System of circles Questions in Gujarati

(B) આપેલ વર્તુળો $C_1: x^2+y^2=3$ અને $C_2: x^2+y^2-2x+4y+4=0$ છે.
$C_1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{3}$.
$C_2$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{1^2+(-2)^2-4} = \sqrt{1+4-4} = 1$.
બાહ્ય સમાનતાનું કેન્દ્ર એ કેન્દ્રોને જોડતા રેખાખંડનું $r_1 : r_2$ ગુણોત્તરમાં બાહ્ય વિભાજન કરે છે.
ધારો કે બાહ્ય કેન્દ્ર $(\alpha, \beta) = \left( \frac{r_1 x_2 - r_2 x_1}{r_1 - r_2}, \frac{r_1 y_2 - r_2 y_1}{r_1 - r_2} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\alpha = \frac{\sqrt{3}(1) - 1(0)}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$ અને $\beta = \frac{\sqrt{3}(-2) - 1(0)}{\sqrt{3}-1} = \frac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$.
તેથી,$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \div \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = -2$.

(C) પ્રથમ વર્તુળ $S_1: x^2+y^2-8x-8y+28=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (4, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{4^2+4^2-28} = 2$ છે.
બીજા વર્તુળ $S_2: x^2+y^2-8x-6y+25-\alpha^2=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (4, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{4^2+3^2-(25-\alpha^2)} = |\alpha|$ છે.
બે વર્તુળોને એક જ સામાન્ય સ્પર્શક હોય જો તેઓ એકબીજાને સ્પર્શતા હોય.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1 C_2 = \sqrt{(4-4)^2 + (4-3)^2} = 1$ છે.
આંતરિક સ્પર્શ માટે,$|r_1 - r_2| = C_1 C_2 \Rightarrow |2 - |\alpha|| = 1$.
આથી $|\alpha| = 1$ અથવા $|\alpha| = 3$ મળે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$\alpha = 1$ સાચો જવાબ છે.

(C) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$x^2+y^2-2x+4y+c=0$ ...$(i)$
$x^2+y^2+2x-4y+c=0$ ...(ii)
વર્તુળ $(i)$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{5-c}$.
વર્તુળ (ii) માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (-1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{5-c}$.
બે વર્તુળોને ચાર સામાન્ય સ્પર્શકો હોય જો તેઓ અલગ હોય,જેનો અર્થ છે કે તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા કરતા વધારે હોય: $d(C_1, C_2) > r_1 + r_2$.
કેન્દ્રો $C_1(1, -2)$ અને $C_2(-1, 2)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ છે.
તેથી,$2\sqrt{5} > 2\sqrt{5-c}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$5 > 5-c$,જેનો અર્થ છે $c > 0$.
વળી,ત્રિજ્યા વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે,$5-c > 0$,તેથી $c < 5$.
આમ,$0 < c < 5$.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-4y-20=0$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા: $(x-1)^2+(y-2)^2=25$.
કેન્દ્ર $C_1(1,2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1=5$ છે.
ધારો કે માંગેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C_2(h,k)$ અને ત્રિજ્યા $r_2=5$ છે.
વર્તુળો $P(5,5)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે,તેથી $P$ એ $C_1C_2$ રેખાખંડ પર આવેલું છે.
$r_1=r_2=5$ હોવાથી,$P$ એ $C_1C_2$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1+h}{2}=5 \Rightarrow h=9$ અને $\frac{2+k}{2}=5 \Rightarrow k=8$.
આમ,કેન્દ્ર $C_2(9,8)$ છે.
બીજા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-9)^2+(y-8)^2=5^2$ થશે.
વિસ્તરણ કરતા: $x^2-18x+81+y^2-16y+64=25$.
સાદું રૂપ આપતા: $x^2+y^2-18x-16y+120=0$.

(C) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$S_1: x^2+y^2+4x-6y-12=0$
$S_2: x^2+y^2-8x+10y+5=0$
$S_1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (-2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 - (-12)} = 5$.
$S_2$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (4, -5)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{4^2 + (-5)^2 - 5} = 6$.
કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર:
$C_1C_2 = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = 10$.
અહીં,$|r_1 - r_2| < C_1C_2 < r_1 + r_2$ એટલે કે $1 < 10 < 11$ છે.
તેથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
આમ,સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $2$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) રેખા $x-2=0$ અને વર્તુળ $x^2+y^2-8x-2y+8=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળોનું કુળ નીચે મુજબ છે:
$(x^2+y^2-8x-2y+8) + \lambda(x-2) = 0$
$x^2+y^2+(\lambda-8)x-2y+(8-2\lambda) = 0$ ... $(i)$
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-\frac{\lambda-8}{2}, 1)$ છે.
ન્યૂનતમ ત્રિજ્યા માટે,જીવા $AB$ એ વર્તુળનો વ્યાસ હોવો જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે વર્તુળનું કેન્દ્ર રેખા $x-2=0$ પર હોવું જોઈએ.
કેન્દ્રના x-યામને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$-\frac{\lambda-8}{2} = 2$
$-\lambda+8 = 4$
$\lambda = 4$
$\lambda=4$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$x^2+y^2+(4-8)x-2y+(8-2(4)) = 0$
$x^2+y^2-4x-2y=0$

(D) વર્તુળ $S: x^2+y^2-a^2=0$ અને રેખા $L: x \cos \alpha+y \sin \alpha-p=0$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા કોઈપણ વર્તુળનું સમીકરણ $S+\lambda L=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $x^2+y^2-a^2+\lambda(x \cos \alpha+y \sin \alpha-p)=0$ છે.
આને $x^2+\lambda x \cos \alpha+y^2+\lambda y \sin \alpha-(a^2+\lambda p)=0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}, -\frac{\lambda \sin \alpha}{2})$ છે.
વર્તુળ અને રેખાના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતું સૌથી નાનું વર્તુળ એ છે જેનો છેદતી જીવા વ્યાસ તરીકે હોય છે.
રેખા $x \cos \alpha+y \sin \alpha=p$ એ છેદતી જીવા છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર આ રેખા પર હોવું જોઈએ.
કેન્દ્રને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}) \cos \alpha + (-\frac{\lambda \sin \alpha}{2}) \sin \alpha = p$.
$-\frac{\lambda}{2} (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = p$.
$-\frac{\lambda}{2} = p$.
$\lambda = -2p$.

(D) બે વર્તુળો $S_1=0$ અને $S_2=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ $S_1 + kS_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x^2+y^2-2x+2y-2) + k(x^2+y^2+2x-2y+1) = 0$
$(1+k)x^2 + (1+k)y^2 + (2k-2)x + (2-2k)y + (k-2) = 0$
$(1+k)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $x^2 + y^2 + \frac{2(k-1)}{k+1}x + \frac{2(1-k)}{k+1}y + \frac{k-2}{k+1} = 0$.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $\left(-\frac{k-1}{k+1}, -\frac{1-k}{k+1}\right) = \left(\frac{1-k}{k+1}, \frac{k-1}{k+1}\right)$ છે.
કેન્દ્ર રેખા $x-y+6=0$ પર હોવાથી,આપણે યામ મૂકીએ:
$\frac{1-k}{k+1} - \frac{k-1}{k+1} + 6 = 0$
$\frac{1-k-k+1}{k+1} = -6 \Rightarrow 2-2k = -6k-6$
$4k = -8 \Rightarrow k = -2$.
$k=-2$ મૂકતા: $x^2+y^2+6x-6y+4=0$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{3^2+(-3)^2-4} = \sqrt{14}$.

(C) $S_1$ અને $S_2$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x^2 - 2x + y^2 - 4y - 4 + \lambda(x^2 + 2x + y^2 + 4y - 4) = 0$.
$(1 + \lambda)x^2 + (1 + \lambda)y^2 + 2(\lambda - 1)x + 4(\lambda - 1)y - 4(1 + \lambda) = 0$.
$(1 + \lambda)$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2 + y^2 + \frac{2(\lambda - 1)}{1 + \lambda}x + \frac{4(\lambda - 1)}{1 + \lambda}y - 4 = 0$ મળે છે.
તે $(3, 3)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$x = 3, y = 3$ મૂકતા:
$9 + 9 + \frac{6(\lambda - 1)}{1 + \lambda} + \frac{12(\lambda - 1)}{1 + \lambda} - 4 = 0$.
$14 + \frac{18(\lambda - 1)}{1 + \lambda} = 0 \Rightarrow 14(1 + \lambda) + 18(\lambda - 1) = 0$.
$14 + 14\lambda + 18\lambda - 18 = 0$ $\Rightarrow 32\lambda = 4$ $\Rightarrow \lambda = \frac{1}{8}$.
હવે,$\alpha = \frac{2(\frac{1}{8} - 1)}{1 + \frac{1}{8}} = -\frac{14}{9}$.
$\beta = \frac{4(\frac{1}{8} - 1)}{1 + \frac{1}{8}} = -\frac{28}{9}$.
$\gamma = -4$.
$3(\alpha + \beta + \gamma) = 3(-\frac{14}{9} - \frac{28}{9} - 4) = -26$.

(A) $S_1$ અને $S_2$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 + \lambda(S_2 - S_1) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ $S_1: x^2+y^2+kx-ky+1=0$ અને $S_2: x^2+y^2-kx+ky-2=0$.
$S_2 - S_1 = -2kx + 2ky - 3 = 0$.
તેથી,સમીકરણ $x^2+y^2+kx-ky+1 + \lambda(-2kx+2ky-3) = 0$ છે.
$x^2+y^2 + k(1-2\lambda)x - k(1-2\lambda)y + (1-3\lambda) = 0$.
આને આપેલ વર્તુળ $S: x^2+y^2-4x+4y-\frac{7}{2} = 0$ સાથે સરખાવતા:
$k(1-2\lambda) = -4$ અને $1-3\lambda = -\frac{7}{2}$.
$1-3\lambda = -\frac{7}{2}$ પરથી,$3\lambda = \frac{9}{2} \Rightarrow \lambda = \frac{3}{2}$ મળે.
$\lambda = \frac{3}{2}$ ને $k(1-2\lambda) = -4$ માં મૂકતા:
$k(1-2(\frac{3}{2})) = -4$ $\Rightarrow k(1-3) = -4$ $\Rightarrow -2k = -4$ $\Rightarrow k = 2$.
બિંદુ $(k, k) = (2, 2)$ છે.
વર્તુળ $S$ એ $x^2+y^2-4x+4y-\frac{7}{2} = 0$ છે. કેન્દ્ર $C$ એ $(2, -2)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2^2+(-2)^2 - (-\frac{7}{2})} = \sqrt{4+4+\frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{23}{2}}$.
$(2, 2)$ માંથી $S$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S(2, 2)} = \sqrt{2^2+2^2-4(2)+4(2)-\frac{7}{2}} = \sqrt{4+4-8+8-\frac{7}{2}} = \sqrt{8-\frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ થાય.

(B) રેખા $x+y+2=0$ અને વર્તુળ $x^2+y^2+4x-4y-4=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+4x-4y-4+\lambda(x+y+2)=0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$x^2+y^2+(4+\lambda)x+(\lambda-4)y+(2\lambda-4)=0$ મળે.
આને $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$2g = 4+\lambda$,$2f = \lambda-4$,અને $c = 2\lambda-4$ મળે.
વર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર $(-g, -f) = \left(-\frac{4+\lambda}{2}, -\frac{\lambda-4}{2}\right)$ છે.
કેન્દ્ર $(-g, -f)$ નું રેખા $x+y+2=0$ થી અંતર $\sqrt{2}$ આપેલું છે.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\left|\frac{-g-f+2}{\sqrt{1^2+1^2}}\right| = \sqrt{2}$ મળે.
આથી $|-g-f+2| = 2$,એટલે કે $-g-f+2 = 2$ અથવા $-g-f+2 = -2$.
કિસ્સો $1$: $g+f = 0$. $g$ અને $f$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{4+\lambda}{2} + \frac{\lambda-4}{2} = 0 \Rightarrow \lambda = 0$.
જો $\lambda=0$ હોય,તો તે મૂળ વર્તુળ જ રહે,પરંતુ પ્રશ્નમાં $S$ અલગ વર્તુળ છે.
કિસ્સો $2$: $g+f = 4$. $g$ અને $f$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{4+\lambda}{2} + \frac{\lambda-4}{2} = 4 \Rightarrow \lambda = 4$.
$\lambda=4$ માટે,$g = 4$,$f = 0$,અને $c = 4$ મળે.
આમ,$g+f+c = 4+0+4 = 8$.

(A) ધારો કે માંગેલ વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 \dots(1)$ છે.
બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબછેદી હોય જો $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ હોય.
આ શરત વર્તુળ $(1)$ અને આપેલ વર્તુળો પર લાગુ પાડતા:
વર્તુળ $x^2+y^2-2x+3y-7=0$ માટે: $2g(-1)+2f(3/2)=c-7 \Rightarrow -2g+3f-c=-7 \dots(2)$.
વર્તુળ $x^2+y^2+5x-5y+9=0$ માટે: $2g(5/2)+2f(-5/2)=c+9 \Rightarrow 5g-5f-c=9 \dots(3)$.
વર્તુળ $x^2+y^2+7x-9y+29=0$ માટે: $2g(7/2)+2f(-9/2)=c+29 \Rightarrow 7g-9f-c=29 \dots(4)$.
સમીકરણ $(3)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $(5g-5f-c) - (-2g+3f-c) = 9 - (-7) \Rightarrow 7g-8f=16 \dots(5)$.
સમીકરણ $(4)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતા: $(7g-9f-c) - (5g-5f-c) = 29 - 9$ $\Rightarrow 2g-4f=20$ $\Rightarrow g-2f=10$ $\Rightarrow g=2f+10$.
$g$ ની કિંમત $(5)$ માં મૂકતા: $7(2f+10)-8f=16$ $\Rightarrow 14f+70-8f=16$ $\Rightarrow 6f=-54$ $\Rightarrow f=-9$.
તેથી $g=2(-9)+10=-8$.
$(2)$ પરથી: $-2(-8)+3(-9)-c=-7$ $\Rightarrow 16-27-c=-7$ $\Rightarrow -11-c=-7$ $\Rightarrow c=-4$.
$g, f, c$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા: $x^2+y^2-16x-18y-4=0$.

(C) વર્તુળોના પરિવારનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-8-\lambda(2y)=0$ છે.
આ $S+\lambda L=0$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $S=x^2+y^2-2x-8=0$ અને $L=2y=0$ છે.
નિશ્ચિત બિંદુઓ $A$ અને $B$ એ વર્તુળ $S=0$ અને રેખા $L=0$ ના છેદબિંદુઓ છે.
$x^2+y^2-2x-8=0$ માં $y=0$ મૂકતા,આપણને $x^2-2x-8=0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x-4)(x+2)=0$,જે $x=4$ અને $x=-2$ આપે છે.
આમ,બિંદુઓ $A(4, 0)$ અને $B(-2, 0)$ છે.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $|4 - (-2)| = |6| = 6$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) વર્તુળોના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ છે.
$(x^2+y^2+4x+6y-12) + \lambda(x^2+y^2-6x-4y-12) = 0$
લંબચ્છેદવાની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\lambda$ ની કિંમત મળે છે.
અંતિમ સમીકરણ $x^2+y^2+6x+8y-12=0$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળ $S: x^2+y^2+y-1=0$ અને રેખા $L: x-y+1=0$ છે.
$S$ અને $L$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળના કુળનું સમીકરણ $S+\lambda L=0$ છે.
$(x^2+y^2+y-1)+\lambda(x-y+1)=0$
$x^2+y^2+\lambda x+(1-\lambda)y+(\lambda-1)=0$.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-\frac{\lambda}{2}, \frac{\lambda-1}{2})$ છે.
$AB$ વ્યાસ હોવાથી,કેન્દ્ર રેખા $x-y+1=0$ પર હોવું જોઈએ.
$-\frac{\lambda}{2} - (\frac{\lambda-1}{2}) + 1 = 0$.
$-\lambda + 1 + 2 = 0 \Rightarrow \lambda = 3$.
$\lambda=3$ મૂકતા:
$(x^2+y^2+y-1)+3(x-y+1)=0$.
$x^2+y^2+3x-2y+2=0$.

(A) વર્તુળોની કોએક્સિયલ સિસ્ટમનું સમીકરણ $S_1 + \lambda(S_1 - S_2) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S_1 = x^2+y^2-4x-2y+5$ અને $S_2 = x^2+y^2-6x-4y-3$ છે.
પ્રથમ,રેડિકલ અક્ષ શોધો: $S_1 - S_2 = 2x + 2y + 8 = 0$,જે $x + y + 4 = 0$ માં સરળ બને છે.
વર્તુળોનું કુટુંબ $x^2+y^2-4x-2y+5 + \lambda(x+y+4) = 0$ છે.
આ વર્તુળોનું કેન્દ્ર $(-\frac{\lambda-4}{2}, -\frac{\lambda-2}{2})$ છે.
બિંદુ વર્તુળ માટે ત્રિજ્યા $r = 0$ હોય છે,તેથી $g^2 + f^2 - c = 0$.
$\lambda = 14$ માટે,કેન્દ્ર $(-5, -6)$ મળે છે.

(D) સૌ પ્રથમ,વર્તુળોના સમીકરણોને $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સ્વરૂપમાં પ્રમાણિત કરીએ:
$S \equiv x^2+y^2+4x+7=0$
$S^{\prime} \equiv x^2+y^2+\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}=0$
$S^{\prime \prime} \equiv x^2+y^2+y=0$
$S$ અને $S^{\prime \prime}$ ની રેડિકલ ધરી $S-S^{\prime \prime}=0$ છે,જે $4x-y+7=0$ આપે છે (સમીકરણ $1$).
$S^{\prime \prime}$ અને $S^{\prime}$ ની રેડિકલ ધરી $S^{\prime \prime}-S^{\prime}=0$ છે,જે $-\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}=0$ અથવા $x+y+3=0$ આપે છે (સમીકરણ $2$).
$4x-y+7=0$ અને $x+y+3=0$ ને ઉકેલતા:
બંનેનો સરવાળો કરતા: $5x+10=0 \implies x=-2$.
$x=-2$ ને $x+y+3=0$ માં મૂકતા: $-2+y+3=0 \implies y=-1$.
આમ,રેડિકલ કેન્દ્ર $P$ એ $(-2, -1)$ છે.
$P(\alpha, \beta)$ માંથી વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{\alpha^2+\beta^2+2g\alpha+2f\beta+c}$ છે.
$S^{\prime} \equiv x^2+y^2+\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}=0$ માટે,લંબાઈ $\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+\frac{3}{2}(-2)+\frac{5}{2}(-1)+\frac{9}{2}} = \sqrt{4+1-3-2.5+4.5} = \sqrt{4} = 2$.

(A) પ્રથમ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
બીજા વર્તુળનું સમીકરણ $2x^2+2y^2+3x+8y+2c=0$ છે,જેને $x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c=0$ તરીકે લખી શકાય.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા રેડિકલ ધરી $(2g-\frac{3}{2})x + (2f-4)y = 0$ મળે છે.
આ રેખા ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
ત્રીજું વર્તુળ $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ છે,જે $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ છે. તેનું કેન્દ્ર $(-1,-1)$ અને ત્રિજ્યા $1$ છે.
રેખા $(2g-\frac{3}{2})x + (2f-4)y = 0$ આ વર્તુળને સ્પર્શે છે જો $(-1,-1)$ થી રેખાનું લંબ અંતર $1$ હોય.
$\frac{|-(2g-\frac{3}{2})-(2f-4)|}{\sqrt{(2g-\frac{3}{2})^2+(2f-4)^2}} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(-2g+\frac{3}{2}-2f+4)^2 = (2g-\frac{3}{2})^2+(2f-4)^2$.
ધારો કે $A = 2g-\frac{3}{2}$ અને $B = 2f-4$. તો $(-A-B)^2 = A^2+B^2$,જેનો અર્થ છે $A^2+B^2+2AB = A^2+B^2$,તેથી $2AB=0$.
આમ,$A=0$ અથવા $B=0$.
$2g-\frac{3}{2}=0 \implies g=\frac{3}{4}$ અથવા $2f-4=0 \implies f=2$.

(C) આપેલ બે વર્તુળોના સમીકરણો:
$x^2+y^2+4x-5=0 \Rightarrow (x+2)^2+y^2=3^2$
$x^2+y^2-6y+8=0 \Rightarrow x^2+(y-3)^2=1$
તેથી,$C_1=(-2, 0), r_1=3$ અને $C_2=(0, 3), r_2=1$.
આંતરિક સમાનતાનું કેન્દ્ર $\left(\frac{r_2x_1+r_1x_2}{r_1+r_2}, \frac{r_2y_1+r_1y_2}{r_1+r_2}\right)$ દ્વારા મળે છે:
$(a, b) = \left(\frac{1(-2)+3(0)}{3+1}, \frac{1(0)+3(3)}{3+1}\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{9}{4}\right)$.
બાહ્ય સમાનતાનું કેન્દ્ર $\left(\frac{r_1x_2-r_2x_1}{r_1-r_2}, \frac{r_1y_2-r_2y_1}{r_1-r_2}\right)$ દ્વારા મળે છે:
$(c, d) = \left(\frac{3(0)-1(-2)}{3-1}, \frac{3(3)-1(0)}{3-1}\right) = \left(1, \frac{9}{2}\right)$.
હવે,$(a+d)(b+c) = \left(-\frac{1}{2} + \frac{9}{2}\right) \left(\frac{9}{4} + 1\right) = 4 \times \frac{13}{4} = 13$.

(C) ધારો કે વર્તુળોના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$S_1: x^2+y^2+2x+3y+1=0$
$S_2: x^2+y^2+x-y+3=0$
$S_3: x^2+y^2-3x+2y+5=0$
$S_1$ અને $S_2$ ની રેડિકલ ધરી $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2+2x+3y+1) - (x^2+y^2+x-y+3) = 0$
$x + 4y - 2 = 0 \quad \dots (i)$
$S_2$ અને $S_3$ ની રેડિકલ ધરી $S_2 - S_3 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2+x-y+3) - (x^2+y^2-3x+2y+5) = 0$
$4x - 3y - 2 = 0 \quad \dots (ii)$
સમીકરણો $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
$(i)$ પરથી,$x = 2 - 4y$. તેને $(ii)$ માં મૂકતા:
$4(2 - 4y) - 3y - 2 = 0$
$8 - 16y - 3y - 2 = 0$
$6 - 19y = 0 \Rightarrow y = \frac{6}{19}$
$y = \frac{6}{19}$ ને $x = 2 - 4y$ માં મૂકતા:
$x = 2 - 4\left(\frac{6}{19}\right) = 2 - \frac{24}{19} = \frac{14}{19}$
તેથી,રેડિકલ કેન્દ્ર $\left(\frac{14}{19}, \frac{6}{19}\right)$ છે.

(D) પ્રથમ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
બીજા વર્તુળના સમીકરણ $2x^2+2y^2+3x+8y+2c=0$ ને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c=0$ મળે છે.
રેડિકલ અક્ષ બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરવાથી મળે છે: $(2g-\frac{3}{2})x + (2f-4)y = 0$.
આ રેખા ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ ને $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ તરીકે લખી શકાય,જેનું કેન્દ્ર $(-1,-1)$ અને ત્રિજ્યા $r=1$ છે.
રેખા $Ax+By=0$ આ વર્તુળને સ્પર્શે તે માટે,કેન્દ્ર $(-1,-1)$ થી રેખાનું લંબ અંતર $1$ હોવું જોઈએ.
$\frac{|(2g-\frac{3}{2})(-1) + (2f-4)(-1)|}{\sqrt{(2g-\frac{3}{2})^2 + (2f-4)^2}} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(-(2g-\frac{3}{2}) - (2f-4))^2 = (2g-\frac{3}{2})^2 + (2f-4)^2$.
ધારો કે $A = 2g-\frac{3}{2}$ અને $B = 2f-4$. તો $(-A-B)^2 = A^2+B^2$,જે $2AB = 0$ માં પરિણમે છે.
આમ,$A=0$ અથવા $B=0$.
જો $A=0$,તો $2g-\frac{3}{2}=0 \Rightarrow g=\frac{3}{4}$.
જો $B=0$,તો $2f-4=0 \Rightarrow f=2$.

(B) ધારો કે પ્રથમ વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 \equiv x^2+y^2-36=0$ છે.
ધારો કે બીજા વર્તુળનું સમીકરણ $S_2 \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
બે વર્તુળો $S_1=0$ અને $S_2=0$ ની રેડિકલ ધરી $S_1-S_2=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$(x^2+y^2-36) - (x^2+y^2+2gx+2fy+c) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $-2gx-2fy-36-c=0$ થાય છે.
આપેલ રેડિકલ ધરી $x-4=0$ છે,જેને $x+0y-4=0$ તરીકે લખી શકાય.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$\frac{-2g}{1} = \frac{-2f}{0} = \frac{-36-c}{-4} = k$ મળે છે.
આનાથી $f=0$ અને $2g = -k$ મળે છે,તેથી $g = -k/2$. તેમજ $36+c = 4k$,તેથી $c = 4k-36$.
વર્તુળો લંબવર્તી હોવાથી,શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ છે.
અહીં $g_1=0, f_1=0, c_1=-36$ અને $g_2=g, f_2=f, c_2=c$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$2(0)(g) + 2(0)(f) = -36 + c$.
તેથી,$0 = -36 + c$,જેનો અર્થ છે કે $c = 36$.
$c = 4k-36$ પરથી,$36 = 4k-36$,તેથી $4k = 72$,જે $k = 18$ આપે છે.
તેથી $g = -k/2 = -18/2 = -9$.
બીજા વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (9, 0)$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળોના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$S_1: x^2+y^2-1=0$ ...$(i)$
$S_2: x^2+y^2-8x+15=0$ ...(ii)
$S_3: x^2+y^2+10y+24=0$ ...(iii)
$S_1$ અને $S_2$ ની રેડિકલ અક્ષ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2-1) - (x^2+y^2-8x+15) = 0$
$8x - 16 = 0 \Rightarrow x = 2$
$S_1$ અને $S_3$ ની રેડિકલ અક્ષ $S_1 - S_3 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2-1) - (x^2+y^2+10y+24) = 0$
$-10y - 25 = 0$ $\Rightarrow 10y = -25$ $\Rightarrow y = -\frac{5}{2}$
આમ,રેડિકલ કેન્દ્ર $\left(2, -\frac{5}{2}\right)$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળોના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$S_1: x^2+y^2+3x+2y+1=0$
$S_2: x^2+y^2-x+6y+5=0$
$S_3: x^2+y^2+5x-8y+15=0$
રેડિકલ કેન્દ્ર એ વર્તુળોની જોડીના રેડિકલ અક્ષોનું છેદબિંદુ છે.
$S_1$ અને $S_2$ નો રેડિકલ અક્ષ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2+3x+2y+1) - (x^2+y^2-x+6y+5) = 0$
$4x - 4y - 4 = 0$ $\Rightarrow x - y - 1 = 0$ $\Rightarrow x = y + 1$ (સમીકરણ $1$)
$S_2$ અને $S_3$ નો રેડિકલ અક્ષ $S_2 - S_3 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2-x+6y+5) - (x^2+y^2+5x-8y+15) = 0$
$-6x + 14y - 10 = 0 \Rightarrow 3x - 7y + 5 = 0$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ માંથી $x = y + 1$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$3(y + 1) - 7y + 5 = 0$
$3y + 3 - 7y + 5 = 0$
$-4y + 8 = 0 \Rightarrow y = 2$
$y = 2$ ની કિંમત $x = y + 1$ માં મૂકતા:
$x = 2 + 1 = 3$
આમ,રેડિકલ કેન્દ્ર $(3,2)$ છે.

(B) ત્રણ વર્તુળોની સાપેક્ષ સમાન પાવર ધરાવતું બિંદુ તેમનું રેડિકલ કેન્દ્ર છે.
રેડિકલ કેન્દ્ર શોધવા માટે,આપણે વર્તુળના સમીકરણોની બાદબાકી કરીને રેડિકલ અક્ષોના સમીકરણો મેળવીએ છીએ.
ધારો કે $S_1: x^2+y^2-8x+40=0$
$S_2: x^2+y^2-5x+16=0$
$S_3: x^2+y^2-8x+16y+160=0$
રેડિકલ અક્ષ $S_1 - S_2 = 0$:
$(-8x+5x) + (40-16) = 0 \implies -3x + 24 = 0 \implies x = 8$.
રેડિકલ અક્ષ $S_1 - S_3 = 0$:
$(-8x+8x) - 16y + (40-160) = 0 \implies -16y - 120 = 0 \implies 16y = -120 \implies y = -\frac{120}{16} = -\frac{15}{2}$.
રેડિકલ કેન્દ્ર આ અક્ષોનું છેદબિંદુ છે,જે $\left(8, -\frac{15}{2}\right)$ છે.

(C) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2+4x+6y+7=0$ અને $S_2: 4x^2+4y^2+8x+12y-9=0$ છે.
રેડિકલ અક્ષ શોધવા માટે,આપણે $S_2$ ને $4$ વડે ભાગીને પ્રમાણિત કરીએ:
$S_2: x^2+y^2+2x+3y-\frac{9}{4}=0$.
રેડિકલ અક્ષનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2+4x+6y+7) - (x^2+y^2+2x+3y-\frac{9}{4}) = 0$.
$(4x-2x) + (6y-3y) + (7 + \frac{9}{4}) = 0$.
$2x + 3y + \frac{37}{4} = 0$.
$4$ વડે ગુણતા,આપણને $8x + 12y + 37 = 0$ મળે છે.

(A) બે વર્તુળો $S_1=0$ અને $S_2=0$ ની રેડિકલ ધરી $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$ (x^2+y^2-4x+6y-10) - (x^2+y^2+2x-6y+2) = 0 $
$ -6x + 12y - 12 = 0 $
$ x - 2y + 2 = 0 $
આ રેડિકલ ધરીનું સમીકરણ છે.
$S_1$ સાથે છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે $x = 2y - 2$ ને $S_1$ માં મૂકીએ:
$ (2y-2)^2 + y^2 - 4(2y-2) + 6y - 10 = 0 $
$ 4y^2 - 8y + 4 + y^2 - 8y + 8 + 6y - 10 = 0 $
$ 5y^2 - 10y + 2 = 0 $
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4(5)(2) = 100 - 40 = 60$.
$D > 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણને $y$ માટે બે વાસ્તવિક અને ભિન્ન ઉકેલો મળે છે,જેનો અર્થ છે કે રેડિકલ ધરી વર્તુળ $S_1$ ને બે વાસ્તવિક અને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.

(A) બે વર્તુળો $S_1=0$ અને $S_2=0$ ની રેડિકલ અક્ષ $S_1-S_2=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L_1$ માટે: $(x^2+y^2-4x-6y+5) - (x^2+y^2-2x-4y-1) = 0$.
સાદું રૂપ આપતા,આપણને $-2x-2y+6=0$ મળે છે,જે $x+y-3=0$ છે.
$L_2$ માટે: $(x^2+y^2+2x+2y-7) - (x^2+y^2+x+y+9) = 0$.
સાદું રૂપ આપતા,આપણને $x+y-16=0$ મળે છે.
$L_1$ અને $L_2$ ના ઢાળ બંને $m = -1$ છે.
ઢાળ સમાન હોવાથી,$L_1$ એ $L_2$ ને સમાંતર છે.

(B) $S$ અને $S'$ ની રેડિકલ ધરી $S - S' = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2 + y^2 + 2x + 17y + 4) - (x^2 + y^2 + 7x + 6y + 11) = 0$
$-5x + 11y - 7 = 0 \implies 5x - 11y + 7 = 0$ ...$(i)$
$S'$ અને $S''$ ની રેડિકલ ધરી $S' - S'' = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2 + y^2 + 7x + 6y + 11) - (x^2 + y^2 - x + 22y + 3) = 0$
$8x - 16y + 8 = 0 \implies x - 2y + 1 = 0$ ...(ii)
સમીકરણો $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા:
(ii) પરથી,$x = 2y - 1$. $(i)$ માં મૂકતા:
$5(2y - 1) - 11y + 7 = 0
10y - 5 - 11y + 7 = 0
-y + 2 = 0 \implies y = 2$.
તેથી $x = 2(2) - 1 = 3$.
રેડિકલ કેન્દ્ર $(3, 2)$ છે.
$(3, 2)$ થી $S = 0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S(3, 2)}$ છે:
$\sqrt{3^2 + 2^2 + 2(3) + 17(2) + 4} = \sqrt{9 + 4 + 6 + 34 + 4} = \sqrt{57}$.

(D) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$S_1: x^2+y^2-4x-6y+5=0$
$S_2: x^2+y^2-2x-4y-1=0$
$S_3: x^2+y^2-6x-2y=0$
$S_1$ અને $S_2$ ની રેડિકલ ધરી $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$-2x - 2y + 6 = 0 \Rightarrow x+y=3$ ... $(i)$
$S_2$ અને $S_3$ ની રેડિકલ ધરી $S_2 - S_3 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$4x - 2y - 1 = 0$ ... (ii)
રેડિકલ સેન્ટર મેળવવા માટે,સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ઉકેલો:
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$y = 3 - x$. તેને (ii) માં મૂકતા:
$4x - 2(3 - x) - 1 = 0$
$6x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{6}$
$x = \frac{7}{6}$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$y = 3 - \frac{7}{6} = \frac{11}{6}$
આમ,રેડિકલ સેન્ટર $\left(\frac{7}{6}, \frac{11}{6}\right)$ છે.

(B) ધારો કે $(a, 0)$ કેન્દ્ર અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-a)^2 + y^2 = r^2$ છે,જે $S_1 \equiv x^2 + y^2 - 2ax + a^2 - r^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $(b, 0)$ કેન્દ્ર અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-b)^2 + y^2 = R^2$ છે,જે $S_2 \equiv x^2 + y^2 - 2bx + b^2 - R^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
બે વર્તુળોની રેડિકલ ધરી $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
સમીકરણો મૂકતા,આપણને $(x^2 + y^2 - 2ax + a^2 - r^2) - (x^2 + y^2 - 2bx + b^2 - R^2) = 0$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $2(b-a)x + a^2 - b^2 - r^2 + R^2 = 0$ થાય છે.
રેડિકલ ધરી $y$-અક્ષ હોવાથી,તેનું સમીકરણ $x = 0$ હોવું જોઈએ.
સમીકરણ $2(b-a)x + (a^2 - b^2 - r^2 + R^2) = 0$ એ $x = 0$ દર્શાવે તે માટે અચળ પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,$a^2 - b^2 - r^2 + R^2 = 0$.
$R$ માટે ઉકેલતા,$R^2 = r^2 + b^2 - a^2$,જેનો અર્થ છે કે $R = (r^2 + b^2 - a^2)^{1/2}$.

(B) બે વર્તુળો $S_1=0$ અને $S_2=0$ ની રેડિકલ અક્ષ $S_1-S_2=0$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે $S_1: x^2+y^2+5x+4y-5=0$ અને $S_2: x^2+y^2-3x+5y-6=0$.
$S_1$ માંથી $S_2$ બાદ કરતા:
$(x^2+y^2+5x+4y-5) - (x^2+y^2-3x+5y-6) = 0$
$(x^2-x^2) + (y^2-y^2) + (5x - (-3x)) + (4y - 5y) + (-5 - (-6)) = 0$
$8x - y + 1 = 0$.
આમ,રેડિકલ અક્ષ $8x-y+1=0$ છે.

(C) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો $x^2+y^2+\alpha_1(x-y)+c=0$ અને $x^2+y^2+\alpha_2(x-y)+c=0$ છે.
કેન્દ્રો $C_1 = (-\frac{\alpha_1}{2}, \frac{\alpha_1}{2})$ અને $C_2 = (-\frac{\alpha_2}{2}, \frac{\alpha_2}{2})$ છે.
ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \sqrt{\frac{\alpha_1^2}{2} - c}$ અને $r_2 = \sqrt{\frac{\alpha_2^2}{2} - c}$ છે.
એક વર્તુળ બીજાની અંદર હોય તે માટેની શરત $d(C_1, C_2) < |r_1 - r_2|$ છે.
આ શરતનું સાદુરૂપ આપતા $c > 0$ મળે છે.

(D) $A(1, 2)$ અને $B(-2, 1)$ સીમિત બિંદુઓ ધરાવતી વર્તુળોની સહ-અક્ષીય પ્રણાલીની રેડિકલ ધરી એ $AB$ રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક છે.
રેખાખંડ $AB$ નો ઢાળ: $m_{AB} = \frac{1 - 2}{-2 - 1} = \frac{1}{3}$.
લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $m_{\perp} = -3$ થશે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ છે.
રેડિકલ ધરીનું સમીકરણ: $y - \frac{3}{2} = -3(x + \frac{1}{2})$
$y - \frac{3}{2} = -3x - \frac{3}{2}$
$3x + y = 0$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) કોઈપણ બે વર્તુળોની રેડિકલ ધરી તેમના કેન્દ્રોને જોડતી રેખાને લંબ હોય છે।
ધારો કે બે વર્તુળોના સમીકરણો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ છે।
રેડિકલ ધરીનું સમીકરણ $2(g_1-g_2)x + 2(f_1-f_2)y + (c_1-c_2) = 0$ છે।
આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -\frac{g_1-g_2}{f_1-f_2}$ છે।
કેન્દ્રોને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m_2 = \frac{f_1-f_2}{g_1-g_2}$ છે।
અહીં $m_1 \times m_2 = -1$ હોવાથી,રેડિકલ ધરી કેન્દ્રોને જોડતી રેખાને લંબ છે।
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે।

(A) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-8x-10y-8=0$ અને $S_2: x^2+y^2+2x-2y-2=0$ છે.
$S_1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (4, 5)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{16+25+8} = 7$.
$S_2$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (-1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{1+1+2} = 2$.
બાહ્ય સમાનતા કેન્દ્ર $Q$ એ $C_1$ અને $C_2$ ને જોડતા રેખાખંડનું $r_1 : r_2$ ગુણોત્તરમાં બાહ્ય વિભાજન કરે છે.
$Q = \left( \frac{7(-1) - 2(4)}{7-2}, \frac{7(1) - 2(5)}{7-2} \right) = \left( -3, -\frac{3}{5} \right)$.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી $Q$ નું અંતર $D = \sqrt{(-3)^2 + (-3/5)^2} = \sqrt{9 + 9/25} = \frac{3\sqrt{26}}{5}$.

(B) વર્તુળ $S_1 \equiv x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ એ વર્તુળ $S_2 \equiv x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ ના પરિઘને દુભાગે તેની શરત એ છે કે બંને વર્તુળોની સામાન્ય જીવા એ જે વર્તુળ દુભાગાય છે તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થવી જોઈએ.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ છે.
આપેલ છે $S_1 \equiv x^2+y^2+2gx+4y+1=0$ અને $S_2 \equiv x^2+y^2-2x-3=0$.
સામાન્ય જીવા $(2g+2)x + 4y + 4 = 0$ છે.
વર્તુળ $S_2$ નું કેન્દ્ર $(1, 0)$ છે.
સામાન્ય જીવા $(1, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$x=1$ અને $y=0$ મૂકતા: $(2g+2)(1) + 4(0) + 4 = 0$.
$2g + 6 = 0 \implies g = -3$.
વર્તુળ $S$ એ $x^2+y^2-6x+4y+1=0$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-3)^2 + (2)^2 - 1} = \sqrt{9 + 4 - 1} = \sqrt{12}$.

(C) વર્તુળ $S \equiv x^2+y^2=16$ નું કેન્દ્ર $C_1(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1=4$ છે.
સામાન્ય જીવા મહત્તમ લંબાઈની હોવા માટે,તે વર્તુળ $S$ નો વ્યાસ હોવો જોઈએ. તેથી,સામાન્ય જીવા $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
સામાન્ય જીવાનો ઢાળ $m = \frac{3}{4}$ છે. જીવા ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $3x - 4y = 0$ છે.
વર્તુળ $S^{\prime}$ નું કેન્દ્ર $C_2(h, k)$ એ સામાન્ય જીવાને લંબ રેખા પર હોવું જોઈએ જે $S$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
કેન્દ્રોને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m_{\perp} = -\frac{4}{3}$ છે. રેખાનું સમીકરણ $4x + 3y = 0$ છે.
$C_2$ થી જીવાનું અંતર $d = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$ છે.
$|3h - 4k| = 15$ અને $k = -\frac{4}{3}h$ નો ઉપયોગ કરતા,$|h| = \frac{9}{5}$ મળે છે.
તેથી કેન્દ્ર $\left(-\frac{9}{5}, \frac{12}{5}\right)$ મળે છે.

(D) બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબકોણીય હોવાની શરત $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ છે.
પ્રથમ,સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ માં લખો.
પ્રથમ વર્તુળ માટે: $x^2+y^2-2\lambda x-2y-7=0$,આપણી પાસે $g_1=-\lambda, f_1=-1, c_1=-7$ છે.
બીજા વર્તુળ માટે: $3(x^2+y^2)-8x+29y=0$,$3$ વડે ભાગતા $x^2+y^2-\frac{8}{3}x+\frac{29}{3}y=0$ મળે. તેથી,$g_2=-\frac{4}{3}, f_2=\frac{29}{6}, c_2=0$.
શરત $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ લાગુ પાડતા:
$2(-\lambda)(-\frac{4}{3}) + 2(-1)(\frac{29}{6}) = -7 + 0$
$\frac{8\lambda}{3} - \frac{29}{3} = -7$
$3$ વડે ગુણતા: $8\lambda - 29 = -21$
$8\lambda = 8$
$\lambda = 1$.

(C) વર્તુળો $S_1: x^2+y^2+2x+4y+1=0$ અને $S_2: x^2+y^2-2x-4y-4=0$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ છે.
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + (2-2\lambda)x + (4-4\lambda)y + (1-4\lambda) = 0$.
$(1+\lambda)$ વડે ભાગતા,$x^2+y^2 + \frac{2(1-\lambda)}{1+\lambda}x + \frac{4(1-\lambda)}{1+\lambda}y + \frac{1-4\lambda}{1+\lambda} = 0$.
આ વર્તુળ $x^2+y^2-6=0$ ને લંબચ્છેદી રીતે છેદે છે. લંબચ્છેદી હોવાની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ છે.
અહીં $g_1 = \frac{1-\lambda}{1+\lambda}, f_1 = \frac{2(1-\lambda)}{1+\lambda}, c_1 = \frac{1-4\lambda}{1+\lambda}$ અને $g_2=0, f_2=0, c_2=-6$.
કિંમતો મૂકતા,$0 = \frac{1-4\lambda}{1+\lambda} - 6 \implies 1-4\lambda-6-6\lambda = 0 \implies \lambda = -1/2$.
$\lambda = -1/2$ મૂકતા,$x^2+y^2+6x+12y+6=0$ મળે છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{3^2+6^2-6} = \sqrt{9+36-6} = \sqrt{39}$.

(D) ધારો કે માંગેલ વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબચ્છેદી હોય તો $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ થાય.
આપેલ વર્તુળો છે:
$C_1: x^2+y^2-2x-2y+\frac{7}{4}=0$
$C_2: x^2+y^2+2x-2y+\frac{7}{4}=0$
$C_3: x^2+y^2+2x+2y+\frac{7}{4}=0$
$C_1$ માટે લંબચ્છેદની શરત લાગુ પાડતા: $2g(-1)+2f(-1)=c+\frac{7}{4} \implies -2g-2f=c+\frac{7}{4}$
$C_2$ માટે: $2g(1)+2f(-1)=c+\frac{7}{4} \implies 2g-2f=c+\frac{7}{4}$
$C_3$ માટે: $2g(1)+2f(1)=c+\frac{7}{4} \implies 2g+2f=c+\frac{7}{4}$
આને ઉકેલતા,આપણને $g=0, f=0$ અને $c=-\frac{7}{4}$ મળે છે.
આમ,સમીકરણ $x^2+y^2-\frac{7}{4}=0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $4x^2+4y^2=7$ થાય છે.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $z\bar{z}+az+\bar{a}\bar{z}-4=0$ છે. કારણ કે $z\bar{z}=|z|^2=x^2+y^2$ અને $a=1+i$, તેથી $az=(1+i)(x+iy)=(x-y)+i(x+y)$.
આમ, $az+\bar{a}\bar{z}=2\operatorname{Re}(az)=2(x-y)$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2(x-y)-4=0$ બને છે, જે $S: x^2+y^2+2x-2y-4=0$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $(z+\bar{z})-i(z-\bar{z})+2=0$ છે. કારણ કે $z+\bar{z}=2x$ અને $z-\bar{z}=2iy$, તેથી $2x-i(2iy)+2=0$, જેનું સાદું રૂપ $2x+2y+2=0$ અથવા $L: x+y+1=0$ થાય છે.
$S$ અને $L$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $S+\lambda L=0$ છે, એટલે કે $(x^2+y^2+2x-2y-4)+\lambda(x+y+1)=0$.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી, આપણે સમીકરણમાં $x=0, y=0$ મૂકીએ છીએ: $-4+\lambda(1)=0$, જે $\lambda=4$ આપે છે.
$\lambda=4$ ને સમૂહના સમીકરણમાં પાછું મૂકતા: $x^2+y^2+2x-2y-4+4(x+y+1)=0$.
સાદું રૂપ આપતા, આપણને $x^2+y^2+6x+2y=0$ મળે છે.

(D) વર્તુળ $S_1: x^2+y^2-2x+4y+1=0$ માટે,કેન્દ્ર $O_1 = (1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 2$ છે.
વર્તુળ $S_2: x^2+y^2+4x-6y+12=0$ માટે,કેન્દ્ર $O_2 = (-2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 1$ છે.
બાહ્ય સમાનતાનું કેન્દ્ર $C_1$ એ $O_1O_2$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં બાહ્ય વિભાજન કરે છે.
$C_1 = (-5, 8)$.
આંતરિક સમાનતાનું કેન્દ્ર $C_2$ એ $O_1O_2$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં આંતરિક વિભાજન કરે છે.
$C_2 = (-1, 4/3)$.
વ્યાસ $C_1C_2 = \sqrt{(-4)^2 + (20/3)^2} = \frac{4\sqrt{34}}{3}$.
વ્યાસ $2r = \frac{4\sqrt{34}}{3}$ હોવાથી,$r = \frac{2\sqrt{34}}{3}$.
તેથી,$\frac{9}{2}r = 3\sqrt{34}$.

(D) વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-2x-3=0$ અને $S_2: x^2+y^2-2y=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ છે.
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 - 2x - 2\lambda y - 3 = 0$.
કેન્દ્ર $C = (\frac{1}{1+\lambda}, \frac{\lambda}{1+\lambda})$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\frac{1+\lambda^2+3+3\lambda}{(1+\lambda)^2}}$ છે.
સ્પર્શક $x+y+1=0$ હોવાથી,કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર $r$ જેટલું થાય.
ગણતરી કરતા $\lambda=1$ અથવા $\lambda=-2$ મળે છે.
$\lambda=1$ માટે,$2x^2+2y^2-2x-2y-3=0$ મળે છે.

(D) વર્તુળ $x^2+y^2+2kx+4y-4=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (-k, -2)$ અને ત્રિજ્યા $R_1 = \sqrt{k^2+8}$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+6x-2y+6=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (-3, 1)$ અને ત્રિજ્યા $R_2 = 2$ છે.
બંને વર્તુળો એકબીજાને સ્પર્શતા હોવાથી,$C_1C_2 = R_1 + R_2$.
$\sqrt{(-3+k)^2 + (1+2)^2} = \sqrt{k^2+8} + 2$.
$\sqrt{k^2-6k+18} = \sqrt{k^2+8} + 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $k^2-6k+18 = k^2+8 + 4 + 4\sqrt{k^2+8}$.
$6-6k = 4\sqrt{k^2+8} \Rightarrow 3(1-k) = 2\sqrt{k^2+8}$.
ફરીથી વર્ગ કરતા: $9(1-2k+k^2) = 4(k^2+8) \Rightarrow 5k^2-18k-23 = 0$.
$(k+1)(5k-23) = 0$,તેથી $k = -1$ અથવા $k = \frac{23}{5}$.
કેન્દ્ર $(-k, -2)$ એ $4^{\text{th}}$ ચરણમાં હોવાથી,$-k > 0$ એટલે કે $k < 0$.
તેથી,$k = -1$.

(B) આપેલ વર્તુળોની સિસ્ટમ $x^2+y^2+2fy+\lambda(x^2+y^2+2gx+k)=0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $(1+\lambda)x^2+(1+\lambda)y^2+2g\lambda x+2fy+\lambda k=0$ મળે છે.
$(1+\lambda)$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2+y^2+2\left(\frac{g\lambda}{1+\lambda}\right)x+2\left(\frac{f}{1+\lambda}\right)y+\frac{\lambda k}{1+\lambda}=0$ મળે છે.
બિંદુ વર્તુળ માટે,ત્રિજ્યા $r=0$ હોવી જોઈએ,તેથી $g'^2+f'^2-c'=0$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\left(\frac{g\lambda}{1+\lambda}\right)^2+\left(\frac{f}{1+\lambda}\right)^2-\frac{\lambda k}{1+\lambda}=0$ મળે છે.
$(1+\lambda)^2$ વડે ગુણતા,આપણને $g^2\lambda^2+f^2-\lambda k(1+\lambda)=0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $(g^2-k)\lambda^2-k\lambda+f^2=0$ થાય છે.
ધારો કે બીજ $\lambda_1$ અને $\lambda_2$ છે. બિંદુ વર્તુળોના કેન્દ્રો $A\left(\frac{-g\lambda_1}{1+\lambda_1}, \frac{-f}{1+\lambda_1}\right)$ અને $B\left(\frac{-g\lambda_2}{1+\lambda_2}, \frac{-f}{1+\lambda_2}\right)$ છે.
કારણ કે $\angle AOB = \frac{\pi}{2}$,ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = -1$ થાય.
$m_1 = \frac{-f/(1+\lambda_1)}{-g\lambda_1/(1+\lambda_1)} = \frac{f}{g\lambda_1}$.
તેથી,$\left(\frac{f}{g\lambda_1}\right)\left(\frac{f}{g\lambda_2}\right) = -1$ $\Rightarrow \frac{f^2}{g^2\lambda_1\lambda_2} = -1$.
દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી,$\lambda_1\lambda_2 = \frac{f^2}{g^2-k}$.
આ કિંમત મૂકતા,$\frac{f^2}{g^2(f^2/(g^2-k))} = -1 \Rightarrow \frac{g^2-k}{g^2} = -1$.
$g^2-k = -g^2$ $\Rightarrow 2g^2 = k$ $\Rightarrow g^2 = \frac{k}{2}$.