मान लीजिए I(R) = int_0^R e^{-R sin x} dx,जहाँ | vedclass

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Question

(D) फलन $f(x) = \sin x$ पर विचार करें। अंतराल $[0, \pi/2]$ पर,जॉर्डन की असमिका के अनुसार हम जानते हैं कि $\sin x \geq \frac{2x}{\pi}$ है।चूंकि $R > 0$

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$I(R)$ और $\frac{\pi}{2R}(1 - e^{-R})$ की तुलना नहीं की जा सकती

Vedclass · Answer

(D) फलन $f(x) = \sin x$ पर विचार करें। अंतराल $[0, \pi/2]$ पर,जॉर्डन की असमिका के अनुसार हम जानते हैं कि $\sin x \geq \frac{2x}{\pi}$ है।चूंकि $R > 0$ है,हमारे पास $-R \sin x \leq -R \frac{2x}{\pi}$ है।अतः,$e^{-R \sin x} \leq e^{-2Rx/\pi}$ है।दोनों पक्षों का $0$ से $\pi/2$ तक समाकलन करने पर $\int_0^{\pi/2} e^{-R \sin x} dx \leq \int_0^{\pi/2} e^{-2Rx/\pi} dx = \frac{\pi}{2R}(1 - e^{-R})$ प्राप्त होता है।हालाँकि,समाकलन $I(R)$ को $0$ से $R$ तक परिभाषित किया गया है। बड़े $R$ के लिए,समाकलन का व्यवहार $x=0$ के निकट के क्षेत्र द्वारा निर्धारित होता है जहाँ $\sin x \approx x$ होता है।विकास दरों और समाकलन की सीमाओं की तुलना करने पर,यह देखा गया है कि सामान्य $R > 0$ के लिए,$I(R)$ और व्यंजक $\frac{\pi}{2R}(1 - e^{-R})$ के मान सभी $R$ के लिए एक सुसंगत असमिका नहीं बनाए रखते हैं,जिससे वे सीधे तौर पर तुलना करने योग्य नहीं हैं।

मान लीजिए $I(R) = \int_0^R e^{-R \sin x} dx$,जहाँ $R > 0$ है। तो,

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यदि $\int_{-a}^{a} (|x| + |x-2|) dx = 22$,$(a > 2)$ और $[x]$ महत्तम पूर्णांक $\leq x$ को दर्शाता है,तो $\int_{a}^{-a} (x + [x]) dx$ का मान ........... है।

यदि $\int_{0}^{\pi} \log (\sin x) dx = 8 k$ है,तो $\int_{0}^{\pi / 4} \log (1 + \tan x) dx =$

यदि $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1 + \sin x + \cos x} = \ln 2$ दिया गया है,तो निश्चित समाकल $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1 + \sin x + \cos x} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\frac{\int_{0}^{\pi/2} (x \cos x + 1) e^{\sin x} dx}{\int_{0}^{\pi/2} (x \sin x + 1) e^{\cos x} dx}$ का निरपेक्ष मान - के बराबर है।

यदि $I_n = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{(1+\pi^x) \sin x} dx$,$n=0, 1, 2, \ldots$,तो
$(A)$ $I_n = I_{n+2}$
$(B)$ $\sum_{m=1}^{10} I_{2m+1} = 10\pi$
$(C)$ $\sum_{m=1}^{10} I_{2m} = 0$
$(D)$ $I_n = I_{n+1}$

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