फलन y = log_{a}(x + sqrt{x^{2} + 1}) पर विचार | vedclass

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Question

(C) दिया गया है,$y = \log_{a}(x + \sqrt{x^{2} + 1})$,$a > 0, a 
eq 1$. दोनों पक्षों का घातांकीय रूप लेने पर,$a^{y} = x + \sqrt{x^{2} + 1}$. अब,$a^{-y

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है $x = \sinh(y \log a)$

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(C) दिया गया है,$y = \log_{a}(x + \sqrt{x^{2} + 1})$,$a > 0, a 
eq 1$. दोनों पक्षों का घातांकीय रूप लेने पर,$a^{y} = x + \sqrt{x^{2} + 1}$. अब,$a^{-y} = \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}$ पर विचार करें। हर का परिमेयकरण करने पर,$a^{-y} = \sqrt{x^{2} + 1} - x$. दोनों समीकरणों को घटाने पर: $a^{y} - a^{-y} = (x + \sqrt{x^{2} + 1}) - (\sqrt{x^{2} + 1} - x) = 2x$. अतः,$x = \frac{a^{y} - a^{-y}}{2}$. चूँकि $a^{y} = e^{y \ln a}$,इसलिए $x = \frac{e^{y \ln a} - e^{-y \ln a}}{2}$. परिभाषा $\sinh(u) = \frac{e^{u} - e^{-u}}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $x = \sinh(y \ln a)$ प्राप्त होता है। अतः,प्रतिलोम फलन $f^{-1}(y) = \sinh(y \log a)$ है।

फलन $y = \log_{a}(x + \sqrt{x^{2} + 1})$ पर विचार करें,जहाँ $a > 0$ और $a \neq 1$ है। इस फलन का प्रतिलोम (inverse):

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मान लीजिए कि $f: X \rightarrow Y$ एक व्युत्क्रमणीय फलन है। दर्शाइए कि $f^{-1}$ का व्युत्क्रम $f$ है,अर्थात $\left(f^{-1}\right)^{-1}=f$ है।

$a$ के कितने पूर्णांक मानों के लिए फलन $f: R \to R, f(x) = 2x^3 - 3(a + 2)x^2 + 12ax - 7$ जहाँ $a \in [-4, 6]$ व्युत्क्रमणीय (invertible) है?

मान लीजिए $g$,$f$ का प्रतिलोम फलन (inverse function) है और $f'(x) = \frac{x^{10}}{1 + x^2}$ है। यदि $g(2) = a$ है,तो $g'(2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

$f: R \rightarrow R$,$f(x) = 4x + 3$ परिभाषित है,तो $f^{-1}(x) =$ . . . . . . .

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