण में रखने पर:
$\frac{0^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \implies y^2 = b^2 \implies y = \pm b$
अतः,स्पर्श बिंदु $(0, \pm b)$ हैं।

(C) दीर्घवृत्त की नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 6$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $ae = 3$।
लघु अक्ष की लंबाई $2b = 8$ है,जिसका अर्थ है $b = 4$।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,हमें $b^2 = a^2 - a^2e^2$ प्राप्त होता है।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$16 = a^2 - (ae)^2$।
$16 = a^2 - (3)^2$।
$16 = a^2 - 9$ $\Rightarrow a^2 = 25$ $\Rightarrow a = 5$।
चूंकि $ae = 3$,इसलिए $5e = 3$,अतः $e = 3/5$।

(A) माना नाभि $S(0, 0)$ है और नियता $x = 4$ है।
दीर्घवृत्त के लिए,नाभि और नियता के बीच की दूरी $\frac{a}{e} - ae = d$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $d$ नाभि से नियता की दूरी है।
यहाँ,$d = 4$ और $e = \frac{1}{2}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $a(\frac{1}{e} - e) = 4$।
$a(2 - \frac{1}{2}) = 4$।
$a(\frac{3}{2}) = 4$।
$a = \frac{8}{3}$।

(A) दिया गया दीर्घवृत्त $x^2 + 4y^2 = 4$ है,जिसे $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्ष $a = 2$ और $b = 1$ हैं।
इस दीर्घवृत्त के चारों ओर बने आयत के शीर्ष $(\pm 2, \pm 1)$ हैं।
बाहरी दीर्घवृत्त इस आयत में अंतर्निहित है,जिसका अर्थ है कि यह बिंदुओं $(\pm 2, \pm 1)$ से होकर गुजरता है।
मान लीजिए बाहरी दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1$ है।
चूंकि यह $(4,0)$ से होकर गुजरता है,हमारे पास $\frac{4^2}{A^2} + \frac{0^2}{B^2} = 1$ है,जिससे $A^2 = 16$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह $(2,1)$ से भी होकर गुजरता है,हमारे पास $\frac{2^2}{16} + \frac{1^2}{B^2} = 1$ है।
$\frac{4}{16} + \frac{1}{B^2} = 1 \implies \frac{1}{4} + \frac{1}{B^2} = 1 \implies \frac{1}{B^2} = \frac{3}{4} \implies B^2 = \frac{4}{3}$।
$A^2$ और $B^2$ के मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4/3} = 1$।
$\frac{x^2}{16} + \frac{3y^2}{4} = 1$।
$16$ से गुणा करने पर,हमें $x^2 + 12y^2 = 16$ प्राप्त होता है।

(D) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ है।
चूंकि यह $(-3, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{9}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = 1$ है।
दिया है $e^{2} = \frac{2}{5}$,हम जानते हैं कि $b^{2} = a^{2}(1 - e^{2}) = a^{2}(1 - \frac{2}{5}) = \frac{3}{5}a^{2}$।
$b^{2}$ का मान समीकरण में रखने पर: $\frac{9}{a^{2}} + \frac{1}{\frac{3}{5}a^{2}} = 1$।
$\frac{9}{a^{2}} + \frac{5}{3a^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{27 + 5}{3a^{2}} = 1$ $\Rightarrow 3a^{2} = 32$ $\Rightarrow a^{2} = \frac{32}{3}$।
तब $b^{2} = \frac{3}{5} \times \frac{32}{3} = \frac{32}{5}$।
समीकरण $\frac{x^{2}}{32/3} + \frac{y^{2}}{32/5} = 1$ है,जिसे सरल करने पर $3x^{2} + 5y^{2} = 32$ या $3x^{2} + 5y^{2} - 32 = 0$ प्राप्त होता है।