यदि निम्नलिखित तीन रैखिक समीकरणों का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है,तो
$x+4ay+az=0$
$x+3by+bz=0$
$x+2cy+cz=0$

Question

(C) रैखिक समीकरणों के निकाय का गैर-तुच्छ हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।सारणिक इस प्रकार है:$\left|\begin{array}{ccc}1 & 4a &

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$a, b, c$ $HP$ में हैं

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(C) रैखिक समीकरणों के निकाय का गैर-तुच्छ हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।सारणिक इस प्रकार है:$\left|\begin{array}{ccc}1 & 4a & a \ 1 & 3b & b \ 1 & 2c & c\end{array}ight|=0$प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:$1(3bc - 2bc) - 1(4ac - 2ac) + 1(4ab - 3ab) = 0$व्यंजक को सरल करने पर:$(bc) - (2ac) + (ab) = 0$$bc + ab = 2ac$दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $a, b, c 
eq 0$):$\frac{bc}{abc} + \frac{ab}{abc} = \frac{2ac}{abc}$$\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}$यह स्थिति दर्शाती है कि $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ $AP$ में हैं,जिसका अर्थ है कि $a, b, c$ $HP$ में हैं।

यदि निम्नलिखित तीन रैखिक समीकरणों का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है,तो
$x+4ay+az=0$
$x+3by+bz=0$
$x+2cy+cz=0$

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समीकरण $\left| \begin{matrix} x & 0 & 8 \\ 4 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & x \end{matrix} \right| = 0$ के मूल किसके बराबर हैं?

$l, m, n$ एक $G$.$P$. के $p^{th}, q^{th}$ और $r^{th}$ पद हैं,जो सभी धनात्मक हैं,तो $\left| \begin{array}{ccc} \log l & p & 1 \\ \log m & q & 1 \\ \log n & r & 1 \end{array} \right|$ का मान क्या होगा?

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यदि निम्नलिखित तीन रैखिक समीकरणों का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है,तो$x+4ay+az=0$$x+3by+bz=0$$x+2cy+cz=0$

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