System of circles Questions in Gujarati

(B) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$x^2 + y^2 = 2ax$ ... $(i)$
$x^2 + y^2 = 2by$ ... $(ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$2ax - 2by = 0 \implies ax = by \implies y = \frac{a}{b}x$
$y = \frac{a}{b}x$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$x^2 + \left( \frac{a}{b}x \right)^2 = 2ax$
$x^2 + \frac{a^2}{b^2}x^2 = 2ax$
$x^2 \left( \frac{a^2 + b^2}{b^2} \right) = 2ax$
$x \left[ x \left( \frac{a^2 + b^2}{b^2} \right) - 2a \right] = 0$
આથી $x = 0$ અથવા $x = \frac{2ab^2}{a^2 + b^2}$.
જો $x = 0$,તો $y = 0$.
જો $x = \frac{2ab^2}{a^2 + b^2}$,તો $y = \frac{2a^2b}{a^2 + b^2}$.
આમ,છેદબિંદુઓ $(0, 0)$ અને $\left( \frac{2ab^2}{a^2 + b^2}, \frac{2a^2b}{a^2 + b^2} \right)$ છે.

(B) બે વર્તુળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ ની રેડિકલ ધરીનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જો $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકો $1$ હોય.
આપેલ વર્તુળો:
$S_1: x^2 + y^2 + x - y + 2 = 0$
$S_2: 3x^2 + 3y^2 - 4x - 12 = 0$
$S_2$ ને $3$ વડે ભાગતા:
$S_2': x^2 + y^2 - \frac{4}{3}x - 4 = 0$
હવે,$S_1 - S_2' = 0$ શોધતા:
$(x^2 + y^2 + x - y + 2) - (x^2 + y^2 - \frac{4}{3}x - 4) = 0$
$\frac{7}{3}x - y + 6 = 0$
$3$ વડે ગુણતા:
$7x - 3y + 18 = 0$

(C) બે વર્તુળોના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળોનું કુળ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણો મૂકતા: $(x^2 + y^2 - 6x + 2y + 4) + \lambda(x^2 + y^2 + 2x - 4y - 6) = 0$.
કેન્દ્ર $(\frac{3 - \lambda}{1 + \lambda}, \frac{2\lambda - 1}{1 + \lambda})$ મળે છે.
કેન્દ્ર $y = x$ પર હોવાથી,$\frac{3 - \lambda}{1 + \lambda} = \frac{2\lambda - 1}{1 + \lambda}$.
તેથી $3 - \lambda = 2\lambda - 1$,એટલે કે $\lambda = \frac{4}{3}$.
સમીકરણમાં $\lambda = \frac{4}{3}$ મૂકતા,$7x^2 + 7y^2 - 10x - 10y - 12 = 0$ મળે છે.

(D) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2ax + c = 0$ માટે,$g_1 = -a$,$f_1 = 0$,અને $c_1 = c$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2by + 2\lambda = 0$ માટે,$g_2 = 0$,$f_2 = b$,અને $c_2 = 2\lambda$ છે.
બે વર્તુળો લંબરૂપે છેદવાની શરત $2(g_1g_2 + f_1f_2) = c_1 + c_2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$2((-a)(0) + (0)(b)) = c + 2\lambda$ મળે છે.
$0 = c + 2\lambda$.
તેથી,$2\lambda = -c$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = -\frac{c}{2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) બે વર્તુળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ ની રેડિકલ ધરી $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $S_1: x^2 + y^2 - 144 = 0$ અને $S_2: x^2 + y^2 - 15x + 12y = 0$.
$S_1$ માંથી $S_2$ બાદ કરતા:
$(x^2 + y^2 - 144) - (x^2 + y^2 - 15x + 12y) = 0$
$15x - 12y - 144 = 0$
આખા સમીકરણને $3$ વડે ભાગતા:
$5x - 4y - 48 = 0$
$5x - 4y = 48$.

(D) બે વર્તુળો $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ અને $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ લંબરૂપે છેદે તો શરત $2(g_1g_2 + f_1f_2) = c_1 + c_2$ થાય.
આપેલ વર્તુળો માટે:
વર્તુળ $1$: $g_1 = \lambda, f_1 = 3, c_1 = 1$
વર્તુળ $2$: $g_2 = 2, f_2 = 1, c_2 = 0$
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$2(\lambda \times 2 + 3 \times 1) = 1 + 0$
$2(2\lambda + 3) = 1$
$4\lambda + 6 = 1$
$4\lambda = -5$
$\lambda = \frac{-5}{4}$.

(C) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ $x^2 + y^2 + kx + 4y + 2 = 0$ માટે,$g_1 = \frac{k}{2}$,$f_1 = 2$,અને $c_1 = 2$ મળે.
બીજા વર્તુળને $2$ વડે ભાગતા $x^2 + y^2 - 2x - \frac{3}{2}y + \frac{k}{2} = 0$ મળે. તેથી,$g_2 = -1$,$f_2 = -\frac{3}{4}$,અને $c_2 = \frac{k}{2}$ મળે.
બે વર્તુળો લંબછેદી હોય તેની શરત $2(g_1g_2 + f_1f_2) = c_1 + c_2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2\left[\left(\frac{k}{2}\right)(-1) + (2)\left(-\frac{3}{4}\right)\right] = 2 + \frac{k}{2}$.
$2\left[-\frac{k}{2} - \frac{3}{2}\right] = 2 + \frac{k}{2}$.
$-k - 3 = 2 + \frac{k}{2}$.
$-5 = \frac{3k}{2}$.
$k = -\frac{10}{3}$.

(A) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x + 22y + 5 = 0$ માટે,$g_1 = -1$,$f_1 = 11$,અને $c_1 = 5$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^2 + y^2 + 14x + 6y + k = 0$ માટે,$g_2 = 7$,$f_2 = 3$,અને $c_2 = k$ છે.
બે વર્તુળો લંબછેદી હોય જો $2(g_1g_2 + f_1f_2) = c_1 + c_2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$2((-1)(7) + (11)(3)) = 5 + k$.
$2(-7 + 33) = 5 + k$.
$2(26) = 5 + k$.
$52 = 5 + k$.
$k = 52 - 5 = 47$.

(B) ધારો કે બિંદુ $(h, k)$ છે. વર્તુળ $S = 0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S(h, k)}$ છે.
સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોવાથી,ત્રણેય વર્તુળો માટે બિંદુની પાવર સમાન હોવી જોઈએ.
$S_1 = x^2 + y^2 - 1 = 0$,$S_2 = x^2 + y^2 + 8x + 15 = 0$,અને $S_3 = x^2 + y^2 + 10y + 24 = 0$ લો.
$S_1 = S_2$ સરખાવતા:
$x^2 + y^2 - 1 = x^2 + y^2 + 8x + 15$
$-1 = 8x + 15$ $\Rightarrow 8x = -16$ $\Rightarrow x = -2$.
$S_1 = S_3$ સરખાવતા:
$x^2 + y^2 - 1 = x^2 + y^2 + 10y + 24$
$-1 = 10y + 24$ $\Rightarrow 10y = -25$ $\Rightarrow y = -\frac{5}{2}$.
આમ,માંગેલ બિંદુ $\left( -2, -\frac{5}{2} \right)$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
તે $(2a, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $4a^2 + 4ag + c = 0$ ... $(i)$.
વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ અને $x^2 + y^2 - a^2 = 0$ ની રેડિકલ અક્ષ $(2gx + 2fy + c) - (-a^2) = 0$ એટલે કે $2gx + 2fy + c + a^2 = 0$ છે.
આપેલ રેડિકલ અક્ષ $x - \frac{a}{2} = 0$ છે,તેથી સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{2g}{1} = \frac{2f}{0} = \frac{c + a^2}{-a/2}$.
$\frac{2f}{0}$ પરથી,$f = 0$ મળે છે.
$\frac{2g}{1} = \frac{c + a^2}{-a/2}$ પરથી,$c + a^2 = -ag$ અથવા $ag + c + a^2 = 0$ ... $(ii)$.
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $3a^2 + 3ag = 0 \Rightarrow g = -a$.
$g = -a$ ને $(ii)$ માં મુકતા: $c = 0$.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2ax = 0$ મળે છે.

(A) વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x = 0$ અને રેખા $y - x = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા કોઈપણ વર્તુળનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$x^2 + y^2 - 2x + \lambda(y - x) = 0$
$x^2 + y^2 - (2 + \lambda)x + \lambda y = 0$
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $\left( \frac{2 + \lambda}{2}, -\frac{\lambda}{2} \right)$ છે.
$AB$ એ વ્યાસ હોવાથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર રેખા $y = x$ પર આવેલું હોવું જોઈએ.
કેન્દ્રના યામને $y = x$ માં મૂકતા:
$-\frac{\lambda}{2} = \frac{2 + \lambda}{2}
-\lambda = 2 + \lambda
2\lambda = -2
\lambda = -1$
$\lambda = -1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2 + y^2 - (2 - 1)x - 1y = 0$
$x^2 + y^2 - x - y = 0$.

(A) વર્તુળોની સિસ્ટમનું સમીકરણ ${x^2} + {y^2} + 2gx + c = 0$ છે.
આ સિસ્ટમની રેડિકલ ધરી સિસ્ટમના કોઈપણ બે વર્તુળોના સમીકરણોને બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે,જે $y$-અક્ષ $(x = 0)$ આપે છે.
વર્તુળોના રેડિકલ ધરી સાથેના છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકીએ છીએ:
${0^2} + {y^2} + 2g(0) + c = 0$
${y^2} = -c$
$y = \pm \sqrt{-c}$.
કારણ કે $c < 0$ છે,તેથી $-c$ ધન છે,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{-c}$ એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
તેથી,વર્તુળો રેડિકલ ધરીને બે અલગ-અલગ વાસ્તવિક બિંદુઓ $(0, \sqrt{-c})$ અને $(0, -\sqrt{-c})$ પર છેદે છે.
આમ,આ સિસ્ટમ છેદતા વર્તુળો દર્શાવે છે.

(B) રેખા $Ax + By + C = 0$ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ:
$x^2 + y^2 + ax + by + c + \lambda(Ax + By + C) = 0$ ... $(i)$
તે જ રીતે,રેખા $A'x + B'y + C' = 0$ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 + a'x + b'y + c' = 0$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ:
$x^2 + y^2 + a'x + b'y + c' + \mu(A'x + B'y + C') = 0$ ... $(ii)$
$P, Q, R$ અને $S$ એક જ વર્તુળ પર હોવાથી,સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ એક જ વર્તુળ દર્શાવે છે. સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$a + \lambda A = a' + \mu A' \implies (a - a') + \lambda A - \mu A' = 0$
$b + \lambda B = b' + \mu B' \implies (b - b') + \lambda B - \mu B' = 0$
$c + \lambda C = c' + \mu C' \implies (c - c') + \lambda C - \mu C' = 0$
નિશ્ચાયક શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{a - a'}&A&{A'}\\{b - b'}&B&{B'}\\{c - c'}&C&{C'}\end{array}} \right| = 0$
તેથી,$D = 0$.

(D) ધારો કે વર્તૂળનું સમીકરણ $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = r^2$ છે.
આ વર્તૂળનું કેન્દ્ર $C_1 = (4, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
આપેલ વર્તૂળ $x^2 + y^2 = 1$ છે,જેનું કેન્દ્ર $C_2 = (0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $R = 1$ છે.
જ્યારે બે વર્તૂળો અંદરથી સ્પર્શે,ત્યારે તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના તફાવત જેટલું હોય છે:
$C_1C_2 = |R - r|$
અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(4 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$.
તેથી,$5 = |1 - r|$.
આથી $1 - r = 5$ અથવા $1 - r = -5$.
$r = -4$ (શક્ય નથી) અથવા $r = 6$.
આમ,સમીકરણ $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 6^2$ થશે.
$x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = 36$.
$x^2 + y^2 - 8x - 6y - 11 = 0$.

(A) બે વર્તુળો $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ અને $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ લંબરૂપે છેદે તેની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ છે.
આપેલ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$2g_1 = a \implies g_1 = \frac{a}{2}$,$2f_1 = b \implies f_1 = \frac{b}{2}$,$c_1 = c$.
$2g_2 = d \implies g_2 = \frac{d}{2}$,$2f_2 = e \implies f_2 = \frac{e}{2}$,$c_2 = f$.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$2(\frac{a}{2})(\frac{d}{2}) + 2(\frac{b}{2})(\frac{e}{2}) = c + f$
$\frac{ad}{2} + \frac{be}{2} = c + f$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$ad + be = 2(c + f)$.

(C) ધારો કે વર્તુળોના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$S_1: x^2 + y^2 - a^2 = 0$
$S_2: x^2 + y^2 - 2cx + c^2 - a^2 = 0$
$S_3: x^2 + y^2 - 2by + b^2 - a^2 = 0$
$S_1$ અને $S_2$ ની મૂલાક્ષ રેખા $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2 + y^2 - a^2) - (x^2 + y^2 - 2cx + c^2 - a^2) = 0$
$2cx - c^2 = 0 \implies x = c/2$
$S_1$ અને $S_3$ ની મૂલાક્ષ રેખા $S_1 - S_3 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2 + y^2 - a^2) - (x^2 + y^2 - 2by + b^2 - a^2) = 0$
$2by - b^2 = 0 \implies y = b/2$
મૂલાક્ષ કેન્દ્ર એ આ મૂલાક્ષ રેખાઓનું છેદબિંદુ છે,જે $(c/2, b/2)$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$S_1: x^2 + y^2 - x + 1 = 0$
$S_2: 3(x^2 + y^2) + y - 1 = 0$
મૂલાક્ષ મેળવવા માટે,આપણે સમીકરણોને પ્રમાણિત કરીશું જેથી $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકો સમાન થાય.
$S_1$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$3x^2 + 3y^2 - 3x + 3 = 0$
હવે,પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા:
$(3x^2 + 3y^2 - 3x + 3) - (3x^2 + 3y^2 + y - 1) = 0$
$-3x - y + 3 + 1 = 0$
$-3x - y + 4 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$3x + y - 4 = 0$

(A) બે વર્તુળો $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ અને $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ લંબરૂપે છેદે તેની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ છે.
આપેલ વર્તુળો માટે:
$g_1 = 1, f_1 = k, c_1 = 6$
$g_2 = 0, f_2 = k, c_2 = k$
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$2(1)(0) + 2(k)(k) = 6 + k$
$0 + 2k^2 = 6 + k$
$2k^2 - k - 6 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$2k^2 - 4k + 3k - 6 = 0$
$2k(k - 2) + 3(k - 2) = 0$
$(2k + 3)(k - 2) = 0$
તેથી,$k = 2$ અથવા $k = -3/2$.

(C) આપેલ વર્તુળો $2x^2 + 2y^2 - 3x + 6y + k = 0$ અને $x^2 + y^2 - 4x + 10y + 16 = 0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2 + y^2 - \frac{3}{2}x + 3y + \frac{k}{2} = 0 \dots (i)$ મળે છે.
બીજું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x + 10y + 16 = 0 \dots (ii)$ છે.
બે વર્તુળો $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ અને $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ લંબરૂપે છેદે તે માટેની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ છે.
અહીં,$g_1 = -\frac{3}{4}$,$f_1 = \frac{3}{2}$,$c_1 = \frac{k}{2}$ અને $g_2 = -2$,$f_2 = 5$,$c_2 = 16$ છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$2(-\frac{3}{4})(-2) + 2(\frac{3}{2})(5) = \frac{k}{2} + 16$.
$3 + 15 = \frac{k}{2} + 16$.
$18 = \frac{k}{2} + 16$.
$\frac{k}{2} = 2$.
$k = 4$.

(B) બે વર્તુળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$S_1 = x^2 + y^2 - 6 = 0$ અને $S_2 = x^2 + y^2 - 6x + 8 = 0$ છે.
સમીકરણ $(x^2 + y^2 - 6) + \lambda(x^2 + y^2 - 6x + 8) = 0$ છે.
વર્તુળ બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે $x = 1$ અને $y = 1$ મૂકીએ:
$(1^2 + 1^2 - 6) + \lambda(1^2 + 1^2 - 6(1) + 8) = 0$
$(2 - 6) + \lambda(2 - 6 + 8) = 0$
$-4 + \lambda(4) = 0$
$4\lambda = 4 \implies \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x^2 + y^2 - 6) + 1(x^2 + y^2 - 6x + 8) = 0$
$2x^2 + 2y^2 - 6x + 2 = 0$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2 + y^2 - 3x + 1 = 0$ મળે છે.

(C) વિધાન $(A)$ માટે : બે વર્તુળો $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ અને $x^2 + y^2 + 2g'x + 2f'y = 0$ એકબીજાને સ્પર્શે જો તેમના કેન્દ્રો $(C_1, C_2)$ વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા અથવા તફાવત $(r_1 \pm r_2)$ જેટલું હોય.
કેન્દ્રો $C_1(-g, -f)$ અને $C_2(-g', -f')$ છે. ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \sqrt{g^2 + f^2}$ અને $r_2 = \sqrt{g'^2 + f'^2}$ છે.
શરત $C_1C_2^2 = (r_1 \pm r_2)^2$ છે.
ગણતરી કરતા આપણને $(gf' - fg')^2 = 0$ મળે છે,તેથી $gf' = fg'$.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
વિધાન $(R)$ માટે : બે સ્પર્શતા વર્તુળોના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા સ્પર્શબિંદુ આગળના સામાન્ય સ્પર્શકને લંબ હોય છે,બધા સામાન્ય સ્પર્શકોને નહીં. તેથી,વિધાન $(R)$ ખોટું છે.

(C) બે વર્તુળો $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ અને $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ પરસ્પર લંબ છેદે તેની શરત $2(g_1g_2 + f_1f_2) = c_1 + c_2$ છે.
આપેલ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
પ્રથમ વર્તુળ માટે: $2g_1 = 5 \Rightarrow g_1 = 5/2$,$2f_1 = 3 \Rightarrow f_1 = 3/2$,$c_1 = 7$.
બીજા વર્તુળ માટે: $2g_2 = -8 \Rightarrow g_2 = -4$,$2f_2 = 6 \Rightarrow f_2 = 3$,$c_2 = k$.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$2((5/2)(-4) + (3/2)(3)) = 7 + k$
$2(-10 + 9/2) = 7 + k$
$2(-20/2 + 9/2) = 7 + k$
$2(-11/2) = 7 + k$
$-11 = 7 + k$
$k = -11 - 7 = -18$.

(B) બે વર્તુળોની સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ બંને વર્તુળોના સમીકરણોની બાદબાકી કરવાથી મળે છે: $(x^2 + y^2 + 4x + 22y + c) - (x^2 + y^2 - 2x + 8y - d) = 0$.
આનું સાદું રૂપ $6x + 14y + c + d = 0$ થાય છે.
જો એક વર્તુળ બીજા વર્તુળના પરિઘને દુભાગે,તો સામાન્ય જીવા બીજા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થવી જોઈએ.
બીજા વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x + 8y - d = 0$ નું કેન્દ્ર $(1, -4)$ છે.
સામાન્ય જીવાના સમીકરણમાં $(1, -4)$ મૂકતા: $6(1) + 14(-4) + c + d = 0$.
$6 - 56 + c + d = 0$.
$c + d = 50$.

(B) વર્તૂળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા કોઈપણ વર્તૂળનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ છે.
તેથી,માંગેલ વર્તૂળનું સમીકરણ:
$(x^{2} + y^{2} - 8x - 2y + 7) + \lambda (x^{2} + y^{2} - 4x + 10y + 8) = 0 \dots (i)$
પદોને ગોઠવતા:
$x^{2}(1 + \lambda) + y^{2}(1 + \lambda) - x(8 + 4\lambda) - y(2 - 10\lambda) + (7 + 8\lambda) = 0$
$(1 + \lambda)$ વડે ભાગતા:
$x^{2} + y^{2} - x\left(\frac{8 + 4\lambda}{1 + \lambda}\right) - y\left(\frac{2 - 10\lambda}{1 + \lambda}\right) + \frac{7 + 8\lambda}{1 + \lambda} = 0$
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $\left(\frac{4 + 2\lambda}{1 + \lambda}, \frac{1 - 5\lambda}{1 + \lambda}\right)$ છે.
કેન્દ્ર $y-$ અક્ષ પર હોવાથી,તેનો $x-$ યામ $0$ થાય:
$\frac{4 + 2\lambda}{1 + \lambda} = 0 \implies 4 + 2\lambda = 0 \implies \lambda = -2$.
સમીકરણ $(i)$ માં $\lambda = -2$ મૂકતા:
$(x^{2} + y^{2} - 8x - 2y + 7) - 2(x^{2} + y^{2} - 4x + 10y + 8) = 0$
$x^{2} + y^{2} - 8x - 2y + 7 - 2x^{2} - 2y^{2} + 8x - 20y - 16 = 0$
$-x^{2} - y^{2} - 22y - 9 = 0$
$x^{2} + y^{2} + 22y + 9 = 0$.

(C) જે બિંદુએથી ત્રણ વર્તૂળો પર દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય તે બિંદુને ત્રણ વર્તૂળોનું મૂલાક્ષ કેન્દ્ર (Radical Center) કહેવાય.
આપેલ સમીકરણો:
$S_1: x^2 + y^2 - 8x + 40 = 0$
$S_2: x^2 + y^2 - 5x + 16 = 0$ ($5$ વડે ભાગતા)
$S_3: x^2 + y^2 - 8x + 16y + 160 = 0$
$S_1$ અને $S_2$ ની મૂલાક્ષ રેખા $S_1 - S_2 = 0 \implies (-8x + 5x) + (40 - 16) = 0 \implies -3x + 24 = 0 \implies x = 8$.
$S_1$ અને $S_3$ ની મૂલાક્ષ રેખા $S_1 - S_3 = 0 \implies (-8x + 8x) - 16y + (40 - 160) = 0 \implies -16y - 120 = 0 \implies y = -\frac{120}{16} = -\frac{15}{2}$.
આમ,મૂલાક્ષ કેન્દ્ર $\left( 8, -\frac{15}{2} \right)$ છે.

(B) વર્તુળોના કેન્દ્રો $O_1(0, 0)$ અને $O_2(h, 0)$ છે અને બંનેની ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
ધારો કે સામાન્ય અનુપ્રસ્થ સ્પર્શક વર્તુળોને $A$ અને $B$ બિંદુએ સ્પર્શે છે અને કેન્દ્રોને જોડતી રેખાને $P$ બિંદુએ છેદે છે.
ત્રિજ્યાઓ સમાન હોવાથી,$P$ એ $O_1O_2$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $AB$ નું પણ મધ્યબિંદુ છે.
આપેલ છે કે સામાન્ય અનુપ્રસ્થ સ્પર્શકની લંબાઈ $AB = 2\sqrt{3}$ છે,તેથી $AP = PB = \sqrt{3}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta O_1AP$ માં,$O_1A = r = 1$ અને $AP = \sqrt{3}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$O_1P^2 = O_1A^2 + AP^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.
તેથી,$O_1P = 2$.
$P$ એ $O_1O_2$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,અંતર $O_1O_2 = 2 \times O_1P = 2 \times 2 = 4$.
$O_1 = (0, 0)$ અને $O_2 = (h, 0)$ હોવાથી,અંતર $O_1O_2 = |h| = 4$,જેનો અર્થ છે કે $h = \pm 4$.

(A) બે વર્તૂળોના કેન્દ્રો $C_1(a/2, 0)$ અને $C_2(0, 0)$ છે,અને તેમની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે $r_1 = |a|/2$ અને $r_2 = c$ છે.
બે વર્તૂળો એકબીજાને ત્યારે જ સ્પર્શેં જ્યારે તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = C_1C_2$ તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા અથવા તફાવત જેટલું હોય.
$d = \sqrt{(a/2 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = |a|/2$.
સ્પર્શવાની શરત: $d = |r_1 \pm r_2|$.
$|a|/2 = | |a|/2 \pm c |$.
આનો અર્થ એ છે કે:
$|a|/2 = |a|/2 + c$ અથવા $|a|/2 = | |a|/2 - c |$.
પ્રથમ કિસ્સામાંથી,$c = 0$,જે અસ્વીકાર્ય છે કારણ કે $c > 0$.
બીજા કિસ્સામાંથી,$|a|/2 - c = |a|/2$ અથવા $|a|/2 - c = -|a|/2$.
$c = 0$ (અસ્વીકાર્ય) અથવા $c = |a|$.
આમ,શરત $c = |a|$ છે.

(C) વર્તૂળ $S \equiv x^{2} + y^{2} - 10x = 0$ અને રેખા $L \equiv 2x - y = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તૂળના સમૂહનું સમીકરણ $S + \lambda L = 0$ છે.
$(x^{2} + y^{2} - 10x) + \lambda (2x - y) = 0$
$x^{2} + y^{2} + (2\lambda - 10)x - \lambda y = 0$
આ વર્તૂળનું કેન્દ્ર $C = (5 - \lambda, \lambda / 2)$ છે.
આપેલ છે કે રેખા $y = 2x$ એ વ્યાસ છે,તેથી કેન્દ્ર રેખા $y = 2x$ પર આવેલું હોવું જોઈએ.
$\lambda / 2 = 2(5 - \lambda)$
$\lambda = 4(5 - \lambda)$
$\lambda = 20 - 4\lambda$
$5\lambda = 20 \Rightarrow \lambda = 4$.
$\lambda = 4$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^{2} + y^{2} + (2(4) - 10)x - 4y = 0$
$x^{2} + y^{2} - 2x - 4y = 0$.

(A) બે વર્તૂળના કેન્દ્રો $C_1(-1, 1)$ અને $C_2(1, 1)$ છે અને બંનેની ત્રિજ્યા $r_1 = r_2 = 1$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (1 - 1)^2} = 2$ છે.
ત્રિજ્યાનો સરવાળો $r_1 + r_2 = 1 + 1 = 2$ છે.
અહીં $C_1C_2 = r_1 + r_2$ હોવાથી,વર્તૂળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
સ્પર્શબિંદુ શોધવા માટે,બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(x^2 + y^2 + 2x - 2y + 1) - (x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1) = 0$
$4x = 0 \implies x = 0$.
કોઈપણ એક સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા:
$0^2 + y^2 + 2(0) - 2y + 1 = 0$
$y^2 - 2y + 1 = 0 \implies (y - 1)^2 = 0 \implies y = 1$.
આમ,વર્તૂળો $(0, 1)$ બિંદુએ બહારથી સ્પર્શે છે.

(D) ધારો કે માંગેલ વર્તૂળ $S_2$ નું કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે. તે $(0, 0)$ અને $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને $(1, 0)$ ને જોડતા રેખાખંડના લંબદ્વિભાજક $x = 1/2$ પર હશે. તેથી $h = 1/2$.
તે $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \sqrt{h^2 + k^2} = \sqrt{(1/2)^2 + k^2} = \sqrt{1/4 + k^2}$.
વર્તૂળ $S_2$ એ વર્તૂળ $x^2 + y^2 = 9$ (જેનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $R = 3$ છે) ને સ્પર્શે છે.
અંતઃસ્પર્શ માટે,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = R - r$.
$S_2$ નું કેન્દ્ર $(1/2, k)$ છે અને $S_1$ નું કેન્દ્ર $(0, 0)$ છે.
તેથી,$d = \sqrt{(1/2)^2 + k^2} = r$.
આમ,$r = 3 - r$ $\Rightarrow 2r = 3$ $\Rightarrow r = 3/2$.
હવે,$r^2 = 1/4 + k^2$ $\Rightarrow (3/2)^2 = 1/4 + k^2$ $\Rightarrow 9/4 = 1/4 + k^2$ $\Rightarrow k^2 = 8/4 = 2$.
તેથી,$k = \pm \sqrt{2}$.
કેન્દ્ર $(1/2, \pm \sqrt{2})$ છે.

(A) આપેલ બે વર્તૂળો $S_1: x^2 + y^2 - 4 = 0$ અને $S_2: x^2 + y^2 + 2x + 4y - 6 = 0$ ની મૂલાક્ષ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2 + y^2 - 4) - (x^2 + y^2 + 2x + 4y - 6) = 0$
$-2x - 4y + 2 = 0$
$x + 2y - 1 = 0$.
સમાન મૂલાક્ષ ધરાવતા વર્તૂળોના સમૂહનું સમીકરણ $S_1 + \lambda L = 0$ છે,જ્યાં $L$ એ મૂલાક્ષ છે.
$x^2 + y^2 - 4 + \lambda(x + 2y - 1) = 0$
$x^2 + y^2 + \lambda x + 2\lambda y - (4 + \lambda) = 0$.

(C) ધારો કે વર્તૂળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. કેન્દ્ર રેખા $x + y = 4$ પર હોવાથી,$h + k = 4$,એટલે કે $k = 4 - h$.
વર્તૂળ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,તેનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2hx - 2ky = 0$ થાય.
$k = 4 - h$ મૂકતા,સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2hx - 2(4 - h)y = 0$ મળે.
બે વર્તૂળો $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ અને $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ લંબરૂપે છેદે ત્યારે $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ થાય.
અહીં,$g_1 = -h, f_1 = -(4 - h), c_1 = 0$ અને $g_2 = -2, f_2 = 1, c_2 = 4$.
શરત લાગુ પાડતા: $2(-h)(-2) + 2(-(4 - h))(1) = 0 + 4$.
$4h - 8 + 2h = 4$.
$6h = 12$,તેથી $h = 2$.
તેથી $k = 4 - 2 = 2$.
વર્તૂળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2(2)x - 2(2)y = 0$,એટલે કે $x^2 + y^2 - 4x - 4y = 0$ થાય.

(A) વર્તુળ $S = x^2 + y^2 - a^2 = 0$ અને રેખા $L = x - y + 3 = 0$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ $S + \lambda L = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x^2 + y^2 - a^2) + \lambda (x - y + 3) = 0$
$x^2 + y^2 + \lambda x - \lambda y + (3\lambda - a^2) = 0$
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $\left( -\frac{\lambda}{2}, \frac{\lambda}{2} \right)$ છે.
$AB$ વ્યાસ હોવાથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર રેખા $y = x + 3$ પર હોવું જોઈએ.
$\frac{\lambda}{2} = -\frac{\lambda}{2} + 3$
$\lambda = 3$
$\lambda = 3$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x^2 + y^2 - a^2) + 3(x - y + 3) = 0$
$x^2 + y^2 + 3x - 3y - a^2 + 9 = 0$

(A) ધારો કે આપેલ વર્તૂળ $S: x^{2} + y^{2} - 4x - 6y - 12 = 0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $C(2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $R = \sqrt{2^{2} + 3^{2} - (-12)} = \sqrt{25} = 5$ છે.
ધારો કે માંગેલ વર્તૂળનું કેન્દ્ર $C_1(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
વર્તૂળ બિંદુ $P(-1, -1)$ આગળ અંદરથી સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્ર $C_1$ એ રેખાખંડ $CP$ પર આવેલું છે.
અંતર $CC_1 = R - r = 5 - 3 = 2$.
આમ,$C_1$ એ રેખાખંડ $CP$ નું $3 : 2$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$C_1 = (\frac{3(2) + 2(-1)}{3+2}, \frac{3(3) + 2(-1)}{3+2}) = (\frac{4}{5}, \frac{7}{5})$.
તેથી વર્તૂળનું સમીકરણ $(x - \frac{4}{5})^{2} + (y - \frac{7}{5})^{2} = 3^{2}$ થાય.

(A) વર્તુળ $S: x^2 + y^2 - a^2 = 0$ અને રેખા $L: x - y + 3 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S + \lambda L = 0$ છે.
$x^2 + y^2 - a^2 + \lambda(x - y + 3) = 0$
$x^2 + y^2 + \lambda x - \lambda y + (3\lambda - a^2) = 0$
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $\left(-\frac{\lambda}{2}, \frac{\lambda}{2}\right)$ છે.
$AB$ વ્યાસ હોવાથી,કેન્દ્ર રેખા $y = x + 3$ પર આવેલું હોય.
કેન્દ્રના યામ રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{\lambda}{2} = -\frac{\lambda}{2} + 3$.
$\lambda = 3$.
$\lambda = 3$ ની કિંમત વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2 + y^2 + 3x - 3y + (3(3) - a^2) = 0$.
$x^2 + y^2 + 3x - 3y + 9 - a^2 = 0$.

(C) આપેલ વર્તૂળોના સમીકરણો $x^2 + y^2 + 2x - 4y + C = 0$ સ્વરૂપમાં છે.
આ વર્તૂળોનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-1, 2)$ સમાન છે.
વર્તૂળ $x^2 + y^2 + 2x - 4y + C = 0$ ની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - C} = \sqrt{1 + 4 - C} = \sqrt{5 - C}$ છે.
ધારો કે ત્રણ વર્તૂળોની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે $r_1, r_2$ અને $r_3$ છે.
પ્રથમ વર્તૂળ માટે,$C_1 = -4$,તેથી $r_1^2 = 5 - (-4) = 9$,એટલે કે $r_1 = 3$.
ત્રીજા વર્તૂળ માટે,$C_3 = -20$,તેથી $r_3^2 = 5 - (-20) = 25$,એટલે કે $r_3 = 5$.
વચ્ચેનું વર્તૂળ અન્ય બે વર્તૂળોની બરાબર વચ્ચે હોવાથી,તેની ત્રિજ્યા $r_2$ એ $r_1$ અને $r_3$ નો સમાંતર મધ્યક હોવો જોઈએ.
$r_2 = \frac{r_1 + r_3}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4$.
હવે,વચ્ચેના વર્તૂળ માટે,$r_2^2 = 5 - (-k) = 5 + k$.
$r_2 = 4$ હોવાથી,$r_2^2 = 16$.
તેથી,$5 + k = 16$,જેનો અર્થ છે કે $k = 11$.

(A) ધારો કે વર્તૂળ $C_1$ એ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + \alpha = 0$ છે અને $C_2$ એ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + \beta = 0$ છે.
ધારો કે $P(x_1, y_1)$ એ વર્તૂળ $C_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે.
કારણ કે $P$ એ $C_1$ પર આવેલું છે,તેથી $x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + \alpha = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 = -\alpha$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી વર્તૂળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + \beta = 0$ પર દોરેલ સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + \beta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી $x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{-\alpha + \beta}$ અથવા $\sqrt{\beta - \alpha}$ મળે છે.

(C) ધારો કે બે વર્તૂળો $S_1: x^2 + y^2 - 8x + y - 15 = 0$ અને $S_2: x^2 + y^2 - 4x + 4y - 42 = 0$ છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2 + y^2 - 8x + y - 15) - (x^2 + y^2 - 4x + 4y - 42) = 0$.
$-4x - 3y + 27 = 0$ અથવા $4x + 3y - 27 = 0$.
$S_1$ અને $S_2$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તૂળોનું કુળ $S_1 + \lambda(S_1 - S_2) = 0$ છે.
$(x^2 + y^2 - 8x + y - 15) + \lambda(4x + 3y - 27) = 0$.
$x^2 + y^2 + x(4\lambda - 8) + y(3\lambda + 1) - 27\lambda - 15 = 0$.
આ વર્તૂળનું કેન્દ્ર $(- (2\lambda - 4), - \frac{3\lambda + 1}{2})$ છે.
સામાન્ય જીવા વ્યાસ હોવાથી,કેન્દ્ર રેખા $4x + 3y - 27 = 0$ પર હોવું જોઈએ.
$4(-2\lambda + 4) + 3(-\frac{3\lambda + 1}{2}) - 27 = 0$.
$-8\lambda + 16 - \frac{9\lambda + 3}{2} - 27 = 0$.
$-16\lambda + 32 - 9\lambda - 3 - 54 = 0$.
$-25\lambda - 25 = 0 \implies \lambda = -1$.
સમીકરણમાં $\lambda = -1$ મૂકતા:
$x^2 + y^2 + x(-4 - 8) + y(-3 + 1) + 27 - 15 = 0$.
$x^2 + y^2 - 12x - 2y + 12 = 0$.

(D) બે વર્તુળો $S_1: x^2 + y^2 + 3x + 7y + 2p - 5 = 0$ અને $S_2: x^2 + y^2 + 2x + 2y - p^2 = 0$ ની સામાન્ય જીવા (રેડિકલ અક્ષ) નું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2 + y^2 + 3x + 7y + 2p - 5) - (x^2 + y^2 + 2x + 2y - p^2) = 0$
$x + 5y + 2p - 5 + p^2 = 0 \ldots (i)$
બે વર્તુળો $S_1$ અને $S_2$ ના છેદબિંદુઓ $P$ અને $Q$ માંથી પસાર થતું વર્તુળ $S_1 + \lambda(S_1 - S_2) = 0$ ના સ્વરૂપમાં હોય છે.
વર્તુળ બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય તે માટે,બિંદુ $(1, 1)$ સામાન્ય જીવા $PQ$ પર ન હોવું જોઈએ.
સામાન્ય જીવાના સમીકરણમાં $(1, 1)$ મૂકતા:
$1 + 5(1) + 2p - 5 + p^2 = 0$
$p^2 + 2p + 1 = 0$
$(p + 1)^2 = 0 \Rightarrow p = -1$.
જો $p = -1$ હોય,તો બિંદુ $(1, 1)$ સામાન્ય જીવા પર આવેલું છે,એટલે કે $P, Q$ અને $(1, 1)$ સમરેખ છે,તેથી તેમાંથી કોઈ વર્તુળ પસાર થઈ શકે નહીં. આમ,$p \neq -1$ ની કોઈપણ કિંમત માટે એક અનન્ય વર્તુળ મળે છે.

(B) વર્તુળ $S = 0$ અને રેખા $L = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ $S + \lambda L = 0$ છે,જ્યાં $\lambda \in \mathbb{R}$.
આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 6y - 21 = 0$ અને રેખા $3x + 4y + 5 = 0$ માટે,વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ:
$x^2 + y^2 - 4x - 6y - 21 + \lambda(3x + 4y + 5) = 0$
વર્તુળ બિંદુ $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 1$ અને $y = 2$ મૂકતા:
$(1)^2 + (2)^2 - 4(1) - 6(2) - 21 + \lambda(3(1) + 4(2) + 5) = 0$
$1 + 4 - 4 - 12 - 21 + \lambda(3 + 8 + 5) = 0$
$-32 + 16\lambda = 0$
$16\lambda = 32$
$\lambda = 2$
$\lambda = 2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2 + y^2 - 4x - 6y - 21 + 2(3x + 4y + 5) = 0$
$x^2 + y^2 - 4x - 6y - 21 + 6x + 8y + 10 = 0$
$x^2 + y^2 + 2x + 2y - 11 = 0$

(A) વર્તુળ $x^2 + y^2 - a^2 = 0$ અને રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા કોઈપણ વર્તુળનું સમીકરણ:
$x^2 + y^2 - a^2 + \lambda(x \cos \alpha + y \sin \alpha - p) = 0$
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $\left(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}, -\frac{\lambda \sin \alpha}{2}\right)$ છે.
રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ એ વ્યાસ હોવાથી,કેન્દ્ર આ રેખા પર આવેલું હોવું જોઈએ:
$\left(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}\right) \cos \alpha + \left(-\frac{\lambda \sin \alpha}{2}\right) \sin \alpha = p$
$-\frac{\lambda}{2} (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = p$
$-\frac{\lambda}{2} = p \implies \lambda = -2p$
$\lambda = -2p$ ની કિંમત મૂકતા:
$x^2 + y^2 - a^2 - 2p(x \cos \alpha + y \sin \alpha - p) = 0$
$x^2 + y^2 - 2px \cos \alpha - 2py \sin \alpha + 2p^2 - a^2 = 0$

(D) આપેલ વર્તુળો $C_1: x^2 + y^2 + 4x + d = 0$ અને $C_2: x^2 + y^2 + 4fy + d = 0$ છે.
$C_1$ માટે,કેન્દ્ર $O_1 = (-2, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{4 - d}$ છે.
$C_2$ માટે,કેન્દ્ર $O_2 = (0, -2f)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{4f^2 - d}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $O_1O_2 = 2\sqrt{1 + f^2}$ છે.
વર્તુળો સ્પર્શે છે જો $O_1O_2^2 = (r_1 \pm r_2)^2$ થાય.
ગણતરી કરતા $f^2 = \frac{d}{4 - d}$ મળે છે,તેથી $f = \pm \sqrt{\frac{d}{4 - d}}$.

(A) પ્રથમ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 8x - 2y + 1 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (4, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{4^2 + 1^2 - 1} = 4$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^2 + y^2 + 6x + y = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (-3, -0.5)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-3)^2 + (-0.5)^2 - 0} = \sqrt{9.25} \approx 3.04$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(4 - (-3))^2 + (1 - (-0.5))^2} = \sqrt{7^2 + 1.5^2} = \sqrt{51.25} \approx 7.16$ છે.
અહીં $d > r_1 + r_2$ હોવાથી,વર્તુળો એકબીજાની બહાર આવેલા છે.
તેથી,સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $4$ છે.

(A) પ્રથમ વર્તુળ $S_1: x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ નું કેન્દ્ર $C(-g, -f)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ છે.
બીજા વર્તુળ $S_2: x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c \sin^2 \alpha + (g^2 + f^2) \cos^2 \alpha = 0$ નું કેન્દ્ર પણ $C(-g, -f)$ છે.
બીજા વર્તુળની ત્રિજ્યા $r_2$ માટે,$r_2^2 = g^2 + f^2 - (c \sin^2 \alpha + (g^2 + f^2) \cos^2 \alpha) = (g^2 + f^2 - c) \sin^2 \alpha$ મળે.
તેથી,$r_2 = r_1 \sin \alpha$.
જો $P$ એ $S_1$ પરનું બિંદુ હોય અને $T$ એ $S_2$ પરનો સ્પર્શબિંદુ હોય,તો કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PTC$ માં,$\sin(\angle PTC) = \frac{r_2}{r_1} = \sin \alpha$ થાય.
આમ,$\angle PTC = \alpha$ અને સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2 \alpha$ થાય.

(A) વર્તૂળ $x^2 + y^2 = 4$ પર બિંદુ $P(\sqrt{3}, 1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $x x_1 + y y_1 = r^2$ મુજબ $\sqrt{3}x + y = 4$ થાય.
આ સ્પર્શક $PT$ નો ઢાળ $m_1 = -\sqrt{3}$ છે.
રેખા $L$ એ $PT$ ને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય.
ધારો કે રેખા $L$ નું સમીકરણ $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + c$ છે,એટલે કે $x - \sqrt{3}y + \sqrt{3}c = 0$.
આ રેખા વર્તૂળ $(x - 3)^2 + y^2 = 1$ નો સ્પર્શક છે,જેનું કેન્દ્ર $(3, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
કેન્દ્ર $(3, 0)$ થી રેખા $x - \sqrt{3}y + \sqrt{3}c = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $1$ જેટલું હોવું જોઈએ:
$\frac{|3 - \sqrt{3}(0) + \sqrt{3}c|}{\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}} = 1$
$\frac{|3 + \sqrt{3}c|}{2} = 1$
$|3 + \sqrt{3}c| = 2$
કિસ્સો $1$: $3 + \sqrt{3}c = 2 \implies \sqrt{3}c = -1 \implies c = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
સમીકરણ $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x - \frac{1}{\sqrt{3}} \implies x - \sqrt{3}y = 1$ મળે છે.

(D) પ્રથમ વર્તુળ ${x^2} + {y^2} - 4x - 6y - 12 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $c_{1} = (2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_{1} = \sqrt{2^2 + 3^2 - (-12)} = \sqrt{4 + 9 + 12} = \sqrt{25} = 5$ છે.
બીજા વર્તુળ ${x^2} + {y^2} + 6x + 18y + 26 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $c_{2} = (-3, -9)$ અને ત્રિજ્યા $r_{2} = \sqrt{(-3)^2 + (-9)^2 - 26} = \sqrt{9 + 81 - 26} = \sqrt{64} = 8$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $c_{1}c_{2} = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (3 - (-9))^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ છે.
અહીં $c_{1}c_{2} = r_{1} + r_{2} = 5 + 8 = 13$ હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
જ્યારે બે વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શતા હોય,ત્યારે સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $3$ હોય છે.

(D) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $O(2, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2^2 + (-3)^2 - (-12)} = \sqrt{4 + 9 + 12} = \sqrt{25} = 5$ છે.
ધારો કે $A(-3, 2)$ એ વર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર છે. આપેલ વર્તુળનો એક વ્યાસ એ વર્તુળ $S$ ની જીવા છે. ધારો કે આ જીવા $BC$ છે. $BC$ એ પ્રથમ વર્તુળનો વ્યાસ હોવાથી,તે કેન્દ્ર $O(2, -3)$ માંથી પસાર થાય છે.
$\Delta ABC$ માં,$A$ એ વર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર છે,તેથી $AB$ અને $AC$ એ $S$ ની ત્રિજ્યાઓ છે. $O$ એ જીવા $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $AO \perp BC$.
અંતર $AO$ એ $(-3, 2)$ અને $(2, -3)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$AO = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta AOB$ માં,વર્તુળ $S$ ની ત્રિજ્યા $R$ એ કર્ણ $AB$ છે:
$R = \sqrt{AO^2 + OB^2} = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + 5^2} = \sqrt{50 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$.

(A) ધારો કે બે વર્તુળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ છે. રેડિકલ અક્ષ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
રેડિકલ અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ માટે,બે વર્તુળો પર દોરવામાં આવેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે.
તેથી,$PQ = PR$.
ત્રિકોણ $\triangle PQR$ ની બે બાજુઓ સમાન હોવાથી,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.

(D) વર્તુળ $S \equiv x^2 + y^2 - 10x = 0$ અને રેખા $L \equiv y - 2x = 0$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળોનું કુળ $S + \lambda L = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x^2 + y^2 - 10x + \lambda(y - 2x) = 0$
$x^2 + y^2 - (10 + 2\lambda)x + \lambda y = 0$
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $\left( \frac{10 + 2\lambda}{2}, -\frac{\lambda}{2} \right) = (5 + \lambda, -\frac{\lambda}{2})$ છે.
જીવા $y = 2x$ એ આ વર્તુળનો વ્યાસ હોવાથી,કેન્દ્ર રેખા $y = 2x$ પર હોવું જોઈએ.
$-\frac{\lambda}{2} = 2(5 + \lambda)$
$-\frac{\lambda}{2} = 10 + 2\lambda$
$-\lambda = 20 + 4\lambda$
$-5\lambda = 20 \Rightarrow \lambda = -4$.
$\lambda = -4$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2 + y^2 - (10 - 8)x - 4y = 0$
$x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$.