$20$ क्रमिक प्राकृतिक संख्याओं के संग्रह से,चार को इस प्रकार चुना जाता है कि वे क्रमिक न हों। ऐसी चयन की संख्या है

एक व्यक्ति के $7$ रिश्तेदार हैं,जिनमें से $4$ महिलाएँ और $3$ पुरुष हैं; उसकी पत्नी के $7$ अन्य रिश्तेदार हैं,जिनमें से $3$ महिलाएँ और $4$ पुरुष हैं। वे $3$ महिलाओं और $3$ पुरुषों को पार्टी में इस प्रकार आमंत्रित कर सकते हैं कि $3$ व्यक्ति के रिश्तेदार और $3$ पत्नी के रिश्तेदार हों,तो इसके कुल कितने तरीके हैं?

यदि सात अंकों की ऐसी संख्याओं की संख्या,जिनके अंकों का योग सम है,$m \cdot n \cdot 10^{n}$ है; $m, n \in \{1, 2, 3, \ldots, 9\}$,तो $m+n$ का मान . . . . . . है।

एक प्रवेश परीक्षा में $15$ बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न में $4$ विकल्प हैं। प्रत्येक प्रश्न के लिए,एक या एक से अधिक उत्तर सही हो सकते हैं। यदि कोई छात्र सभी $15$ प्रश्नों का प्रयास करता है और यादृच्छिक रूप से उत्तरों को चिह्नित करता है,तो वह छात्र कितने अलग-अलग तरीकों से प्रश्न पत्र का उत्तर दे सकता है?

यदि $\frac{1}{8!} + \frac{1}{9!} = \frac{x}{10!}$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

समूह $A$ में $4$ पुरुष और $5$ महिलाएँ हैं,और समूह $B$ में $5$ पुरुष और $4$ महिलाएँ हैं। यदि प्रत्येक समूह से $4$ व्यक्तियों का चयन किया जाता है,तो $4$ पुरुषों और $4$ महिलाओं के चयन के तरीकों की संख्या क्या है?