समीकरण $2^x+5^x=3^x+4^x$ के

$f:[1,3] \rightarrow R$ एक फलन है जिसे $f(x)=x^3+a x^2+b x$ के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि $f(1)-f(3)=0$ और $f^{\prime}\left(\frac{2 \sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\right)=0$ है,तो $a-b$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f: R \rightarrow R$ एक दो बार अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in R$ के लिए $f^{\prime \prime}(x) > 0$ है,और $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$,$f(1) = 1$ है,तो

फलन $f(x) = |x - 2| + |x - 5|, x \in R$ पर विचार करें।
कथन-$1$: $f'(4) = 0$.
कथन-$2$: $f$,$[2, 5]$ में सतत है,$(2, 5)$ में अवकलनीय है और $f(2) = f(5)$ है।

अंतराल $[1, 3]$ में फलन $f(x) = x^{3} - 5x^{2} - 3x$ के लिए माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) को सत्यापित कीजिए। सभी $c \in (1, 3)$ ज्ञात कीजिए जिनके लिए $f^{\prime}(c) = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$ हो।

यदि फलन $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$ के लिए अंतराल $x \in [0, 4]$ पर माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) लागू होता है,तो प्रमेय के अनुसार $c$ के मान ज्ञात कीजिए।