2n वस्तुओं में से n वस्तुओं के चयन के तरीकों | vedclass

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Question

(A) हमें $2n$ वस्तुओं में से $n$ वस्तुओं का चयन करना है,जहाँ $n$ वस्तुएं समान हैं और $n$ वस्तुएं भिन्न हैं।मान लीजिए $k$ चुनी गई भिन्न वस्तुओं की संख्

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$2^{n}$

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(A) हमें $2n$ वस्तुओं में से $n$ वस्तुओं का चयन करना है,जहाँ $n$ वस्तुएं समान हैं और $n$ वस्तुएं भिन्न हैं।मान लीजिए $k$ चुनी गई भिन्न वस्तुओं की संख्या है,जहाँ $0 \le k \le n$ है।तब शेष $(n-k)$ वस्तुओं का चयन $n$ समान वस्तुओं में से किया जाना चाहिए।चूंकि $n$ वस्तुएं समान हैं,इसलिए उन्हें चुनने का केवल $1$ तरीका है।अतः,$k=0$ से $n$ तक,भिन्न वस्तुओं को चुनने के तरीके $\binom{n}{k}$ हैं।कुल तरीकों का योग: $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = 2^{n}$.

$2n$ वस्तुओं में से $n$ वस्तुओं के चयन के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए,जिनमें से $n$ वस्तुएं समान हैं और शेष अलग हैं:

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$^nC_r + 2^nC_{r-1} + ^nC_{r-2} = $

यदि ${ }^{12} C_{2 k-1}={ }^{12} C_{k+1}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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