मान लीजिए f एक अवकलनीय फलन है जहाँ lim _{x ri | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y f'(x) = f(x) f'(x)$ है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = f'

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$y+1=e^{-f(x)}+f(x)$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y f'(x) = f(x) f'(x)$ है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = f'(x)$ और $Q(x) = f(x) f'(x)$ है।समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int f'(x) dx} = e^{f(x)}$ है।हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।$y e^{f(x)} = \int f(x) f'(x) e^{f(x)} dx + C$.मान लीजिए $t = f(x)$,तब $dt = f'(x) dx$.$y e^{f(x)} = \int t e^t dt + C = e^t(t-1) + C$.$t = f(x)$ वापस रखने पर,हमें $y e^{f(x)} = e^{f(x)}(f(x)-1) + C$ प्राप्त होता है।दिया गया है कि $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0$ और $\lim_{x \rightarrow \infty} y(x) = 0$,इन सीमाओं को समीकरण में रखने पर:$0 \cdot e^0 = e^0(0-1) + C \Rightarrow 0 = -1 + C \Rightarrow C = 1$.अतः,$y e^{f(x)} = e^{f(x)}(f(x)-1) + 1$.$e^{f(x)}$ से भाग देने पर,हमें $y = f(x) - 1 + e^{-f(x)}$ प्राप्त होता है।पुनर्व्यवस्थित करने पर $y + 1 = f(x) + e^{-f(x)}$ प्राप्त होता है।

मान लीजिए $f$ एक अवकलनीय फलन है जहाँ $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0$ है। यदि $y^{\prime}+y f^{\prime}(x)-f(x) f^{\prime}(x)=0$ और $\lim _{x \rightarrow \infty} y(x)=0$ है,तो:

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यदि $x=f(y)$ अवकल समीकरण $(1+y^2)+(x-2 e^{\tan ^{-1} y}) \frac{d y}{d x}=0$,$y \in(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ का हल है और $f(0)=1$ है,तो $f(\frac{1}{\sqrt{3}})$ का मान ज्ञात कीजिए:

अवकल समीकरण $y' = y \tan x - 2 \sin x$ का हल है

$x \frac{dy}{dx} + 3y = x^2$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f : R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है,जैसे कि $f^{\prime}(x)+f(x)=\int \limits_0^2 f(t) dt$ है। यदि $f(0)=e^{-2}$ है,तो $2f(0)-f(2)$ का मान $.........$ है।

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