मान लीजिए Gamma वक्र y=b e^{-x/a} है और L सरल | vedclass

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Question

(A) दिया गया वक्र $\Gamma: y = b e^{-x/a}$ है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a} e^{-x/a}$ प्राप्त होता है।जहाँ वक्र $y$-अक्ष

Vedclass · Accepted Answer

$L$,वक्र $\Gamma$ को उस बिंदु पर स्पर्श करता है जहाँ वक्र $y$-अक्ष को काटता है।

Vedclass · Answer

(A) दिया गया वक्र $\Gamma: y = b e^{-x/a}$ है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a} e^{-x/a}$ प्राप्त होता है।जहाँ वक्र $y$-अक्ष को काटता है,वहाँ $x = 0$,इसलिए $y = b e^0 = b$ है।$(0, b)$ बिंदु पर स्पर्श रेखा की ढाल $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = -\frac{b}{a}$ है।$(0, b)$ बिंदु पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - b = -\frac{b}{a}(x - 0)$ है,जो सरल होकर $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ हो जाता है।यह रेखा $L$ का समीकरण है,अतः $L$,$\Gamma$ को $(0, b)$ पर स्पर्श करता है।चूँकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $e^{-x/a} > 0$ है,इसलिए $y = b e^{-x/a}$ कभी भी $0$ नहीं होता है। अतः,$\Gamma$ कभी भी $x$-अक्ष को स्पर्श नहीं करता है।इसलिए,दिए गए विकल्पों में से $A$ और $D$ दोनों गणितीय रूप से सही हैं।

मान लीजिए $\Gamma$ वक्र $y=b e^{-x/a}$ है और $L$ सरल रेखा $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ है,जहाँ $a, b \in \mathbb{R}$। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

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वक्र $y=ax^3+bx^2+cx+5$,$X$-अक्ष को $P(-2,0)$ पर स्पर्श करता है और $Y$-अक्ष को बिंदु $Q$ पर काटता है,जहाँ इसकी प्रवणता $3$ है,तो:

वक्र $y = x^4$ के लिए बिंदु $(2, 0)$ (जो वक्र पर स्थित नहीं है) से खींची गई स्पर्श रेखा का समीकरण है

यदि $ab \neq 0$ है,तो वक्र $\left(\frac{x}{a}\right)^n + \left(\frac{y}{b}\right)^n = 2$ के बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण क्या होगा?

वक्र $y=\frac{2}{3} x^3+\frac{1}{2} x^2$ पर वे बिंदु,जहाँ स्पर्श रेखाएँ निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती हैं,हैं

वक्रों $y^2 = \frac{2x}{\pi}$ और $y = \sin x$ के प्रतिच्छेदन का कोण ज्ञात कीजिए।

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