System of circles Questions in Gujarati

(A) વર્તુળ $S = 0$ અને રેખા $L = 0$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $S + \lambda L = 0$ છે.
અહીં,$S = x^2 + y^2 - a^2 = 0$ અને $L = x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$.
તેથી,વર્તુળનું સમીકરણ $(x^2 + y^2 - a^2) + \lambda(x \cos \alpha + y \sin \alpha - p) = 0$ થશે.
આ વર્તુળનો વ્યાસ રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ હોવાથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર આ રેખા પર આવેલું હશે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 + (\lambda \cos \alpha)x + (\lambda \sin \alpha)y - (a^2 + \lambda p) = 0$ નું કેન્દ્ર $(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}, -\frac{\lambda \sin \alpha}{2})$ છે.
આ કેન્દ્રને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}) \cos \alpha + (-\frac{\lambda \sin \alpha}{2}) \sin \alpha - p = 0$
$-\frac{\lambda}{2} (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = p$
$-\frac{\lambda}{2} = p \implies \lambda = -2p$.
$\lambda = -2p$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x^2 + y^2 - a^2 - 2p(x \cos \alpha + y \sin \alpha - p) = 0$.

(B) બે વર્તુળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ છે.
અહીં,$S_1 = x^2 + y^2 - 6x + 8 = 0$ અને $S_2 = x^2 + y^2 - 6 = 0$.
વર્તુળોનું કુળ $(x^2 + y^2 - 6x + 8) + \lambda(x^2 + y^2 - 6) = 0$ છે.
આ વર્તુળ $(1, 1)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 1$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$(1^2 + 1^2 - 6(1) + 8) + \lambda(1^2 + 1^2 - 6) = 0$
$(1 + 1 - 6 + 8) + \lambda(1 + 1 - 6) = 0$
$4 - 4\lambda = 0 \implies \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x^2 + y^2 - 6x + 8) + 1(x^2 + y^2 - 6) = 0$
$2x^2 + 2y^2 - 6x + 2 = 0$
$2$ વડે ભાગતા,$x^2 + y^2 - 3x + 1 = 0$ મળે છે.

(C) બે વર્તુળો વચ્ચેનો છેદકોણ $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2}$ છે,જ્યાં $d$ એ કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર છે.
પ્રથમ વર્તુળ માટે કેન્દ્ર $C_1 = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{\frac{17}{2}}$ છે.
બીજા વર્તુળ માટે કેન્દ્ર $C_2 = (-1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{13}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{\frac{5}{2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\cos \theta = \frac{19}{\sqrt{442}}$ મળે છે.
તેથી,$\tan \theta = \frac{9}{19}$ મળે છે.
આમ,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{9}{19}\right)$.

(B) બે વર્તુળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ ની રેડિકલ અક્ષનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,સમીકરણોને પ્રમાણિત કરો જેથી ${x^2}$ અને ${y^2}$ ના સહગુણકો $1$ થાય.
પ્રથમ વર્તુળ માટે: ${S_1} \equiv {x^2} + {y^2} - 3x - 4y + 5 = 0$.
બીજા વર્તુળ માટે,$3$ વડે ભાગતા: ${S_2} \equiv {x^2} + {y^2} - \frac{7}{3}x + \frac{8}{3}y + \frac{11}{3} = 0$.
$S_1$ માંથી $S_2$ બાદ કરતા:
$(-3 + \frac{7}{3})x + (-4 - \frac{8}{3})y + (5 - \frac{11}{3}) = 0$
$-\frac{2}{3}x - \frac{20}{3}y + \frac{4}{3} = 0$
$-3$ વડે ગુણતા: $2x + 20y - 4 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $x + 10y - 2 = 0$ થાય છે.
રેખાનું સમીકરણ $10y = -x + 2$ અથવા $y = -\frac{1}{10}x + \frac{1}{5}$ છે.
તેથી,ઢાળ $-\frac{1}{10}$ છે.

(D) જરૂરી બિંદુ એ આપેલા ત્રણ વર્તુળોનું રેડિકલ કેન્દ્ર છે.
પ્રથમ,સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $S = 0$ માં લખો:
$S_1: x^2 + y^2 - 12x - 16y + 64 = 0$
$S_2: x^2 + y^2 - 12x + 27 = 0$ ($3$ વડે ભાગતા)
$S_3: x^2 + y^2 - 16x + 81 = 0$
રેડિકલ કેન્દ્ર શોધવા માટે,રેડિકલ અક્ષો $S_1 - S_2 = 0$ અને $S_2 - S_3 = 0$ ઉકેલો:
$S_1 - S_2 = -16y + 37 = 0 \Rightarrow y = \frac{37}{16}$
$S_2 - S_3 = 4x - 54 = 0 \Rightarrow x = \frac{27}{2}$
રેડિકલ કેન્દ્ર $(\frac{27}{2}, \frac{37}{16})$ છે.
આ બિંદુ આપેલા વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો જવાબ $(d)$ છે.

(D) ધારો કે વર્તુળોના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$S_1: x^2 + y^2 - 4x - 2y + 6 = 0$
$S_2: x^2 + y^2 - 2x - 4y - 1 = 0$
$S_3: x^2 + y^2 - 12x + 2y + 30 = 0$
$S_1$ અને $S_2$ ની રેડિકલ ધરી $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2 + y^2 - 4x - 2y + 6) - (x^2 + y^2 - 2x - 4y - 1) = 0$
$-2x + 2y + 7 = 0$ અથવા $2x - 2y = 7$ $(i)$
$S_2$ અને $S_3$ ની રેડિકલ ધરી $S_2 - S_3 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2 + y^2 - 2x - 4y - 1) - (x^2 + y^2 - 12x + 2y + 30) = 0$
$10x - 6y - 31 = 0$ $(ii)$
સમીકરણો $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
$(i)$ પરથી,$2x = 2y + 7 \implies x = y + 3.5$
$(ii)$ માં કિંમત મૂકતા:
$10(y + 3.5) - 6y - 31 = 0$
$10y + 35 - 6y - 31 = 0$
$4y + 4 = 0 \implies y = -1$
$x = -1 + 3.5 = 2.5$
રેડિકલ કેન્દ્ર $(2.5, -1)$ છે,જે આપેલા વિકલ્પોમાં નથી.

(D) ધારો કે માંગેલ વર્તુળ $S: x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
જો વર્તુળ $S=0$ એ અન્ય વર્તુળ $S'=0$ ના પરિઘને દુભાગે,તો તેમની સામાન્ય જીવા $S'=0$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S - S' = 0$ છે.
$1$. $S' = x^2 + y^2 - 1 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $(0, 0)$ છે.
સામાન્ય જીવા $(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c) - (x^2 + y^2 - 1) = 0$ એટલે કે $2gx + 2fy + c + 1 = 0$ થાય.
તે $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$c + 1 = 0$,એટલે કે $c = -1$.
$2$. $S' = x^2 + y^2 + 2x - 3 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $(-1, 0)$ છે.
સામાન્ય જીવા $(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy - 1) - (x^2 + y^2 + 2x - 3) = 0$ એટલે કે $2(g-1)x + 2fy + 2 = 0$ થાય.
તે $(-1, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$2(g-1)(-1) + 2f(0) + 2 = 0$,એટલે કે $-2g + 2 + 2 = 0$,તેથી $g = 2$.
$3$. $S' = x^2 + y^2 + 2y - 3 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $(0, -1)$ છે.
સામાન્ય જીવા $(x^2 + y^2 + 4x + 2fy - 1) - (x^2 + y^2 + 2y - 3) = 0$ એટલે કે $4x + 2(f-1)y + 2 = 0$ થાય.
તે $(0, -1)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$4(0) + 2(f-1)(-1) + 2 = 0$,એટલે કે $-2f + 2 + 2 = 0$,તેથી $f = 2$.
આમ,માંગેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-2, -2)$ છે.

(C) ધારો કે બે વર્તુળો $S_1: x^2 + y^2 - 2x + 8y - q = 0$ અને $S_2: x^2 + y^2 + 4x + 12y + p = 0$ છે.
બંને વર્તુળોની સામાન્ય જીવા $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2 + y^2 - 2x + 8y - q) - (x^2 + y^2 + 4x + 12y + p) = 0$
$-6x - 4y - q - p = 0$
$6x + 4y + (p + q) = 0$
કારણ કે $S_1$ નો પરિઘ $S_2$ દ્વારા દુભાગવામાં આવે છે,તેથી સામાન્ય જીવા એ $S_1$ નો વ્યાસ હોવો જોઈએ.
$S_1$ નું કેન્દ્ર $(1, -4)$ છે.
વ્યાસ કેન્દ્ર $(1, -4)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,આપણે આ યામને સામાન્ય જીવાના સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$6(1) + 4(-4) + (p + q) = 0$
$6 - 16 + (p + q) = 0$
$-10 + (p + q) = 0$
$p + q = 10$

(A) ધારો કે બે વર્તુળોની ત્રિજ્યા $r$ અને $r_1$ છે. આપેલ છે કે એકનું ક્ષેત્રફળ બીજાના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું છે,તેથી $\pi r_1^2 = 2 \pi r^2$,જેનો અર્થ છે કે $r_1^2 = 2r^2$ અથવા $r_1 = \sqrt{2} r$.
$r$ અને $r_1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે લંબકોણીય વર્તુળો માટે,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d$ હોય,તો લંબકોણીયતાની શરત $d^2 = r^2 + r_1^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $d^2 = r^2 + (\sqrt{2} r)^2 = r^2 + 2r^2 = 3r^2$.
તેથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{3} r$ છે.

(A) બે વર્તુળોના કેન્દ્રો $C_1(-1, 1)$ અને $C_2(1, 1)$ છે,અને બંનેની ત્રિજ્યા $r_1 = 1$ અને $r_2 = 1$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = C_1C_2 = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (1 - 1)^2} = 2$ છે.
ત્રિજ્યાઓનો સરવાળો $r_1 + r_2 = 1 + 1 = 2$ હોવાથી,$d = r_1 + r_2$ થાય છે,તેથી વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ મેળવવા માટે બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$4x = 0 \Rightarrow x = 0$.
પ્રથમ વર્તુળના સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા:
$y^2 - 2y + 1 = 0$ $\Rightarrow (y - 1)^2 = 0$ $\Rightarrow y = 1$.
આમ,સ્પર્શબિંદુ $(0, 1)$ છે.

(C) પ્રથમ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 2$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^2 + y^2 - 8x - 8y + 7 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (4, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 5$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1 C_2 = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2} \approx 5.66$ છે.
અહીં $|r_1 - r_2| < C_1 C_2 < r_1 + r_2$ હોવાથી,વર્તુળો એકબીજાને છેદે છે.
જ્યારે બે વર્તુળો છેદતા હોય,ત્યારે $2$ સીધા સામાન્ય સ્પર્શકો મળે છે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $S \equiv x^2 + y^2 - 30x = 0$ છે અને જીવા $L \equiv y + 3x = 0$ છે.
$S = 0$ અને $L = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S + \lambda L = 0$ છે.
$x^2 + y^2 - 30x + \lambda(y + 3x) = 0$
$x^2 + y^2 + (3\lambda - 30)x + \lambda y = 0$
આ વર્તુળ માટે,જીવા $y + 3x = 0$ એ વ્યાસ છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $\left( -\frac{3\lambda - 30}{2}, -\frac{\lambda}{2} \right)$ છે.
કેન્દ્ર જીવા $y + 3x = 0$ પર હોવું જોઈએ,તેથી કેન્દ્રના યામ જીવાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$-\frac{\lambda}{2} + 3\left( -\frac{3\lambda - 30}{2} \right) = 0$
$-\lambda - 9\lambda + 90 = 0$
$-10\lambda = -90 \implies \lambda = 9$
$\lambda = 9$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2 + y^2 + (3(9) - 30)x + 9y = 0$
$x^2 + y^2 - 3x + 9y = 0$

(A) આપેલ વર્તુળ $S: x^2 + y^2 - 16 = 0$ છે.
જીવાનું સમીકરણ $L: 3x + y + 5 = 0$ છે.
$S$ અને $L$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ $S + \lambda L = 0$ છે.
તેથી,$x^2 + y^2 - 16 + \lambda(3x + y + 5) = 0$.
$x^2 + y^2 + 3\lambda x + \lambda y + (5\lambda - 16) = 0$.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C = (-\frac{3\lambda}{2}, -\frac{\lambda}{2})$ છે.
કારણ કે જીવા $3x + y + 5 = 0$ એ આ વર્તુળનો વ્યાસ છે,તેથી કેન્દ્ર $C$ એ રેખા $3x + y + 5 = 0$ પર હોવું જોઈએ.
કેન્દ્રને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $3(-\frac{3\lambda}{2}) + (-\frac{\lambda}{2}) + 5 = 0$.
$-\frac{9\lambda}{2} - \frac{\lambda}{2} + 5 = 0$.
$-5\lambda + 5 = 0 \implies \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2 + y^2 + 3(1)x + (1)y + 5(1) - 16 = 0$.
$x^2 + y^2 + 3x + y - 11 = 0$.

(D) વર્તુળ $S = x^2 + y^2 - 4x - 6y - 21 = 0$ અને રેખા $L = 3x + 4y + 5 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S + \lambda L = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x^2 + y^2 - 4x - 6y - 21) + \lambda(3x + 4y + 5) = 0$
આ વર્તુળ બિંદુ $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 1$ અને $y = 2$ મૂકતા:
$(1^2 + 2^2 - 4(1) - 6(2) - 21) + \lambda(3(1) + 4(2) + 5) = 0$
$-32 + 16\lambda = 0$
$\lambda = 2$
$\lambda = 2$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x^2 + y^2 - 4x - 6y - 21) + 2(3x + 4y + 5) = 0$
$x^2 + y^2 + 2x + 2y - 11 = 0$.

(B) પ્રથમ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 16x - 20y + 164 = r^2$ છે. પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા: $(x - 8)^2 + (y - 10)^2 = r^2$. કેન્દ્ર $A(8, 10)$ અને ત્રિજ્યા $R_1 = r$ છે.
બીજું વર્તુળ $(x - 4)^2 + (y - 7)^2 = 36$ છે. કેન્દ્ર $B(4, 7)$ અને ત્રિજ્યા $R_2 = 6$ છે.
કેન્દ્રો $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $AB = \sqrt{(8 - 4)^2 + (10 - 7)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ છે.
બે વર્તુળો બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટેની શરત $|R_1 - R_2| < AB < R_1 + R_2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $|r - 6| < 5 < r + 6$.
$r + 6 > 5$ પરથી,$r > -1$ મળે. ત્રિજ્યા હોવાથી $r > 0$.
$|r - 6| < 5$ પરથી,$-5 < r - 6 < 5$,જેનો અર્થ છે $1 < r < 11$.
આમ,શરત $1 < r < 11$ છે.

(D) વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{1^2 + 1^2 - (-2)} = \sqrt{4} = 2$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 - 6x - 6y + 14 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (3, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{3^2 + 3^2 - 14} = \sqrt{18 - 14} = \sqrt{4} = 2$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(3-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ છે.
ચતુષ્કોણ $PC_1QC_2$ માં,બાજુઓ $C_1P = C_1Q = r_1 = 2$ અને $C_2P = C_2Q = r_2 = 2$ છે.
બધી બાજુઓ $2$ હોવાથી,ચતુષ્કોણ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
વિકર્ણો $C_1C_2 = 2\sqrt{2}$ અને $PQ$ છે. $\triangle PC_1C_2$ માં,$C_1P=2, C_2P=2, C_1C_2=2\sqrt{2}$ છે. $2^2 + 2^2 = (2\sqrt{2})^2$ હોવાથી,$\triangle PC_1C_2$ એ $P$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$\triangle PC_1C_2$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ છે.
ચતુષ્કોણ $PC_1QC_2$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times (\triangle PC_1C_2 \text{ નું ક્ષેત્રફળ}) = 2 \times 2 = 4$ ચોરસ એકમ છે.

(B) વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ માટે,કેન્દ્ર $C_1(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 2$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 + 6x + 8y - 24 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2(-3, -4)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 7$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = 5$ છે.
અહીં $d = |r_2 - r_1| = 5$ હોવાથી,વર્તુળો એકબીજાને અંદરથી સ્પર્શે છે.
સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ છે.
$(x^2 + y^2 - 4) - (x^2 + y^2 + 6x + 8y - 24) = 0$
$3x + 4y - 10 = 0$.
બિંદુ $(6, -2)$ આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.

(B) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો $S_{1}: x^{2}+y^{2}-6x+8=0$ અને $S_{2}: x^{2}+y^{2}-8y+16-k=0$ છે.
$S_{1}$ માટે,કેન્દ્ર $C_{1} = (3, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_{1} = \sqrt{3^{2}+0^{2}-8} = 1$ છે.
$S_{2}$ માટે,કેન્દ્ર $C_{2} = (0, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r_{2} = \sqrt{0^{2}+4^{2}-(16-k)} = \sqrt{k}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(3-0)^{2}+(0-4)^{2}} = 5$ છે.
વર્તુળો એકબીજાને સ્પર્શતા હોવાથી,$d = |r_{1} \pm r_{2}|$.
કિસ્સો $1$: $5 = 1+\sqrt{k}$ $\Rightarrow \sqrt{k} = 4$ $\Rightarrow k = 16$.
કિસ્સો $2$: $5 = |1-\sqrt{k}|$ $\Rightarrow 1-\sqrt{k} = -5$ $\Rightarrow \sqrt{k} = 6$ $\Rightarrow k = 36$.
આમ,$k$ ની મહત્તમ કિંમત $36$ છે.

(A) પરવલય $y^{2} = 4x$ છે. $y^{2} = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$a = 1$ મળે છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $4a = 4(1) = 4$ છે.
બંને વર્તુળો $C_{1}$ અને $C_{2}$ ની સામાન્ય જીવા એ પરવલયનો નાભિલંબ છે,તેથી તેની લંબાઈ $4$ છે.
ધારો કે $D$ એ નાભિલંબનું એક અંત્યબિંદુ છે અને $B$ એ સામાન્ય જીવાનું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$DB = \frac{4}{2} = 2$.
ધારો કે $r$ એ વર્તુળોની ત્રિજ્યા છે,$r = 2\sqrt{5}$.
ત્રિજ્યા,કેન્દ્રથી જીવા સુધીનું અંતર અને જીવાની અડધી લંબાઈ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,ધારો કે $x$ એ વર્તુળના કેન્દ્રથી સામાન્ય જીવા સુધીનું અંતર છે.
$x^{2} + DB^{2} = r^{2}$
$x^{2} + 2^{2} = (2\sqrt{5})^{2}$
$x^{2} + 4 = 20$
$x^{2} = 16 \implies x = 4$.
કેન્દ્રો $C_{1}$ અને $C_{2}$ વચ્ચેનું અંતર $x + x = 4 + 4 = 8$ છે.

(D) ધારો કે $S_{1} = x^{2}+y^{2}-6x=0$ અને $S_{2} = x^{2}+y^{2}-4y=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S_{1} + \lambda S_{2} = 0$ છે.
$(x^{2}+y^{2}-6x) + \lambda(x^{2}+y^{2}-4y) = 0$
$(1+\lambda)x^{2} + (1+\lambda)y^{2} - 6x - 4\lambda y = 0$
કેન્દ્ર $\left(\frac{3}{1+\lambda}, \frac{2\lambda}{1+\lambda}\right)$ છે.
કેન્દ્ર $2x - 3y + 12 = 0$ પર હોવાથી,$\lambda = -3$ મળે છે.
સમીકરણમાં $\lambda = -3$ મૂકતા,$x^{2} + y^{2} + 3x - 6y = 0$ મળે છે.
બિંદુ $(-3, 6)$ આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.

(D) પ્રથમ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-10x-10y+41=0$ માટે:
કેન્દ્ર $C_{1} = (5, 5)$,ત્રિજ્યા $r_{1} = \sqrt{5^{2}+5^{2}-41} = \sqrt{25+25-41} = \sqrt{9} = 3$.
બીજા વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-24x-10y+160=0$ માટે:
કેન્દ્ર $C_{2} = (12, 5)$,ત્રિજ્યા $r_{2} = \sqrt{12^{2}+5^{2}-160} = \sqrt{144+25-160} = \sqrt{9} = 3$.
કેન્દ્રો $C_{1}$ અને $C_{2}$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(12-5)^{2}+(5-5)^{2}} = \sqrt{7^{2}+0^{2}} = 7$.
બે વર્તુળો વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d - (r_{1} + r_{2}) = 7 - (3 + 3) = 7 - 6 = 1$ છે.

(B) આપેલ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-2x-6y+6=0$ છે.
સામાન્ય સમીકરણ $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g=-1$ અને $f=-3$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (1, 3)$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c} = \sqrt{(-1)^{2}+(-3)^{2}-6} = \sqrt{1+9-6} = \sqrt{4} = 2$ છે.
આ વર્તુળનો એક વ્યાસ એ બીજા વર્તુળ $'C'$ (જેનું કેન્દ્ર $(2, 1)$ છે) ની જીવા હોવાથી,વર્તુળ $'C'$ ની ત્રિજ્યા (ધારો કે $r$) એ કેન્દ્રો વચ્ચેના અંતર અને પ્રથમ વર્તુળની ત્રિજ્યા સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.
કેન્દ્રો $(1, 3)$ અને $(2, 1)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(2-1)^{2}+(1-3)^{2}} = \sqrt{1^{2}+(-2)^{2}} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ છે.
બનેલા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ એ વર્તુળ $'C'$ ની ત્રિજ્યા $r$ છે,અને અન્ય બે બાજુઓ અંતર $d$ અને પ્રથમ વર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ છે.
આમ,$r^{2} = d^{2} + R^{2} = (\sqrt{5})^{2} + (2)^{2} = 5 + 4 = 9$.
તેથી,$r = 3$.

(A) રેખા $x-2y=0$ ને $(2,1)$ આગળ સ્પર્શતા વર્તુળ $C$ નું સમીકરણ $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+\lambda(x-2y)=0$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$x^{2}+y^{2}+x(\lambda-4)+y(-2-2\lambda)+5=0$ મળે છે.
આપેલ વર્તુળ $C_{1}$ એ $x^{2}+y^{2}+2y-5=0$ છે.
સામાન્ય જીવા $PQ$ એ રેડિકલ અક્ષ $C-C_{1}=0$ છે,જે $x(\lambda-4)-y(2\lambda+4)+10=0$ છે.
$PQ$ એ $C_{1}$ નો વ્યાસ હોવાથી,તે $C_{1}$ ના કેન્દ્ર $(0,-1)$ માંથી પસાર થાય છે.
$(0,-1)$ ને $PQ$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $0(\lambda-4)-(-1)(2\lambda+4)+10=0$ $\Rightarrow 2\lambda+14=0$ $\Rightarrow \lambda=-7$.
$\lambda=-7$ ને $C$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $x^{2}+y^{2}-11x+12y+5=0$.
$C$ નું કેન્દ્ર $(\frac{11}{2}, -6)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\frac{121}{4}+36-5} = \frac{7\sqrt{5}}{2}$ છે.
તેથી,$C$ નો વ્યાસ $2r = 7\sqrt{5}$ છે.

(C) વર્તુળ $C_1: x^{2}+y^{2}+6x+8y+16=0$ નું કેન્દ્ર $O_1(-3, -4)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 3$ છે.
વર્તુળ $C_2: x^{2}+y^{2}+2(3-\sqrt{3})x+2(4-\sqrt{6})y = k+6\sqrt{3}+8\sqrt{6}$ નું કેન્દ્ર $O_2(\sqrt{3}-3, \sqrt{6}-4)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{k+34}$ છે.
વર્તુળો આંતરિક રીતે સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = |r_2 - r_1|$.
$d^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{6})^2 = 9$,તેથી $d = 3$.
$3 = |\sqrt{k+34} - 3|$,તેથી $\sqrt{k+34} = 6$,એટલે કે $k=2$.
સ્પર્શબિંદુ $P(\alpha, \beta)$ એ $O_1O_2$ ને $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં બાહ્ય વિભાજન કરે છે.
$\alpha = \frac{1(\sqrt{3}-3) - 2(-3)}{1-2} = -\sqrt{3}-3$.
$\beta = \frac{1(\sqrt{6}-4) - 2(-4)}{1-2} = -\sqrt{6}-4$.
તેથી,$(\alpha+\sqrt{3})^{2} + (\beta+\sqrt{6})^{2} = (-3)^2 + (-4)^2 = 25$.

(C) બે વર્તુળો બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટે,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2$ એ શરત સંતોષવી જોઈએ: $|r_1 - r_2| < C_1C_2 < r_1 + r_2$.
પ્રથમ વર્તુળ $(x+1)^2 + (y+2)^2 = r^2$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (-1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = r$.
બીજા વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (2, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{2^2 + 2^2 - 4} = 2$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.
શરત $|r - 2| < 5 < r + 2$ લાગુ પાડતા:
$1$) $|r - 2| < 5$ $\Rightarrow -5 < r - 2 < 5$ $\Rightarrow -3 < r < 7$.
$2$) $5 < r + 2 \Rightarrow r > 3$.
આ અસમતાઓ જોડતા,આપણને $3 < r < 7$ મળે છે.

(C) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-10x+4y+13=0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $M(5, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{5^2+(-2)^2-13} = 4$ છે.
વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર રેખાઓ $2x+3y=12$ અને $3x-2y=5$ નું છેદબિંદુ છે,જે $O(3, 2)$ મળે છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(5-3)^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{20}$ છે.
વર્તુળ $C$ ની ત્રિજ્યા $R$ માટે,$R^2 = d^2 + r^2 = 20 + 16 = 36$,તેથી $R = 6$.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે. તે $(0,0)$ અને $(1,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી ત્રિજ્યા $r$ એ $(h,k)$ થી $(0,0)$ નું અંતર છે,એટલે કે $r^2 = h^2+k^2$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 2hx + h^2 + y^2 - 2ky + k^2 = h^2+k^2$,જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2-2hx-2ky=0$ થાય છે.
વર્તુળ $(1,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1, y=0$ મૂકતા: $1^2+0^2-2h(1)-2k(0)=0$,જે આપણને $1-2h=0$ આપે છે,તેથી $h=1/2$.
વર્તુળ $x^2+y^2=9$ (કેન્દ્ર $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $3$ વાળું વર્તુળ) ને સ્પર્શે છે. કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર એ ત્રિજ્યાઓના તફાવત જેટલું હોય છે (કારણ કે નાનું વર્તુળ મોટા વર્તુળની અંદર છે): $\sqrt{h^2+k^2} = 3 - r = 3 - \sqrt{h^2+k^2}$.
આમ,$2\sqrt{h^2+k^2} = 3$,તેથી $\sqrt{h^2+k^2} = 3/2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$h^2+k^2 = 9/4$.
તેથી,$4(h^2+k^2) = 4(9/4) = 9$.

(A) વર્તુળ $C_1$ એ $x^2+y^2=1$ છે અને $C_2$ એ $(x-4)^2+(y-1)^2=r^2$ છે.
બે વર્તુળોની રેડિકલ અક્ષ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x^2+y^2-1 - ((x-4)^2+(y-1)^2-r^2) = 0$
$x^2+y^2-1 - (x^2-8x+16+y^2-2y+1-r^2) = 0$
$8x+2y-18+r^2 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $8x+2y = 18-r^2$ થાય છે.
સામાન્ય સ્પર્શકોના મધ્યબિંદુઓને જોડતી રેખા એ બે વર્તુળોની રેડિકલ અક્ષ છે.
આ રેખા $x$-અક્ષને $B$ પર મળે છે. રેડિકલ અક્ષના સમીકરણમાં $y=0$ મૂકતા,આપણને $8x = 18-r^2$ મળે છે,તેથી $x = \frac{18-r^2}{8}$.
આમ,$B = \left(\frac{18-r^2}{8}, 0\right)$.
આપેલ છે કે $A=(4,1)$ અને $AB=\sqrt{5}$,તેથી $AB^2 = 5$.
$\left(\frac{18-r^2}{8}-4\right)^2 + (0-1)^2 = 5$
$\left(\frac{18-r^2-32}{8}\right)^2 + 1 = 5$
$\left(\frac{-(14+r^2)}{8}\right)^2 = 4$
$\frac{14+r^2}{8} = 2$ (કારણ કે $r^2 > 0$,તેથી વર્ગમૂળ $2$ મેળવવા માટે કૌંસની અંદરની કિંમત ધન હોવી જોઈએ)
$14+r^2 = 16$,જે $r^2 = 2$ આપે છે.

(B) ધારો કે વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે $\quad\quad(1)$
આપેલ વર્તુળો:
$C_1: x^2+y^2-2x-15=0$ $\quad\quad(2)$
$C_2: x^2+y^2-1=0$ $\quad\quad(3)$
વર્તુળ $(1)$ એ $(2)$ ને લંબ હોવાથી,$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ મળે.
$-2g = c-15$ $\quad\quad(4)$
વર્તુળ $(1)$ એ $(3)$ ને લંબ હોવાથી,$c=1$ મળે.
$(4)$ માં $c=1$ મૂકતા,$-2g = -14 \Rightarrow g=7$ મળે.
વર્તુળ $(0,1)$ માંથી પસાર થાય છે:
$1+2f+1=0 \Rightarrow f=-1$ મળે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+14x-2y+1=0$ છે.
કેન્દ્ર $(-7,1)$ અને ત્રિજ્યા $7$ છે.
તેથી,$(B)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g=-2$,$f=3$,અને $c=-12$ મળે છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C_1 = (-g, -f) = (2, -3)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{4+9+12} = 5$ છે.
વર્તુળ $S$ માટે જીવાની લંબાઈ $2r_1 = 10$ છે.
વર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર $C_2 = (-3, 2)$ છે. $C_2$ થી જીવા પરના લંબનું અંતર $d = \sqrt{(-3-2)^2 + (2-(-3))^2} = \sqrt{25+25} = 5\sqrt{2}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$R^2 = d^2 + (\text{જીવાની અડધી લંબાઈ})^2 = (5\sqrt{2})^2 + 5^2 = 50 + 25 = 75$.
તેથી,$R = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$.

(D) આપેલ વર્તુળ $2x^2+2y^2-8x-12y-9=0$ સાથે સમકેન્દ્રી વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x-6y+k=0$ સ્વરૂપમાં હોય.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(2, 3)$ છે.
આ વર્તુળ $x^2+y^2+8x+10y-7=0$ ના કેન્દ્ર $(-4, -5)$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(-4-2)^2 + (-5-3)^2} = 10$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 10^2$ થશે.
જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2-4x-6y-87=0$ મળે છે.

(D) આપેલ વર્તુળ $2x^2+2y^2-8x-12y-9=0$ સાથે સમકેન્દ્રી છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2-4x-6y-4.5=0$ થાય છે.
તેથી,જરૂરી વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x-6y+k=0$ સ્વરૂપમાં છે.
આ વર્તુળ $x^2+y^2+8x+10y-7=0$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
$x^2+y^2+8x+10y-7=0$ નું કેન્દ્ર $(-4, -5)$ છે.
$(-4, -5)$ ને $x^2+y^2-4x-6y+k=0$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(-4)^2+(-5)^2-4(-4)-6(-5)+k=0$
$16+25+16+30+k=0$
$87+k=0 \Rightarrow k=-87$.
તેથી,જરૂરી સમીકરણ $x^2+y^2-4x-6y-87=0$ છે.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2+2ax+c=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (-a, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{a^2-c}$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2by+c=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (0, -b)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{b^2-c}$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું થાય:
$d(C_1, C_2) = r_1 + r_2$
$\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{a^2-c} + \sqrt{b^2-c}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$a^2+b^2 = a^2-c + b^2-c + 2\sqrt{(a^2-c)(b^2-c)}$
$2c = 2\sqrt{(a^2-c)(b^2-c)}$
$c^2 = (a^2-c)(b^2-c)$
$c^2 = a^2b^2 - a^2c - b^2c + c^2$
$a^2b^2 = c(a^2+b^2)$
બંને બાજુ $a^2b^2c$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{1}{c}$

(A) બે વર્તુળો $x^{2}+y^{2}+2g_{1}x+2f_{1}y+c_{1}=0$ અને $x^{2}+y^{2}+2g_{2}x+2f_{2}y+c_{2}=0$ લંબરૂપે છેદે તેની શરત $2g_{1}g_{2}+2f_{1}f_{2}=c_{1}+c_{2}$ છે.
આપેલ વર્તુળો માટે:
વર્તુળ $1$: $g_{1}=1, f_{1}=k, c_{1}=6$.
વર્તુળ $2$: $g_{2}=0, f_{2}=k, c_{2}=k$.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$2(1)(0) + 2(k)(k) = 6 + k$
$0 + 2k^{2} = 6 + k$
$2k^{2} - k - 6 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(2k+3)(k-2) = 0$
તેથી,$k = 2$ અથવા $k = -3/2$.

(D) વર્તુળ $x^2+y^2-6x=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (3, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{3^2+0^2-0} = 3$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+6x+2y+1=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (-3, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-3)^2+(-1)^2-1} = \sqrt{9+1-1} = 3$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = C_1C_2 = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$ છે.
અહીં $r_1 + r_2 = 3 + 3 = 6$ અને $\sqrt{36} < \sqrt{37}$ હોવાથી,$d > r_1 + r_2$ મળે છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર ત્રિજ્યાઓના સરવાળા કરતા વધારે હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાની બહાર છે અને એકબીજાને સ્પર્શતા નથી.
તેથી,દોરી શકાય તેવા સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $4$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-4x-6y-12=0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C_1(2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $R = \sqrt{2^2+3^2-(-12)} = \sqrt{25} = 5$ છે.
ધારો કે માંગેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C_2(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
વર્તુળો બિંદુ $P(-1, -1)$ આગળ અંતઃસ્પર્શતા હોવાથી,$P$ એ $C_1C_2$ નું $R:r = 5:3$ ના ગુણોત્તરમાં બહિર્વિભાજન કરે છે.
વિભાજનના સૂત્ર મુજબ:
$-1 = \frac{5h - 3(2)}{5-3} \implies -2 = 5h - 6 \implies h = \frac{4}{5}$
$-1 = \frac{5k - 3(3)}{5-3} \implies -2 = 5k - 9 \implies k = \frac{7}{5}$
આમ,કેન્દ્ર $\left(\frac{4}{5}, \frac{7}{5}\right)$ છે.

(D) ધારો કે જરૂરી વર્તુળ $S: x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ છે.
વર્તુળ $x^{2}+y^{2}+2g_{i}x+2f_{i}y+c_{i}=0$ માટે,લંબછેદી હોવાની શરત $2gg_{i}+2ff_{i}=c+c_{i}$ છે.
આપેલ વર્તુળો માટે:
$S_{1}: x^{2}+y^{2}+6x+0y-1=0 \implies 6g=c-1$ $(i)$
$S_{2}: x^{2}+y^{2}+0x-3y+2=0 \implies -3f=c+2$ (ii)
$S_{3}: x^{2}+y^{2}+x+y-3=0 \implies g+f=c-3$ (iii)
$(i)$ અને (ii) પરથી: $6g+3f=-3 \implies 2g+f=-1$ (iv)
$(i)$ અને (iii) પરથી: $5g-f=2$ $(v)$
(iv) અને $(v)$ નો સરવાળો કરતા: $7g=1 \implies g=1/7$.
$g$ ની કિંમત (iv) માં મૂકતા: $f=-9/7$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-1/7, 9/7)$ છે.

(C) ધારો કે માંગેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ છે.
બે વર્તુળો $x^{2}+y^{2}+2g_{1}x+2f_{1}y+c_{1}=0$ અને $x^{2}+y^{2}+2g_{2}x+2f_{2}y+c_{2}=0$ લંબછેદી હોય તો $2g_{1}g_{2}+2f_{1}f_{2}=c_{1}+c_{2}$ થાય.
આપેલ વર્તુળો માટે શરતો નીચે મુજબ છે:
$1) -g-f = c-14 \implies -g-f-c = -14$
$2) 3g-5f = c-10 \implies 3g-5f-c = -10$
$3) -2g+3f = c-27 \implies -2g+3f-c = -27$
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા: $4g-4f = 4 \implies g-f = 1 \implies g = f+1$.
$(3)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા: $-g+4f = -13$.
$g = f+1$ મુકતા: $-(f+1)+4f = -13 \implies 3f = -12 \implies f = -4$.
તેથી $g = -4+1 = -3$.
$(1)$ પરથી: $-(-3)-(-4) = c-14 \implies 3+4 = c-14 \implies c = 21$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-6x-8y+21=0$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c} = \sqrt{(-3)^{2}+(-4)^{2}-21} = \sqrt{9+16-21} = \sqrt{4} = 2$.
વ્યાસ $2r = 2 \times 2 = 4$ થાય.

(C) ત્રણ વર્તુળોનું રેડિકલ કેન્દ્ર ત્યારે જ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જો તેમની રેડિકલ ધરીઓ સમાંતર ન હોય.
પ્રથમ,$S_{1}$ અને $S_{2}$ ની રેડિકલ ધરી $S_{1} - S_{2} = 0$ દ્વારા મેળવો:
$-4x - 2y + 1 = 0 \Rightarrow 4x + 2y - 1 = 0$.
ત્યારબાદ,$S_{2}$ અને $S_{3}$ ની રેડિકલ ધરી $S_{2} - S_{3} = 0$ દ્વારા મેળવો:
$-(2+2k)x - 6y + 2 = 0 \Rightarrow (2+2k)x + 6y - 2 = 0$.
જો આ બે રેખાઓ સમાંતર હોય તો રેડિકલ કેન્દ્ર અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.
બે રેખાઓ $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ અને $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ સમાંતર હોય જો $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}}$ હોય.
તેથી,$\frac{4}{2+2k} = \frac{2}{6}$.
$24 = 4 + 4k$ $\Rightarrow 20 = 4k$ $\Rightarrow k = 5$.
આમ,જો $k = 5$ હોય,તો રેખાઓ સમાંતર છે અને રેડિકલ કેન્દ્ર અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.
તેથી,$k$ ની કિંમત $5$ ન હોઈ શકે.

(A) આપેલ વર્તુળો $x^{2}+y^{2}=9$ અને $x^{2}+y^{2}+2 \alpha x+2 y+1=0$ ના કેન્દ્રો અને ત્રિજ્યાઓ $C_{1}(0,0), r_{1}=3$ અને $C_{2}(-\alpha, -1), r_{2}=\sqrt{(-\alpha)^{2}+(-1)^{2}-1} = |\alpha|$ છે.
બે વર્તુળો આંતરિક રીતે સ્પર્શતા હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના તફાવત જેટલું હોય છે:
$C_{1}C_{2} = |r_{1} - r_{2}|$
$\sqrt{(-\alpha - 0)^{2} + (-1 - 0)^{2}} = |3 - |\alpha||$
$\sqrt{\alpha^{2} + 1} = |3 - |\alpha||$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\alpha^{2} + 1 = (3 - |\alpha|)^{2}$
$\alpha^{2} + 1 = 9 - 6|\alpha| + \alpha^{2}$
$6|\alpha| = 8$
$|\alpha| = \frac{4}{3}$
$\alpha = \pm \frac{4}{3}$

(D) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$2 x^{2}+2 y^{2}+4 x+5 y+1=0 \Rightarrow x^{2}+y^{2}+2 x+\frac{5}{2} y+\frac{1}{2}=0 \quad \dots (i)$
$3 x^{2}+3 y^{2}+6 x-7 y+3 k=0 \Rightarrow x^{2}+y^{2}+2 x-\frac{7}{3} y+k=0 \quad \dots (ii)$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0$ સાથે સરખાવતા:
$(i)$ માટે: $g_{1}=1, f_{1}=\frac{5}{4}, c_{1}=\frac{1}{2}$
$(ii)$ માટે: $g_{2}=1, f_{2}=-\frac{7}{6}, c_{2}=k$
બે વર્તુળો લંબકોણીય હોવાની શરત $2 g_{1} g_{2}+2 f_{1} f_{2}=c_{1}+c_{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$2(1)(1)+2\left(\frac{5}{4}\right)\left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{1}{2}+k$
$2-\frac{35}{12}=\frac{1}{2}+k$
$\frac{24-35}{12}=\frac{1}{2}+k$
$-\frac{11}{12}=\frac{1}{2}+k$
$k=-\frac{11}{12}-\frac{6}{12}=-\frac{17}{12}$

(B) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2+6x-8y-11=0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C_1 = (-3, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 - (-11)} = \sqrt{9+16+11} = \sqrt{36} = 6$ છે.
ધારો કે જરૂરી વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે,જેનું કેન્દ્ર $C_2 = (-g, -f)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$ છે.
વર્તુળો $(3,0)$ બિંદુએ બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,બિંદુ $(3,0)$ એ કેન્દ્રો $C_1(-3, 4)$ અને $C_2(-g, -f)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $r_1:r_2 = 6:3 = 2:1$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$3 = \frac{2(-g) + 1(-3)}{2+1}$ $\Rightarrow 3 = \frac{-2g-3}{3}$ $\Rightarrow 9 = -2g-3$ $\Rightarrow 2g = -12$ $\Rightarrow g = -6$.
$0 = \frac{2(-f) + 1(4)}{2+1}$ $\Rightarrow 0 = \frac{-2f+4}{3}$ $\Rightarrow 0 = -2f+4$ $\Rightarrow 2f = 4$ $\Rightarrow f = 2$.
બીજા વર્તુળની ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{g^2+f^2-c} = 3$ છે.
$g=-6$ અને $f=2$ મૂકતા: $\sqrt{(-6)^2 + 2^2 - c} = 3$ $\Rightarrow 36+4-c = 9$ $\Rightarrow 40-c = 9$ $\Rightarrow c = 31$.
અંતે,$3g-4f+c = 3(-6) - 4(2) + 31 = -18 - 8 + 31 = 5$.

(A) બે વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{r_1^2+r_2^2-d^2}{2 r_1 r_2}$ છે.
$(A)$ $(x-2)^2+y^2=2$ $(r_1=\sqrt{2}, c_1=(2,0))$ અને $(x-2)^2+(y-1)^2=1$ $(r_2=1, c_2=(2,1))$.
$d^2 = (2-2)^2 + (1-0)^2 = 1$.
$\cos \theta = \frac{2+1-1}{2 \times \sqrt{2} \times 1} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\theta = 45^{\circ}$ અથવા $135^{\circ}$. તેથી,$(A)$ એ $II$ સાથે જોડાય છે.
$(B)$ $x^2+y^2-6x-6y+9=0$ $(r_1=\sqrt{3^2+3^2-9}=3, c_1=(3,3))$ અને $x^2+y^2-4x+4y-9=0$ $(r_2=\sqrt{2^2+(-2)^2-(-9)}=\sqrt{17}, c_2=(2,-2))$.
$d^2 = (3-2)^2 + (3-(-2))^2 = 1^2 + 5^2 = 26$.
$\cos \theta = \frac{9+17-26}{2 \times 3 \times \sqrt{17}} = 0$.
$\theta = 90^{\circ}$. તેથી,$(B)$ એ $I$ સાથે જોડાય છે.
$(C)$ $x^2+y^2+4x-14y+28=0$ $(r_1=\sqrt{(-2)^2+7^2-28}=5, c_1=(-2,7))$ અને $x^2+y^2+4x-5=0$ $(r_2=\sqrt{(-2)^2+0^2-(-5)}=3, c_2=(-2,0))$.
$d^2 = (-2-(-2))^2 + (7-0)^2 = 49$.
$\cos \theta = \frac{25+9-49}{2 \times 5 \times 3} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$.
$\theta = 120^{\circ}$ અથવા $60^{\circ}$. તેથી,$(C)$ એ $III$ સાથે જોડાય છે.
આમ,સાચી જોડણી $A-II, B-I, C-III$ છે.

(C) ધારો કે જરૂરી વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે.
ભૂમિતિ પરથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $x$-અક્ષ પર $(h, 0)$ પર આવેલું છે.
રેખાઓ $x+y=2$ અને $x-y=2$ એ $P(2, 0)$ પર છેદે છે.
કેન્દ્ર $(h, 0)$ થી રેખા $x+y-2=0$ નું અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું છે.
$\frac{|h+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = r \Rightarrow \frac{|h-2|}{\sqrt{2}} = r$.
વર્તુળ $P(2, 0)$ ની ડાબી બાજુએ હોવાથી,$h < 2$,તેથી $\frac{2-h}{\sqrt{2}} = r \Rightarrow h = 2 - r\sqrt{2}$.
વળી,વર્તુળ $x^2+y^2=1$ ને બહારથી સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $r_1+r_2$ થાય.
$(h, 0)$ અને $(0, 0)$ વચ્ચેનું અંતર $h = 1+r$ છે.
$h$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$1+r = 2 - r\sqrt{2}$
$r(1+\sqrt{2}) = 1$
$r = \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \sqrt{2}-1$.
તેથી $h = 1 + (\sqrt{2}-1) = \sqrt{2}$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-\sqrt{2})^2 + y^2 = r^2 = (\sqrt{2}-1)^2 = 3-2\sqrt{2}$ છે.

(D) વર્તુળ $S_1 \equiv x^2+y^2-14x+6y+33=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (7, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 5$ છે.
વર્તુળ $S_2 \equiv x^2+y^2+30x-2y+1=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (-15, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 15$ છે.
આંતરિક સમાનતાનું કેન્દ્ર $A$ એ $C_1C_2$ ને $r_1:r_2 = 1:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
$A = \left(\frac{3}{2}, -2\right)$.
બાહ્ય સમાનતાનું કેન્દ્ર $B$ એ $C_1C_2$ ને $1:3$ ના ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજિત કરે છે.
$B = (18, -5)$.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{39}{4}, \frac{-7}{2}\right)$ છે.

(D) ધારો કે વર્તુળો $S=0$ અને $S'=0$ ના કેન્દ્રો અનુક્રમે $C$ અને $C'$ છે.
$S \equiv x^2+y^2-6x+2ky+1=0$ માટે,કેન્દ્ર $C = (3, -k)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{3^2+(-k)^2-1} = \sqrt{8+k^2}$.
$S' \equiv x^2+y^2+2kx-6y-7=0$ માટે,કેન્દ્ર $C' = (-k, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r' = \sqrt{(-k)^2+3^2-(-7)} = \sqrt{k^2+16}$.
$S=0$ ને $P$ આગળનો સ્પર્શક $C'$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $CP \perp C'P$. તેવી જ રીતે,$S'=0$ ને $P$ આગળનો સ્પર્શક $C$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $C'P \perp CP$.
આમ,$\triangle CPC'$ એ $P$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે,જ્યાં $CP = r$ અને $C'P = r'$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$CP^2 + C'P^2 = CC'^2$.
$r^2 + r'^2 = (3 - (-k))^2 + (-k - 3)^2$.
$(8+k^2) + (k^2+16) = (3+k)^2 + (-(k+3))^2$.
$2k^2 + 24 = 2(k+3)^2 = 2(k^2+6k+9) = 2k^2+12k+18$.
$24 = 12k + 18$ $\Rightarrow 12k = 6$ $\Rightarrow k = \frac{1}{2}$.
$S'=0$ ની ત્રિજ્યા $r' = \sqrt{k^2+16} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2+16} = \sqrt{\frac{1}{4}+16} = \sqrt{\frac{65}{4}} = \frac{\sqrt{65}}{2}$.

(D) વર્તુળ $C_1: x^2+y^2+2 \alpha x+c=0$ નું કેન્દ્ર $O_1(-\alpha, 0)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{\alpha^2-c}$ છે.
વર્તુળ $C_2: x^2+y^2+2 \beta x+c=0$ નું કેન્દ્ર $O_2(-\beta, 0)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{\beta^2-c}$ છે.
$C_1$ એ $C_2$ ની અંદર સંપૂર્ણપણે રહે તે માટે,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = |O_1O_2| = |\beta - \alpha|$ એ $d + r_1 < r_2$ શરતનું પાલન કરવું જોઈએ.
આ શરતોના આધારે,સાચો વિકલ્પ $\alpha \beta > 0$ છે.

(D) વર્તુળ $S = 0$ અને રેખા $L = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S + \lambda L = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$S = x^2 + y^2 - a^2 = 0$ અને $L = x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$.
તેથી,વર્તુળનું સમીકરણ $(x^2 + y^2 - a^2) + \lambda(x \cos \alpha + y \sin \alpha - p) = 0$ છે.
$AB$ વ્યાસ હોવાથી,આ વર્તુળનું કેન્દ્ર રેખા $L = 0$ પર હોવું જોઈએ.
વર્તુળ $(x^2 + y^2 + \lambda x \cos \alpha + \lambda y \sin \alpha - a^2 - \lambda p) = 0$ નું કેન્દ્ર $(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}, -\frac{\lambda \sin \alpha}{2})$ છે.
આને $x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ માં મૂકતા:
$(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}) \cos \alpha + (-\frac{\lambda \sin \alpha}{2}) \sin \alpha - p = 0$
$-\frac{\lambda}{2}(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = p$
$-\frac{\lambda}{2} = p \Rightarrow \lambda = -2p$.
$\lambda = -2p$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2 + y^2 - a^2 - 2p(x \cos \alpha + y \sin \alpha - p) = 0$.

(C) ધારો કે $S_1 = x^2+y^2-8x-6y+21=0$ અને $S_2 = x^2+y^2-2x-15=0$.
વર્તુળોના સમૂહના સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(x^2+y^2-8x-6y+21) + \lambda(x^2+y^2-2x-15) = 0$.
આ વર્તુળ $(1, 2)$ બિંદુમાંથી પસાર થતું હોવાથી,$x=1$ અને $y=2$ મૂકતા:
$(1^2+2^2-8(1)-6(2)+21) + \lambda(1^2+2^2-2(1)-15) = 0$.
$6 + \lambda(-12) = 0$.
$\lambda = \frac{1}{2}$.
$\lambda = \frac{1}{2}$ કિંમત મૂકતા:
$2(x^2+y^2-8x-6y+21) + (x^2+y^2-2x-15) = 0$.
$3x^2+3y^2-18x-12y+27 = 0$.
$3(x^2+y^2)-18x-12y+27 = 0$.

(A) બે વર્તુળો $S_1=0$ અને $S_2=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $S_1: x^2+y^2-8x-6y+21=0$ અને $S_2: x^2+y^2-2x-15=0$ છે.
સમીકરણ: $(x^2+y^2-8x-6y+21) + \lambda(x^2+y^2-2x-15) = 0$.
આ વર્તુળ બિંદુ $(1,2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1$ અને $y=2$ મૂકતા:
$(1^2+2^2-8(1)-6(2)+21) + \lambda(1^2+2^2-2(1)-15) = 0$
$(1+4-8-12+21) + \lambda(5-2-15) = 0$
$6 + \lambda(-12) = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
$\lambda = \frac{1}{2}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x^2+y^2-8x-6y+21) + \frac{1}{2}(x^2+y^2-2x-15) = 0$
$2$ વડે ગુણતા:
$2(x^2+y^2-8x-6y+21) + (x^2+y^2-2x-15) = 0$
$3x^2+3y^2-18x-12y+27 = 0$
$3$ વડે ભાગતા:
$x^2+y^2-6x-4y+9 = 0$.