किसी भी पूर्णांक n के लिए,समाकलन int_0^pi e^{ | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^\pi e^{\cos^2 x} \cos^3((2n+1)x) \, dx \quad \dots(1)$गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:$I =

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(C) माना $I = \int_0^\pi e^{\cos^2 x} \cos^3((2n+1)x) \, dx \quad \dots(1)$गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_0^\pi e^{\cos^2(\pi-x)} \cos^3((2n+1)(\pi-x)) \, dx$चूँकि $\cos(\pi-x) = -\cos x$,इसलिए $\cos^2(\pi-x) = \cos^2 x$ होता है।साथ ही,$\cos((2n+1)(\pi-x)) = \cos((2n+1)\pi - (2n+1)x)$।$(2n+1)$ एक विषम पूर्णांक है,इसलिए $\cos((2n+1)\pi - 	heta) = -\cos 	heta$ होता है।अतः,$\cos^3((2n+1)\pi - (2n+1)x) = (-\cos((2n+1)x))^3 = -\cos^3((2n+1)x)$।इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int_0^\pi e^{\cos^2 x} (-\cos^3((2n+1)x)) \, dx$$I = -\int_0^\pi e^{\cos^2 x} \cos^3((2n+1)x) \, dx \quad \dots(2)$$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:$I + I = 0 \implies 2I = 0 \implies I = 0$.

किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,समाकलन $\int_0^\pi e^{\cos^2 x} \cos^3(2n+1)x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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