मान लीजिए f:[a, b] rightarrow R इस प्रकार है | vedclass

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Question

(A) एक फलन $g(x) = e^{-x} f(x)$ को परिभाषित करें।
चूंकि $f(x)$,$[a, b]$ पर सतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है,इसलिए $g(x)$ भी $[a, b]$ पर सतत और $(a, b

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$(a, b)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime}(c)=f(c)$

Vedclass · Answer

(A) एक फलन $g(x) = e^{-x} f(x)$ को परिभाषित करें।
चूंकि $f(x)$,$[a, b]$ पर सतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है,इसलिए $g(x)$ भी $[a, b]$ पर सतत और $(a, b)$ पर अवकलनीय है।
दिया गया है कि $f(a)=0$ और $f(b)=0$,इसलिए $g(a) = e^{-a} f(a) = 0$ और $g(b) = e^{-b} f(b) = 0$ है।
रोल के प्रमेय (Rolle's Theorem) के अनुसार,$(a, b)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा मौजूद है कि $g^{\prime}(c) = 0$ हो।
अब,$g^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} (e^{-x} f(x)) = e^{-x} f^{\prime}(x) - e^{-x} f(x) = e^{-x} (f^{\prime}(x) - f(x))$ है।
$g^{\prime}(c) = 0$ रखने पर,हमें $e^{-c} (f^{\prime}(c) - f(c)) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि किसी भी $c$ के लिए $e^{-c} 
eq 0$ है,इसलिए $f^{\prime}(c) - f(c) = 0$ या $f^{\prime}(c) = f(c)$ सिद्ध होता है।

मान लीजिए $f:[a, b] \rightarrow R$ इस प्रकार है कि $f$,$(a, b)$ में अवकलनीय है,$x=a$ और $x=b$ पर सतत है,और $f(a)=0=f(b)$ है। तो:

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मान लीजिए कि $f(x)$,$[1, 6]$ पर अवकलनीय है और $f(1) = -2$ है। यदि $f(x)$ का $(1, 6)$ में केवल एक मूल (root) है,तो ऐसा $c \in (1, 6)$ मौजूद है कि:

अंतराल $[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$ में फलन $f(x) = \log(\sin x)$ के लिए लैग्रेंज के मध्यमान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार $c$ का मान क्या होगा?

फलन $f(x) = e^{\cos x}$ के लिए,रोले का प्रमेय

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