यदि b_{1} b_{2} = 2(c_{1} + c_{2}) और b_{1}, | vedclass

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Question

(A) दो द्विघात समीकरणों पर विचार करें:$x^{2} + b_{1}x + c_{1} = 0$ और $x^{2} + b_{2}x + c_{2} = 0$.माना $D_{1}$ और $D_{2}$ क्रमशः इन समीकरणों के विविक

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वास्तविक मूल हैं

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(A) दो द्विघात समीकरणों पर विचार करें:$x^{2} + b_{1}x + c_{1} = 0$ और $x^{2} + b_{2}x + c_{2} = 0$.माना $D_{1}$ और $D_{2}$ क्रमशः इन समीकरणों के विविक्तकर (discriminants) हैं।$D_{1} = b_{1}^{2} - 4c_{1}$$D_{2} = b_{2}^{2} - 4c_{2}$दोनों विविक्तकरों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:$D_{1} + D_{2} = b_{1}^{2} + b_{2}^{2} - 4(c_{1} + c_{2})$यह दिया गया है कि $b_{1}b_{2} = 2(c_{1} + c_{2})$,इसलिए $4(c_{1} + c_{2}) = 2b_{1}b_{2}$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:$D_{1} + D_{2} = b_{1}^{2} + b_{2}^{2} - 2b_{1}b_{2}$$D_{1} + D_{2} = (b_{1} - b_{2})^{2}$चूँकि सभी वास्तविक $b_{1}, b_{2}$ के लिए $(b_{1} - b_{2})^{2} \geq 0$ है,इसलिए $D_{1} + D_{2} \geq 0$ होता है।यदि दो वास्तविक संख्याओं का योग अऋणात्मक है,तो उनमें से कम से कम एक संख्या अऋणात्मक होनी चाहिए।अतः,$D_{1}$ या $D_{2}$ में से कम से कम एक $\geq 0$ है,जिसका अर्थ है कि कम से कम एक समीकरण के मूल वास्तविक हैं।

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