System of circles Questions in Gujarati

(B) વર્તુળ $x^2+y^2=9$ અને રેખા $x+y=1$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળોની સંહતિ $(x^2+y^2-9) + \lambda(x+y-1) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું સાદું રૂપ $x^2+y^2+\lambda x+\lambda y - (\lambda+9) = 0$ થાય છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-\frac{\lambda}{2}, -\frac{\lambda}{2})$ છે.
સૌથી નાના વર્તુળ માટે,રેખા $x+y=1$ એ વર્તુળનો વ્યાસ હોવો જોઈએ.
કેન્દ્રને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $-\frac{\lambda}{2} - \frac{\lambda}{2} = 1$,જે $-\lambda = 1$ આપે છે,તેથી $\lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ને સંહતિના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $(x^2+y^2-9) - (x+y-1) = 0$ મળે છે.

(B) વર્તુળો $S_1: x^2+y^2+2x+3y+1=0$ અને $S_2: x^2+y^2+4x+3y+2=0$ ની સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1-S_2=0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2+2x+3y+1) - (x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$
$-2x-1=0 \Rightarrow 2x+1=0$.
$S_1$ અને $S_2$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ છે.
$(x^2+y^2+2x+3y+1) + \lambda(x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + (2+4\lambda)x + (3+3\lambda)y + (1+2\lambda) = 0$
$(1+\lambda)$ વડે ભાગતા:
$x^2+y^2 + \left(\frac{2+4\lambda}{1+\lambda}\right)x + \left(\frac{3+3\lambda}{1+\lambda}\right)y + \frac{1+2\lambda}{1+\lambda} = 0$.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $\left(-\frac{1+2\lambda}{1+\lambda}, -\frac{3}{2}\right)$ છે.
સામાન્ય જીવા $2x+1=0$ વ્યાસ હોવાથી,કેન્દ્ર તેના પર આવેલું છે.
$2\left(-\frac{1+2\lambda}{1+\lambda}\right) + 1 = 0$
$-2-4\lambda+1+\lambda = 0$ $\Rightarrow -3\lambda-1=0$ $\Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$.
$\lambda = -\frac{1}{3}$ મુકતા:
$(x^2+y^2+2x+3y+1) - \frac{1}{3}(x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$
$3x^2+3y^2+6x+9y+3 - x^2-y^2-4x-3y-2 = 0$
$2x^2+2y^2+2x+6y+1 = 0$.

(A) બે વર્તુળોના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda \neq -1$.
$(x^2+y^2-4x-6y-12) + \lambda(x^2+y^2+6x+4y-12) = 0$
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + (6\lambda-4)x + (4\lambda-6)y - 12(1+\lambda) = 0$
$(1+\lambda)$ વડે ભાગતા,$x^2+y^2 + \frac{6\lambda-4}{1+\lambda}x + \frac{4\lambda-6}{1+\lambda}y - 12 = 0$ મળે.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g = \frac{3\lambda-2}{1+\lambda}$,$f = \frac{2\lambda-3}{1+\lambda}$,અને $c = -12$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{13}$.
$g^2+f^2-c = 13 \implies \frac{(3\lambda-2)^2 + (2\lambda-3)^2}{(1+\lambda)^2} + 12 = 13$.
$(3\lambda-2)^2 + (2\lambda-3)^2 = (1+\lambda)^2$.
$9\lambda^2 - 12\lambda + 4 + 4\lambda^2 - 12\lambda + 9 = 1 + 2\lambda + \lambda^2$.
$12\lambda^2 - 26\lambda + 12 = 0 \implies 6\lambda^2 - 13\lambda + 6 = 0$.
$(2\lambda-3)(3\lambda-2) = 0$,તેથી $\lambda = \frac{3}{2}$ અથવા $\lambda = \frac{2}{3}$.
$\lambda = \frac{2}{3}$ માટે,સમીકરણ $x^2+y^2-2x-12=0$ મળે છે.
$\lambda = \frac{3}{2}$ માટે,સમીકરણ $x^2+y^2+2x-12=0$ મળે છે.

(A) ધારો કે જરૂરી વર્તુળનું સમીકરણ $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
વર્તુળ $S=0$ આપેલા વર્તુળોને તેમના વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ પર છેદે છે,તેથી $S=0$ અને દરેક વર્તુળ $S_i=0$ ની સામાન્ય જીવા $S_i=0$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
$S_1 \equiv x^2+y^2-4=0$ માટે,કેન્દ્ર $(0,0)$ છે. સામાન્ય જીવા $S-S_1=0$ એટલે કે $2gx+2fy+c+4=0$ છે. તે $(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$c+4=0$,એટલે કે $c=-4$.
$S_2 \equiv x^2+y^2-6x-8y+10=0$ માટે,કેન્દ્ર $(3,4)$ છે. સામાન્ય જીવા $S-S_2=0$ એટલે કે $(2g+6)x+(2f+8)y+c-10=0$ છે. $c=-4$ અને કેન્દ્ર $(3,4)$ મૂકતા,$(2g+6)(3)+(2f+8)(4)-14=0$,જેનું સાદું રૂપ $6g+8f+36=0$ એટલે કે $3g+4f+18=0$ $(i)$ મળે છે.
$S_3 \equiv x^2+y^2+2x-4y-2=0$ માટે,કેન્દ્ર $(-1,2)$ છે. સામાન્ય જીવા $S-S_3=0$ એટલે કે $(2g-2)x+(2f+4)y+c+2=0$ છે. $c=-4$ અને કેન્દ્ર $(-1,2)$ મૂકતા,$(2g-2)(-1)+(2f+4)(2)-2=0$,જેનું સાદું રૂપ $-2g+4f+8=0$ (ii) મળે છે.
$(i)$ અને (ii) ઉકેલતા: (ii) પરથી,$g=2f+4$. $(i)$ માં મૂકતા,$3(2f+4)+4f+18=0$ $\Rightarrow 10f+30=0$ $\Rightarrow f=-3$. તેથી $g=-2$.
આમ,જરૂરી વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x-6y-4=0$ છે.

(D) વર્તુળ $S$ પ્રથમ ચરણમાં છે અને બંને અક્ષોને સ્પર્શે છે,તેની ત્રિજ્યા $r_1 = 2$ છે. તેથી,તેનું કેન્દ્ર $C_1 = (2, 2)$ છે.
ધારો કે જરૂરી વર્તુળનું કેન્દ્ર $C_2 = (6, 5)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
બંને વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું થાય:
$C_1C_2 = r_1 + r$
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$C_1C_2 = \sqrt{(6-2)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.
તેથી,$5 = 2 + r$,જેનો અર્થ છે કે $r = 3$.
કેન્દ્ર $(6, 5)$ અને ત્રિજ્યા $3$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ:
$(x-6)^2 + (y-5)^2 = 3^2$
$x^2 - 12x + 36 + y^2 - 10y + 25 = 9$
$x^2 + y^2 - 12x - 10y + 61 - 9 = 0$
$x^2 + y^2 - 12x - 10y + 52 = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2+2x+3y-7=0$ અને $S_2: x^2+y^2+4x-7y+5=0$ છે.
$S_1$ અને $S_2$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ $S_1 + \lambda(S_1 - S_2) = 0$ છે.
સામાન્ય જીવા $AB$ નું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ છે:
$(x^2+y^2+2x+3y-7) - (x^2+y^2+4x-7y+5) = 0 \implies -2x+10y-12 = 0 \implies x-5y+6 = 0$.
$\overline{AB}$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 + \lambda(S_1 - S_2) = 0$ ના સ્વરૂપમાં મળે છે.
ગણતરી કરતા,સાચું સમીકરણ $26x^2+26y^2+77x-47y-32=0$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળો $x^2+y^2+6x-8y+16=0$ અને $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ફેરવતા $(x+3)^2+(y-4)^2=3^2$ અને $(x-1)^2+(y-1)^2=1^2$ મળે છે.
તેથી,$C_1=(-3,4), r_1=3$ અને $C_2=(1,1), r_2=1$.
આંતરિક સમાનતાનું કેન્દ્ર $P$ એ $C_1C_2$ ને $3:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે:
$P = \left(0, \frac{7}{4}\right)$.
બાહ્ય સમાનતાનું કેન્દ્ર $Q$ એ $C_1C_2$ ને $3:1$ ના ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજિત કરે છે:
$Q = \left(3, -\frac{1}{2}\right)$.
અંતર $PQ = \sqrt{(3-0)^2 + (-\frac{1}{2} - \frac{7}{4})^2} = \sqrt{9 + \frac{81}{16}} = \frac{15}{4}$.

(B) વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2+y^2+2x+4y-3=0$ અને $S_2: x^2+y^2+2kx-2y-1=0$ છે.
$x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ સાથે સરખાવતા:
$g_1=1, f_1=2, c_1=-3$ અને $g_2=k, f_2=-1, c_2=-1$.
કેન્દ્રો $C_1(-1, -2)$ અને $C_2(-k, 1)$ છે,અને ત્રિજ્યાઓ $r_1=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ અને $r_2=\sqrt{k^2+2}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d^2 = (k-1)^2 + 9 = k^2-2k+10$.
ખૂણા $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2r_1r_2}$.
$\frac{k^2-2k+10-8-(k^2+2)}{2(2\sqrt{2})\sqrt{k^2+2}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} \implies \frac{-2k}{4\sqrt{2}\sqrt{k^2+2}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$.
$\frac{-k}{\sqrt{2}\sqrt{k^2+2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \frac{k^2}{2(k^2+2)} = \frac{1}{3} \implies 3k^2 = 2k^2+4 \implies k^2=4$.

(A) આપેલ વર્તુળો $C_1 \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c_1=0$ અને $C_2 \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c_2=0$ છે.
બંને વર્તુળોનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ સમાન હોવાથી,તેઓ એકકેન્દ્રીય છે.
ધારો કે $A$ એ $C_1$ પરનું બિંદુ છે અને $T$ એ $C_2$ પરનું સ્પર્શક બિંદુ છે. $O$ એ સામાન્ય કેન્દ્ર છે.
$C_1$ ની ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{g^2+f^2-c_1}$ અને $C_2$ ની ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{g^2+f^2-c_2}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OTA$ માં,સ્પર્શકની લંબાઈ $AT$ નીચે મુજબ મળે છે:
$AT = \sqrt{OA^2 - OT^2} = \sqrt{r_1^2 - r_2^2}$
$AT = \sqrt{(g^2+f^2-c_1) - (g^2+f^2-c_2)} = \sqrt{c_2-c_1}$.

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(h, k)$ છે. બિંદુ $(h, k)$ માંથી વર્તુળ $S=0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S(h, k)}$ છે.
સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોવાથી,ત્રણેય વર્તુળો માટે બિંદુ $P$ ની પાવર સમાન છે.
$S_1(h, k) = S_2(h, k) = S_3(h, k)$.
$S_1 \equiv x^2+y^2-4=0$
$S_2 \equiv x^2+y^2-2x+3y=0$
$S_3 \equiv x^2+y^2+7y-18=0$
$S_1 = S_2$ સરખાવતા:
$x^2+y^2-4 = x^2+y^2-2x+3y$
$2x-3y-4=0$ $(i)$
$S_1 = S_3$ સરખાવતા:
$x^2+y^2-4 = x^2+y^2+7y-18$
$-7y+14=0$
$y=2$
$y=2$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$2x-3(2)-4=0$
$2x-6-4=0$
$2x=10$
$x=5$
આમ,$P$ ના યામ $(5, 2)$ છે.

(C) ધારો કે $P(x_1, y_1)$ એ બિંદુ છે જ્યાંથી વર્તુળો પર સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે:
$S_1 \equiv x^2+y^2-8x+40=0$
$S_2 \equiv x^2+y^2-5x+16=0$ ($5$ વડે ભાગતા)
$S_3 \equiv x^2+y^2-8x+16y+160=0$
સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોવાથી,$\sqrt{S_1} = \sqrt{S_2} = \sqrt{S_3}$,એટલે કે $S_1 = S_2 = S_3$.
$S_1 = S_3$ સરખાવતા:
$x_1^2+y_1^2-8x_1+40 = x_1^2+y_1^2-8x_1+16y_1+160$
$40 = 16y_1+160$ $\Rightarrow 16y_1 = -120$ $\Rightarrow y_1 = -\frac{15}{2}$.
$S_1 = S_2$ સરખાવતા:
$x_1^2+y_1^2-8x_1+40 = x_1^2+y_1^2-5x_1+16$
$-8x_1+40 = -5x_1+16$ $\Rightarrow 3x_1 = 24$ $\Rightarrow x_1 = 8$.
આમ,બિંદુ $P$ એ $\left(8, -\frac{15}{2}\right)$ છે.

(A) બે વર્તુળો $S_1=0$ અને $S_2=0$ ની રેડિકલ ધરી $S_1-S_2=0$ દ્વારા મળે છે. પ્રથમ,બીજા વર્તુળને પ્રમાણિત કરો: $x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c=0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(x^2+y^2+2gx+2fy+c) - (x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c) = 0$.
આનું સાદું રૂપ $x(2g-\frac{3}{2}) + y(2f-4) = 0$ મળે છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ ને $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ તરીકે લખી શકાય,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(-1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $1$ છે.
રેડિકલ ધરી આ વર્તુળને સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(-1, -1)$ થી રેખા $x(2g-\frac{3}{2}) + y(2f-4) = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $1$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|-(2g-\frac{3}{2})-(2f-4)|}{\sqrt{(2g-\frac{3}{2})^2+(2f-4)^2}} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(-(2g-\frac{3}{2})-(2f-4))^2 = (2g-\frac{3}{2})^2+(2f-4)^2$.
ધારો કે $A = (2g-\frac{3}{2})$ અને $B = (2f-4)$. તો $(-A-B)^2 = A^2+B^2$,જેનો અર્થ છે $A^2+B^2+2AB = A^2+B^2$,એટલે કે $2AB=0$.
તેથી,$A=0$ અથવા $B=0$.
$2g-\frac{3}{2}=0 \Rightarrow g=\frac{3}{4}$ અથવા $2f-4=0 \Rightarrow f=2$.

(A) વર્તુળો $S: x^2+y^2+2kx+4y-3=0$ અને $S': x^2+y^2-4x+2ky+9=0$ છે.
કેન્દ્રો $C_1 = (-k, -2)$ અને $C_2 = (2, -k)$ છે.
ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \sqrt{k^2+7}$ અને $r_2 = \sqrt{k^2-5}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d^2 = 2k^2+8$ છે.
$\cos \theta = \frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2r_1r_2} = \frac{3}{8}$ લેતા,$k^2=9$ મળે છે.
$S'=0$ નું કેન્દ્ર $(2, -k)$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી $k=-3$ મળે છે.
રેડિકલ ધરી $S-S'=0$ છે,જેનું સમીકરણ $(2k+4)x + (4-2k)y - 12 = 0$ થાય છે.
$k=-3$ મૂકતા,$x-5y+6=0$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$S_1: x^2+y^2-4x+4y-1=0$
$S_2: x^2+y^2+2x-4y+1=0$
વર્તુળોના સામાન્ય બિંદુઓ રેડિકલ અક્ષ પર આવેલા હોય છે,જે $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2-4x+4y-1) - (x^2+y^2+2x-4y+1) = 0$
$-6x + 8y - 2 = 0$
$3x - 4y + 1 = 0 \implies x = \frac{4y-1}{3}$
$x$ ની કિંમત $S_2=0$ માં મૂકતા:
$(\frac{4y-1}{3})^2 + y^2 + 2(\frac{4y-1}{3}) - 4y + 1 = 0$
$25y^2 - 20y + 4 = 0$
$(5y-2)^2 = 0 \implies y = 2/5$
તેથી $x = 1/5$
આમ,$(a, b) = (1/5, 2/5)$.
$a^2+b^2 = (1/5)^2 + (2/5)^2 = 1/25 + 4/25 = 5/25 = 1/5$.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2hy+c=0$ છે।
તે $(3,5), (5,5)$ અને $(3,-3)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી:
$9+25+6g+10h+c=0 \implies 6g+10h+c=-34$
$25+25+10g+10h+c=0 \implies 10g+10h+c=-50$
$9+9+6g-6h+c=0 \implies 6g-6h+c=-18$
પ્રથમ સમીકરણને બીજામાંથી બાદ કરતા: $4g=-16 \implies g=-4$.
ત્રીજા સમીકરણને પ્રથમમાંથી બાદ કરતા: $16h=-16 \implies h=-1$.
$g$ અને $h$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $6(-4)+10(-1)+c=-34 \implies -24-10+c=-34 \implies c=0$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-8x-2y=0$ છે।
બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબચ્છેદી હોય જો $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ હોય।
અહીં, $g_1=-4, f_1=-1, c_1=0$ અને $g_2=1, f_2=f, c_2=0$.
$2(-4)(1)+2(-1)(f)=0+0 \implies -8-2f=0 \implies 2f=-8 \implies f=-4$.

(B) ધારો કે વર્તુળ $S$ એ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
વર્તુળ $S$ આપેલા વર્તુળોને લંબચ્છેદી હોવાથી,આપણે શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$S_1: x^2+y^2-2x+6y=0$ માટે,$g_1=-1, f_1=3, c_1=0$. તેથી,$2g(-1) + 2f(3) = c + 0 \Rightarrow -2g + 6f = c$ $(i)$.
$S_2: x^2+y^2-4x-2y+6=0$ માટે,$g_2=-2, f_2=-1, c_2=6$. તેથી,$2g(-2) + 2f(-1) = c + 6 \Rightarrow -4g - 2f = c + 6$ $(ii)$.
$S_3: x^2+y^2-12x+2y+3=0$ માટે,$g_3=-6, f_3=1, c_3=3$. તેથી,$2g(-6) + 2f(1) = c + 3 \Rightarrow -12g + 2f = c + 3$ $(iii)$.
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $2g + 8f = -6 \Rightarrow g + 4f = -3$ $(iv)$.
$(ii)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા: $8g - 4f = 3$ $(v)$.
$(iv)$ અને $(v)$ નો સરવાળો કરતા: $9g = 0 \Rightarrow g = 0$. તેથી $4f = -3 \Rightarrow f = -3/4$.
$(i)$ માં કિંમત મુકતા: $c = -2(0) + 6(-3/4) = -18/4 = -9/2$.
આમ,વર્તુળ $S$ એ $x^2+y^2 - \frac{3}{2}y - \frac{9}{2} = 0$ છે.
બિંદુ $(0,3)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c = 0$ છે.
$(0,3)$ મુકતા: $x(0) + y(3) + 0(x+0) - \frac{3}{4}(y+3) - \frac{9}{2} = 0$.
$3y - \frac{3}{4}y - \frac{9}{4} - \frac{18}{4} = 0 \Rightarrow \frac{9}{4}y - \frac{27}{4} = 0 \Rightarrow 9y = 27 \Rightarrow y = 3$.

(A) ધારો કે માંગેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
લંબચ્છેદી વર્તુળની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ મુજબ:
$x^2+y^2-4x-4y+7=0$ માટે: $4g+4f+c=-7$ $(i)$.
$x^2+y^2+4x-4y+6=0$ માટે: $4g-4f-c=6$ $(ii)$.
$x^2+y^2+4x+4y+5=0$ માટે: $4g+4f-c=5$ $(iii)$.
$(i)$ અને $(iii)$ પરથી,$2c = -12 \Rightarrow c = -6$.
$g = -\frac{1}{8}$ અને $f = -\frac{1}{8}$ મળે છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{\frac{1}{64} + \frac{1}{64} + 6} = \frac{\sqrt{193}}{4\sqrt{2}}$.

(C) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2+y^2+2 \alpha x+2 y-8=0$ અને $S_2: x^2+y^2-2 x+\alpha y-14=0$ છે.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$(g_1, f_1, c_1) = (\alpha, 1, -8)$ અને $(g_2, f_2, c_2) = (-1, \frac{\alpha}{2}, -14)$ મળે.
વર્તુળો લંબરૂપે છેદતા હોવાથી,શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2(\alpha)(-1) + 2(1)(\frac{\alpha}{2}) = -8 - 14$.
$-2\alpha + \alpha = -22$,જેથી $\alpha = 22$ મળે.
$S_1$ નું કેન્દ્ર $C_1 = (-g_1, -f_1) = (-22, -1)$ છે.
$S_2$ નું કેન્દ્ર $C_2 = (-g_2, -f_2) = (1, -\frac{22}{2}) = (1, -11)$ છે.
કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(1 - (-22))^2 + (-11 - (-1))^2} = \sqrt{(23)^2 + (-10)^2} = \sqrt{529 + 100} = \sqrt{629}$ છે.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2-4x+8y+4=0$ નું કેન્દ્ર $P(2, -4)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 4$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2x=0$ નું કેન્દ્ર $Q(-1, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 1$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શે છે,તેથી સ્પર્શબિંદુ $O(a, b)$ એ રેખાખંડ $PQ$ નું $r_1 : r_2 = 4 : 1$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$O(a, b) = \left( \frac{4(-1)+1(2)}{4+1}, \frac{4(0)+1(-4)}{4+1} \right)$.
$O(a, b) = \left( -\frac{2}{5}, -\frac{4}{5} \right)$.
આમ,$a = -\frac{2}{5}$ અને $b = -\frac{4}{5}$.
તેથી,$a+2b = -\frac{2}{5} + 2\left( -\frac{4}{5} \right) = -\frac{10}{5} = -2$.

(D) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબછેદી હોય તેની શરત $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2-2x+2y-2=0$ માટે,$g_2=-1, f_2=1, c_2=-2$. શરત મુજબ: $2g(-1)+2f(1)=c-2 \Rightarrow -2g+2f=c-2$ (સમીકરણ $1$).
બીજા વર્તુળ $x^2+y^2+4x-6y+9=0$ માટે,$g_3=2, f_3=-3, c_3=9$. શરત મુજબ: $2g(2)+2f(-3)=c+9 \Rightarrow 4g-6f=c+9$ (સમીકરણ $2$).
કેન્દ્ર $(-g, -f)$ એ $2x+3y-2=0$ પર હોવાથી,$2(-g)+3(-f)-2=0 \Rightarrow -2g-3f=2$ (સમીકરણ $3$).
સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $f=-1, g=1/2, c=-1$ મળે છે.
તેથી $2g+f = 2(1/2)+(-1) = 0$.
વિકલ્પો તપાસતા: $c-f = -1-(-1) = 0$. તેથી,$2g+f = c-f$.

(A) ધારો કે $C_1 = A(1, 2)$ અને $r_1 = 3$. ધારો કે $C_2 = B(-1, -1)$ અને $r_2 = r$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d$ છે,જ્યાં $d^2 = (1 - (-1))^2 + (2 - (-1))^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$.
બે વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{d^2 - r_1^2 - r_2^2}{2 r_1 r_2}$ છે.
આપેલ છે કે $\theta = \frac{\pi}{3}$,તેથી $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} = \frac{13 - 3^2 - r^2}{2 \times 3 \times r}$.
$\frac{1}{2} = \frac{13 - 9 - r^2}{6r} = \frac{4 - r^2}{6r}$.
$3r = 4 - r^2 \Rightarrow r^2 + 3r - 4 = 0$.
$(r + 4)(r - 1) = 0$.
ત્રિજ્યા $r > 0$ હોવાથી,$r = 1$.
આમ,$r$ માટે માત્ર $1$ શક્ય મૂલ્ય છે.

(C) વર્તુળ $x^2+y^2+2x-4y+1=0$ માટે,$g_1=1, f_1=-2, c_1=1$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-4x-2y+c=0$ માટે,$g_2=-2, f_2=-1, c_2=c$ છે.
બે વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos(\theta) = \frac{c_1+c_2-2(g_1g_2+f_1f_2)}{2\sqrt{g_1^2+f_1^2-c_1}\sqrt{g_2^2+f_2^2-c_2}}$ છે.
અહીં $\theta = \frac{\pi}{4}$ આપેલ છે,તેથી $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1+c-2((1)(-2)+(-2)(-1))}{2\sqrt{1^2+(-2)^2-1}\sqrt{(-2)^2+(-1)^2-c}}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1+c-2(-2+2)}{2\sqrt{4}\sqrt{5-c}} = \frac{1+c}{4\sqrt{5-c}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{2} = \frac{(1+c)^2}{16(5-c)}$.
$8(5-c) = (1+c)^2 \Rightarrow 40-8c = 1+2c+c^2$.
$c^2+10c-39=0$.
$(c+13)(c-3)=0$.
આમ,$c=3$ અથવા $c=-13$.

(C) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-4x+2fy+1=0$ અને $S_2: x^2+y^2+2gx-4y-1=0$ છે.
$x^2+y^2+2g_ix+2f_iy+c_i=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$g_1=-2, f_1=f, c_1=1$
$g_2=g, f_2=-2, c_2=-1$
વર્તુળો લંબ છેદતા હોવાથી,શરત $2(g_1g_2+f_1f_2)=c_1+c_2$ છે.
$2((-2)(g) + (f)(-2)) = 1 + (-1)$
$2(-2g-2f) = 0 \implies g+f=0 \implies f=-g$.
ત્રિજ્યાના વર્ગ $r_1^2 = g_1^2+f_1^2-c_1 = (-2)^2+f^2-1 = 3+f^2$ અને $r_2^2 = g_2^2+f_2^2-c_2 = g^2+(-2)^2-(-1) = g^2+5$ છે.
$r_1^2+r_2^2 = 3+f^2+g^2+5 = 8+f^2+g^2$.
$f=-g$ હોવાથી,$f^2=g^2$,તેથી $r_1^2+r_2^2 = 8+2g^2$.
આમ,$r_1^2+r_2^2-8 = 2g^2$.

(A) ધારો કે $(0,0)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy=0$ છે ...$(i)$.
આપેલ વર્તુળો $x^2+y^2+6x-15=0$ ...$(ii)$ અને $x^2+y^2-8y-10=0$ ...$(iii)$ છે.
વર્તુળ $(i)$ અને $(ii)$ લંબચ્છેદી હોવાથી,શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ મુજબ:
$2(g)(3) + 2(f)(0) = 0 + (-15)$ $\Rightarrow 6g = -15$ $\Rightarrow g = -\frac{5}{2}$.
વર્તુળ $(i)$ અને $(iii)$ લંબચ્છેદી હોવાથી:
$2(g)(0) + 2(f)(-4) = 0 + (-10)$ $\Rightarrow -8f = -10$ $\Rightarrow f = \frac{5}{4}$.
$g$ અને $f$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$x^2+y^2+2(-\frac{5}{2})x+2(\frac{5}{4})y = 0$.
$x^2+y^2-5x+\frac{5}{2}y = 0$.
$2$ વડે ગુણતા,$2(x^2+y^2)-10x+5y=0$ મળે છે.

(C) આપેલ વર્તુળો $(x-1)^2+(y-1)^2=1$,$(x+1)^2+(y-1)^2=1$,$(x-1)^2+(y+1)^2=1$,અને $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ છે. આ વર્તુળોની ત્રિજ્યા $1$ છે અને કેન્દ્રો $(\pm 1, \pm 1)$ પર છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી કેન્દ્રોનું અંતર $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ છે.
સૌથી નાનું વર્તુળ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત છે અને આ ચાર વર્તુળોને સ્પર્શે છે. તેની ત્રિજ્યા $r$ એ ઉગમબિંદુથી આપેલ વર્તુળોના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર ઓછા તે વર્તુળોની ત્રિજ્યા છે: $r = \sqrt{2} - 1$.
સૌથી મોટું વર્તુળ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત છે અને આ ચાર વર્તુળોને સમાવે છે. તેની ત્રિજ્યા $R$ એ ઉગમબિંદુથી આપેલ વર્તુળોના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર વત્તા તે વર્તુળોની ત્રિજ્યા છે: $R = \sqrt{2} + 1$.
ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{\pi R^2}{\pi r^2} = \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2}-1)^2} = \frac{2+1+2\sqrt{2}}{2+1-2\sqrt{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}$ છે.

(B) ધારો કે $C_1$ અને $C_2$ એ બે વર્તુળોના કેન્દ્રો છે. કારણ કે $BP$ અને $BQ$ વ્યાસ છે,$C_1$ એ $BP$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $C_2$ એ $BQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$\triangle BPQ$ માં,$C_1$ અને $C_2$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $BP$ અને $BQ$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય દ્વારા,$PQ \parallel C_1C_2$.
કેન્દ્રોને જોડતી રેખા $C_1C_2$ એ રેડિકલ અક્ષ $AB$ ને લંબ છે.
તેથી,$PQ$ એ રેડિકલ અક્ષ $AB$ ને લંબ છે.
જો રેડિકલ અક્ષનો ઢાળ $m_1 = 3/4$ હોય અને $PQ$ નો ઢાળ $m_2 = a/b$ હોય,તો $m_1 \times m_2 = -1$.
$\frac{3}{4} \times \frac{a}{b} = -1$
$\frac{3a}{4b} = -1$
$3a = -4b$
$3a + 4b = 0$.

(A) ધારો કે માંગેલ વર્તુળ $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2g_i x+2f_i y+c_i=0$ ને લંબચ્છેદી હોવાની શરત $2gg_i+2ff_i=c+c_i$ છે.
આપેલ વર્તુળો:
$S_1: x^2+y^2-4=0 \Rightarrow g_1=0, f_1=0, c_1=-4$
$S_2: x^2+y^2-2x-3=0 \Rightarrow g_2=-1, f_2=0, c_2=-3$
$S_3: x^2+y^2-2y-3=0 \Rightarrow g_3=0, f_3=-1, c_3=-3$
શરત લાગુ પાડતા:
$1$) $S_1$ માટે: $2g(0)+2f(0)=c-4 \Rightarrow c=4$.
$2$) $S_2$ માટે: $2g(-1)+2f(0)=c-3$ $\Rightarrow -2g=4-3=1$ $\Rightarrow g=-1/2$.
$3$) $S_3$ માટે: $2g(0)+2f(-1)=c-3$ $\Rightarrow -2f=4-3=1$ $\Rightarrow f=-1/2$.
હવે,વર્તુળ $S$ ની ત્રિજ્યા $r$ ચકાસતા:
$r^2 = g^2+f^2-c = (-1/2)^2+(-1/2)^2-4 = 1/4+1/4-4 = 1/2-4 = -7/2$.
$r^2 < 0$ હોવાથી,કોઈ વાસ્તવિક વર્તુળ શક્ય નથી.
આમ,આવા વર્તુળોની સંખ્યા $0$ છે.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 4x + 16y - 30 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$2g = 4$,$2f = 16$ અને $c = -30$ મળે છે.
તેથી,$g = 2$,$f = 8$ અને $c = -30$.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C_1 = (-g, -f) = (-2, -8)$ છે.
આ વર્તુળની ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{2^2 + 8^2 - (-30)} = \sqrt{4 + 64 + 30} = \sqrt{98}$ છે.
ધારો કે બીજા વર્તુળનું કેન્દ્ર $C_2 = (1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d$ માટે $d^2 = (1 - (-2))^2 + (2 - (-8))^2 = 3^2 + 10^2 = 9 + 100 = 109$ થાય.
બે વર્તુળો લંબછેદી હોવાથી,શરત $d^2 = r_1^2 + r_2^2$ નું પાલન થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,$109 = 98 + r_2^2$.
$r_2^2 = 109 - 98 = 11$.
તેથી,$r_2 = \sqrt{11}$.

(A) ધારો કે આપેલ વર્તુળ $S_1: x^2+y^2-8x-6y+23=0$ છે. $S_1$ નું કેન્દ્ર $(4, 3)$ છે.
જો વર્તુળ $S_2$ એ $S_1$ ના પરિઘને દુભાગતું હોય,તો $S_1$ અને $S_2$ ની રેડિકલ અક્ષ $S_1$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થવી જોઈએ.
રેડિકલ અક્ષ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $A$ માટે,$S_2: x^2+y^2-6x-4y+9=0$.
રેડિકલ અક્ષ $(x^2+y^2-8x-6y+23) - (x^2+y^2-6x-4y+9) = 0$ છે.
આનું સાદું રૂપ $-2x - 2y + 14 = 0$ અથવા $x + y - 7 = 0$ થાય છે.
કેન્દ્ર $(4, 3)$ ને રેડિકલ અક્ષના સમીકરણમાં મૂકતા: $4 + 3 - 7 = 0$.
કેન્દ્ર સમીકરણનું સમાધાન કરતું હોવાથી,વર્તુળ $x^2+y^2-6x-4y+9=0$ એ $S_1$ ના પરિઘને દુભાગે છે.

(B) ધારો કે જરૂરી વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ છે. તે $Y$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = |h|$ છે. તેથી,સમીકરણ $(x-h)^2+(y-k)^2=h^2$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2-2hx-2ky+k^2=0$ થાય છે.
તે $(3,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$(3-h)^2+(0-k)^2=h^2$,જેનું સાદું રૂપ $9-6h+k^2=0$ અથવા $k^2=6h-9$ ... $(i)$ મળે છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-6x+4y-3=0$ માટે $g_2=-3, f_2=2, c_2=-3$ છે. જરૂરી વર્તુળ માટે $g_1=-h, f_1=-k, c_1=k^2$ છે.
લંબછેદી છેદન માટે,$2(g_1g_2+f_1f_2) = c_1+c_2$.
કિંમતો મૂકતા: $2((-h)(-3)+(-k)(2)) = k^2-3$,જે $6h-4k = k^2-3$ આપે છે.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $k^2=6h-9$ ને આ સમીકરણમાં મૂકતા: $6h-4k = (6h-9)-3$,જેનું સાદું રૂપ $-4k = -12$ થાય છે,તેથી $k=3$.
$k=3$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $9-6h+9=0$,તેથી $6h=18$,$h=3$.
કેન્દ્ર $(3,3)$ છે અને ત્રિજ્યા $3$ છે.
સમીકરણ $(x-3)^2+(y-3)^2=3^2$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2-6x-6y+9=0$ થાય છે.

(B) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$C_1: x^2+y^2-6x-8y-12=0$
$C_2: x^2+y^2-4x+6y+k=0$
સામાન્ય સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા:
$C_1$ માટે: $g_1 = -3, f_1 = -4, c_1 = -12$
$C_2$ માટે: $g_2 = -2, f_2 = 3, c_2 = k$
બે વર્તુળો લંબ હોય ત્યારે શરત: $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$.
કિંમતો મૂકતા:
$2(-3)(-2) + 2(-4)(3) = -12 + k$
$12 - 24 = -12 + k$
$-12 = -12 + k$
$k = 0$

(A) આપેલ વર્તુળો $C_1: x^2+y^2+2x+4y+1=0$ અને $C_2: x^2+y^2-2x+6y-3=0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા:
$C_1$ માટે: $g_1=1, f_1=2, c_1=1$. કેન્દ્ર $O_1=(-1, -2)$,ત્રિજ્યા $r_1=\sqrt{1^2+2^2-1}=2$.
$C_2$ માટે: $g_2=-1, f_2=3, c_2=-3$. કેન્દ્ર $O_2=(1, -3)$,ત્રિજ્યા $r_2=\sqrt{(-1)^2+3^2-(-3)}=\sqrt{13}$.
કેન્દ્રો $O_1(-1, -2)$ અને $O_2(1, -3)$ વચ્ચેનું અંતર $d=\sqrt{(1-(-1))^2+(-3-(-2))^2}=\sqrt{5}$.
વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \left|\frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2r_1r_2}\right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\cos \theta = \left|\frac{5-4-13}{2 \times 2 \times \sqrt{13}}\right| = \frac{3}{\sqrt{13}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)$.

(A) ધારો કે $S_1 \equiv x^2+y^2+8x+8y-m=0$ અને $S_2 \equiv x^2+y^2-2x+4y+n=0$.
બે વર્તુળોની સામાન્ય જીવા $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2+8x+8y-m) - (x^2+y^2-2x+4y+n) = 0$.
$10x + 4y - (m+n) = 0$.
કારણ કે વર્તુળ $S_1$ નો પરિઘ વર્તુળ $S_2$ દ્વારા દુભાગે છે,તેથી સામાન્ય જીવા વર્તુળ $S_1$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થવી જોઈએ.
$S_1$ નું કેન્દ્ર $(-4, -4)$ છે.
સામાન્ય જીવાના સમીકરણમાં $(-4, -4)$ મૂકતા:
$10(-4) + 4(-4) = m+n$.
$-40 - 16 = m+n$.
$m+n = -56$.

(D) બે વર્તુળો બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટે,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2$ એ શરત સંતોષવી જોઈએ: $|r_1 - r_2| < C_1C_2 < r_1 + r_2$.
પ્રથમ વર્તુળ $(x-1)^2+(y-3)^2=r^2$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (1, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = r$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^2+y^2-8x+2y+8=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (-g, -f) = (4, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-4)^2+(1)^2-8} = \sqrt{16+1-8} = \sqrt{9} = 3$ છે.
કેન્દ્રો $C_1(1, 3)$ અને $C_2(4, -1)$ વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(4-1)^2+(-1-3)^2} = \sqrt{3^2+(-4)^2} = \sqrt{9+16} = 5$ છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા: $|r - 3| < 5 < r + 3$.
$5 < r + 3$ પરથી,આપણને $r > 2$ મળે છે.
$|r - 3| < 5$ પરથી,આપણને $-5 < r - 3 < 5$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $-2 < r < 8$. કારણ કે $r$ ધન હોવું જોઈએ,$0 < r < 8$.
$r > 2$ અને $0 < r < 8$ ને જોડતા,આપણને $2 < r < 8$ મળે છે.

(D) ધારો કે જરૂરી વર્તુળ $S: x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે. તે $S_1: x^2+y^2+4x+3=0$ અને $S_2: x^2+y^2-12x+35=0$ ને લંબ હોવાથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ એ $S_1$ અને $S_2$ ની રેડિકલ અક્ષ પર હોવું જોઈએ.
રેડિકલ અક્ષ $S_1 - S_2 = 0$ છે,જે $(4x+3) - (-12x+35) = 0$ આપે છે,તેથી $16x - 32 = 0$,અથવા $x = 2$.
આમ,જરૂરી વર્તુળનું કેન્દ્ર $(2, k)$ છે.
વર્તુળ $S_1$ ને લંબ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r$ એ $r^2 = S_1(2, k) = 2^2 + k^2 + 4(2) + 3 = 4 + k^2 + 8 + 3 = k^2 + 15$ નું પાલન કરે છે.
જ્યારે $k = 0$ હોય ત્યારે ત્રિજ્યા ન્યૂનતમ થાય છે,જે $r^2 = 15$ આપે છે,તેથી $r = \sqrt{15}$.
આમ,ન્યૂનતમ ત્રિજ્યા $\sqrt{15}$ છે.

(A) બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબછેદી હોય જો $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ હોય.
પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2-6x-8y+12=0$ માટે,$g_1=-3, f_1=-4, c_1=12$ મળે.
બીજા વર્તુળ $x^2+y^2-4x+6y+k=0$ માટે,$g_2=-2, f_2=3, c_2=k$ મળે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$2(-3)(-2) + 2(-4)(3) = 12 + k$
$2(6) + 2(-12) = 12 + k$
$12 - 24 = 12 + k$
$-12 = 12 + k$
$k = -24$.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ...$(i)$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
કેન્દ્ર રેખા $2x+3y-7=0$ પર હોવાથી,$2(-g)+3(-f)-7=0$,એટલે કે $2g+3f+7=0$ ...(ii).
બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબચ્છેદી હોય તો $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ થાય.
પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2-4x-6y+11=0$ માટે,$2g(-2)+2f(-3)=c+11$,જે $4g+6f+c+11=0$ ...(iii) માં પરિણમે છે.
બીજા વર્તુળ $x^2+y^2-10x-4y+21=0$ માટે,$2g(-5)+2f(-2)=c+21$,જે $10g+4f+c+21=0$ ...(iv) માં પરિણમે છે.
(iv) માંથી (iii) બાદ કરતા,$6g-2f+10=0$,એટલે કે $3g-f+5=0$ ...$(v)$ મળે.
(ii) પરથી,$2g+3f=-7$. $(v)$ પરથી,$f=3g+5$. (ii) માં મૂકતા: $2g+3(3g+5)=-7$ $\Rightarrow 11g+15=-7$ $\Rightarrow 11g=-22$ $\Rightarrow g=-2$.
તેથી $f=3(-2)+5=-1$. $g=-2, f=-1$ ને (iii) માં મૂકતા: $4(-2)+6(-1)+c+11=0$ $\Rightarrow -8-6+c+11=0$ $\Rightarrow c-3=0$ $\Rightarrow c=3$.
અંતે,$5g-10f+3c = 5(-2)-10(-1)+3(3) = -10+10+9 = 9$.

(A) ધારો કે આપેલ વર્તુળો છે:
$S_1: x^2+y^2+4x-7=0$
$S_2: x^2+y^2+\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}y-\frac{9}{2}=0$
$S_3: x^2+y^2+y=0$
આ વર્તુળોને લંબચ્છેદતા વર્તુળનું કેન્દ્ર એ $S_1, S_2$ અને $S_3$ નું રેડિકલ કેન્દ્ર છે.
$S_1$ અને $S_2$ ની રેડિકલ ધરી $S_1-S_2=0$ છે:
$(4-\frac{3}{2})x - \frac{5}{2}y - 7 + \frac{9}{2} = 0 \Rightarrow x-y-1=0 \dots(i)$
$S_2$ અને $S_3$ ની રેડિકલ ધરી $S_2-S_3=0$ છે:
$\frac{3}{2}x + \frac{3}{2}y - \frac{9}{2} = 0 \Rightarrow x+y-3=0 \dots(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા,આપણને $x=2$ અને $y=1$ મળે છે. રેડિકલ કેન્દ્ર $(2,1)$ છે.
જરૂરી વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ $(2,1)$ થી $S_3$ પર દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ છે:
$r^2 = 2^2+1^2+1 = 6$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-2)^2+(y-1)^2 = 6$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2-4x-2y-1=0$ થાય છે.

(B) બે વર્તુળોના કેન્દ્રો $C_1(-\lambda, 0)$ અને $C_2(0, -2)$ છે અને તેમની ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \sqrt{\lambda^2-2}$ અને $r_2 = \sqrt{2}$ છે.
બે વર્તુળો એકબીજાને સ્પર્શે જો તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2$ તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા અથવા તફાવત જેટલું હોય: $C_1C_2 = |r_1 \pm r_2|$.
અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(-\lambda - 0)^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{\lambda^2 + 4}$.
$C_1C_2 = r_1 + r_2$ લેતા:
$\sqrt{\lambda^2 + 4} = \sqrt{\lambda^2 - 2} + \sqrt{2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\lambda^2 + 4 = (\lambda^2 - 2) + 2 + 2\sqrt{2(\lambda^2 - 2)}$
$\lambda^2 + 4 = \lambda^2 + 2\sqrt{2(\lambda^2 - 2)}$
$4 = 2\sqrt{2(\lambda^2 - 2)}$
$2 = \sqrt{2(\lambda^2 - 2)}$
ફરીથી વર્ગ કરતા:
$4 = 2(\lambda^2 - 2)$
$2 = \lambda^2 - 2$
$\lambda^2 = 4 \Rightarrow \lambda = \pm 2$.

(C) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$x^2+y^2-4x-2y+1=0 \quad \dots (i)$
$x^2+y^2-6x-4y+4=0 \quad \dots (ii)$
વર્તુળ $(i)$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (2, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{2^2+1^2-1} = 2$.
વર્તુળ $(ii)$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (3, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{3^2+2^2-4} = 3$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(3-2)^2+(2-1)^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.
અહીં $|r_1-r_2| < C_1C_2 < r_1+r_2$ હોવાથી,વર્તુળો બે બિંદુઓમાં છેદે છે. સામાન્ય સ્પર્શકો એ બાહ્ય સ્પર્શકો છે.
બાહ્ય સામાન્ય સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ કેન્દ્રોને જોડતી રેખાનું $r_1:r_2$ ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરે છે.
ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે. બાહ્ય વિભાજનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{r_1x_2 - r_2x_1}{r_1-r_2} = \frac{2(3) - 3(2)}{2-3} = \frac{6-6}{-1} = 0$
$y = \frac{r_1y_2 - r_2y_1}{r_1-r_2} = \frac{2(2) - 3(1)}{2-3} = \frac{4-3}{-1} = -1$
આમ,છેદબિંદુ $(0, -1)$ છે.

(A) આપેલ છે કે,વર્તુળ $S=0$ એ વર્તુળ $x^2+y^2-4x+2y-7=0$ ને લંબછેદી રીતે છેદે છે અને વર્તુળ $S=0$ નું કેન્દ્ર $(2,3)$ છે.
ધારો કે વર્તુળ $S=0$ નું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે. કેન્દ્ર $(-g, -f) = (2,3)$ હોવાથી,$g=-2$ અને $f=-3$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે,જો બે વર્તુળો $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ અને $x^2+y^2+2g'x+2f'y+c'=0$ લંબછેદી હોય,તો $2gg'+2ff'=c+c'$ થાય.
અહીં,$(g, f) = (-2, -3)$ અને આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-4x+2y-7=0$ માટે,$(g', f') = (-2, 1)$ અને $c' = -7$ છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$2(-2)(-2) + 2(-3)(1) = c - 7$
$8 - 6 = c - 7$
$2 = c - 7$
$c = 9$
વર્તુળ $S=0$ ની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ દ્વારા મળે છે.
$r = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 - 9} = \sqrt{4 + 9 - 9} = \sqrt{4} = 2$.

(B) ધારો કે જરૂરી વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ $(i)$ છે.
વર્તુળ $(3,2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $6g+4f+c+13=0$ $(ii)$.
વર્તુળ $x^2+y^2=15$ ના પરિઘને દુભાગે છે,તેથી સામાન્ય જીવા તેના કેન્દ્ર $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,એટલે કે $c+15=0$,તેથી $c=-15$ $(iii)$.
વર્તુળ $x^2+y^2+4x+6y+3=0$ ને લંબછેદી રીતે કાપે છે,તેથી $4g+6f=c+3$ $(iv)$.
$c=-15$ મૂકતા,$4g+6f=-12$ એટલે કે $2g+3f=-6$.
સમીકરણ $(ii)$ માં $c=-15$ મૂકતા,$6g+4f=2$ એટલે કે $3g+2f=1$.
આ ઉકેલતા $g=3, f=-4$ મળે છે. તેથી સમીકરણ $x^2+y^2+6x-8y-15=0$ છે.

(A) આપેલા વર્તુળોના સમીકરણો $x^2+y^2+2x+4y-20=0$ અને $x^2+y^2+6x-8y+10=0$ છે.
લંબકોણીયતાની શરત $2g_1g_2+2f_1f_2 = c_1+c_2$ મુજબ,$2(1)(3)+2(2)(-4) = -10$ અને $c_1+c_2 = -10$ મળે છે.
તેથી,વર્તુળો લંબકોણીય રીતે છેદે છે અને બે સામાન્ય સ્પર્શકો ધરાવે છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $2x-6y+15=0$ છે.
કેન્દ્ર $C_1(-1, -2)$ થી જીવાનું અંતર $d = \frac{25}{\sqrt{40}}$ છે.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r_1^2-d^2} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે. $(i)$
વર્તુળ $X$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,ત્રિજ્યા એ કેન્દ્રના $y$-યામના માનાંક જેટલી હોય,તેથી $r^2 = f^2$. આમ,$g^2+f^2-c = f^2$,જેનો અર્થ છે કે $c = g^2$. $(ii)$
વર્તુળ $(2,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $4+0+4g+0+c=0$,જે $c = -4g-4$ આપે છે. $(iii)$
$(ii)$ અને $(iii)$ ને સરખાવતા,$g^2 = -4g-4$,તેથી $g^2+4g+4=0$,જેનો અર્થ છે કે $(g+2)^2=0$,તેથી $g=-2$. $g=-2$ ને $(ii)$ માં મૂકતા,$c=(-2)^2=4$ મળે છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-2x-2y-2=0$ માટે $g_1=-1, f_1=-1, c_1=-2$ છે. લંબચ્છેદી હોવાની શરત $2g_1g_2+2f_1f_2 = c_1+c_2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2(-1)(-2) + 2(-1)(f) = -2 + 4$,જેનું સાદું રૂપ $4 - 2f = 2$ થાય છે,તેથી $2f = 2$,જે $f=1$ આપે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-(-2), -1) = (2, -1)$ છે.

(D) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-4x-6y-3=0$ અને $S_2: x^2+y^2+8x-4y+\lambda=0$ છે.
કેન્દ્રો $C_1(2, 3)$ અને $C_2(-4, 2)$ છે.
ત્રિજ્યાઓ $r_1=4$ અને $r_2=\sqrt{20-\lambda}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d=\sqrt{37}$ છે.
ખૂણાના સૂત્ર $\cos 60^{\circ} = \frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2r_1r_2}$ નો ઉપયોગ કરતા,
$\frac{1}{2} = \frac{37-16-(20-\lambda)}{8\sqrt{20-\lambda}} \implies 1+\lambda = 4\sqrt{20-\lambda}$.
વર્ગ કરતા,$\lambda^2+18\lambda-319=0$ મળે છે.
ઉકેલતા $\lambda = -29$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$S_1: x^2+y^2+kx+4y+2=0$
$S_2: x^2+y^2-2x-\frac{3}{2}y+\frac{k}{2}=0$
બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબછેદી હોય તેની શરત $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ છે.
અહીં,$g_1 = \frac{k}{2}, f_1 = 2, c_1 = 2$ અને $g_2 = -1, f_2 = -\frac{3}{4}, c_2 = \frac{k}{2}$.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$2(\frac{k}{2})(-1) + 2(2)(-\frac{3}{4}) = 2 + \frac{k}{2}$
$-k - 3 = 2 + \frac{k}{2}$
$-5 = k + \frac{k}{2}$
$-5 = \frac{3k}{2}$
$k = -\frac{10}{3}$.

(A) વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-2px=0$ અને $S_2: x^2+y^2-2qy=0$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ છે.
$(x^2+y^2-2px) + \lambda(x^2+y^2-2qy) = 0$
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 - 2px - 2\lambda qy = 0$
$(1+\lambda)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $x^2+y^2 - \frac{2p}{1+\lambda}x - \frac{2\lambda q}{1+\lambda}y = 0$.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(\frac{p}{1+\lambda}, \frac{\lambda q}{1+\lambda})$ છે.
કેન્દ્ર $\frac{x}{p} - \frac{y}{q} = 2$ પર હોવાથી,યામ મૂકતા:
$\frac{1}{p} \cdot \frac{p}{1+\lambda} - \frac{1}{q} \cdot \frac{\lambda q}{1+\lambda} = 2$
$\frac{1-\lambda}{1+\lambda} = 2 \implies 1-\lambda = 2+2\lambda \implies \lambda = -\frac{1}{3}$.
$\lambda = -\frac{1}{3}$ કિંમત મૂકતા,સમીકરણ $x^2+y^2-3px+qy = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે વર્તુળ $S$ એ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
વર્તુળ $S$ આપેલા વર્તુળોને લંબચ્છેદી હોવાથી,શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ નો ઉપયોગ કરતા.
$x^2+y^2-4x-2y+4=0$ માટે: $2g(-2) + 2f(-1) = c+4 \Rightarrow -4g-2f = c+4$ $(i)$.
$x^2+y^2-2x-4y+1=0$ માટે: $2g(-1) + 2f(-2) = c+1 \Rightarrow -2g-4f = c+1$ $(ii)$.
$x^2+y^2+4x+2y+1=0$ માટે: $2g(2) + 2f(1) = c+1 \Rightarrow 4g+2f = c+1$ $(iii)$.
$(i)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા,$0 = 2c+5$,તેથી $c = -\frac{5}{2}$.
$c$ ની કિંમત $(iii)$ માં મુકતા: $4g+2f = -\frac{5}{2}+1 = -\frac{3}{2} \Rightarrow 8g+4f = -3$ $(iv)$.
$c$ ની કિંમત $(ii)$ માં મુકતા: $-2g-4f = -\frac{5}{2}+1 = -\frac{3}{2} \Rightarrow 4g+8f = 3$ $(v)$.
$(iv)$ અને $(v)$ નો સરવાળો કરતા: $12g+12f = 0 \Rightarrow g = -f$.
$g = -f$ ને $(iv)$ માં મુકતા: $-8f+4f = -3$ $\Rightarrow -4f = -3$ $\Rightarrow f = \frac{3}{4}, g = -\frac{3}{4}$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-\frac{3}{4})^2 + (\frac{3}{4})^2 - (-\frac{5}{2})} = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{9}{16} + \frac{40}{16}} = \sqrt{\frac{58}{16}} = \sqrt{\frac{29}{8}}$.

(B) આપેલ વર્તુળો $C_1: x^2+y^2-2x+4y+1=0$ અને $C_2: x^2+y^2-4x-2y+4=0$ છે.
કેન્દ્રો $C_1(1, -2)$ અને $C_2(2, 1)$ છે.
ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 2$ અને $r_2 = 1$ છે.
સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ $y-mx-c=0$ લેતા.
કેન્દ્રથી સ્પર્શકનું અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોય છે:
$\frac{|-2-m-c|}{\sqrt{1+m^2}} = 2$ અને $\frac{|1-2m-c|}{\sqrt{1+m^2}} = 1$.
સીધા સામાન્ય સ્પર્શક માટે,$\frac{-2-m-c}{\sqrt{1+m^2}} = 2$ અને $\frac{1-2m-c}{\sqrt{1+m^2}} = 1$.
બાદબાકી કરતા: $\frac{-3+m}{\sqrt{1+m^2}} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $m^2-6m+9 = 1+m^2$,તેથી $6m = 8$,એટલે કે $m = \frac{4}{3}$.