मान लीजिए f: mathbb{R} rightarrow mathbb{R} ए | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $f(0)=0$ और $f(1)=0$ है। रोले के प्रमेय के अनुसार,$(0, 1)$ में कम से कम एक $c_1$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime}(c_1)=0$ हो। हमें $f^{\

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किसी $c \in (0, 1)$ के लिए $f^{\prime \prime}(c)=0$

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(B) दिया गया है कि $f(0)=0$ और $f(1)=0$ है। रोले के प्रमेय के अनुसार,$(0, 1)$ में कम से कम एक $c_1$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime}(c_1)=0$ हो। हमें $f^{\prime}(0)=0$ भी दिया गया है। अब,अंतराल $[0, c_1]$ पर फलन $f^{\prime}(x)$ पर विचार करें। चूंकि $f$ दो बार सतत अवकलनीय है,इसलिए $f^{\prime}$ अंतराल $[0, c_1]$ पर सतत है और $(0, c_1)$ पर अवकलनीय है। हमारे पास $f^{\prime}(0)=0$ और $f^{\prime}(c_1)=0$ है। अंतराल $[0, c_1]$ पर $f^{\prime}(x)$ के लिए रोले का प्रमेय लागू करने पर,$(0, c_1)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime \prime}(c)=0$ हो। चूंकि $(0, c_1) \subset (0, 1)$,इसलिए $(0, 1)$ में कोई $c$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime \prime}(c)=0$ हो।

मान लीजिए $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ एक दो बार सतत अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0$ है। तो:

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$m > 1, n > 1$ के लिए,वह मान $c$ जिसके लिए फलन $f(x) = x^{2m-1}(a-x)^{2n}$ के अंतराल $(0, a)$ में रोले का प्रमेय लागू होता है,है

यदि फलन $f(x) = x + \frac{1}{x}$ के लिए अंतराल $x \in [1, 3]$ पर $L.M.V.T.$ लागू होता है,तो $c$ का मान क्या है?

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