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Question

(C) दिया गया सीमा मान: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \sec ^{2} \left( \frac{r \pi}{4 n} \right)$.निश्चित समाकलन की परिभाषा

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$\frac{4}{\pi}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया सीमा मान: $\lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \sec ^{2} \left( \frac{r \pi}{4 n} ight)$.निश्चित समाकलन की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f \left( \frac{r}{n} ight) = \int_{0}^{1} f(x) dx$.यहाँ,$f(x) = \sec ^{2} \left( \frac{\pi x}{4} ight)$.अतः,समाकलन $\int_{0}^{1} \sec ^{2} \left( \frac{\pi x}{4} ight) dx$ हो जाता है।$\sec ^{2} \left( \frac{\pi x}{4} ight)$ का समाकलन करने पर,हमें $\frac{4}{\pi} 	an \left( \frac{\pi x}{4} ight)$ प्राप्त होता है।$0$ से $1$ की सीमा में निश्चित समाकलन का मान: $\left[ \frac{4}{\pi} 	an \left( \frac{\pi x}{4} ight) ight]_{0}^{1} = \frac{4}{\pi} \left( 	an \frac{\pi}{4} - 	an 0 ight)$.चूंकि $	an \frac{\pi}{4} = 1$ और $	an 0 = 0$,इसलिए मान $\frac{4}{\pi} (1 - 0) = \frac{4}{\pi}$ है।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left\{ \sec ^{2} \frac{\pi}{4 n} + \sec ^{2} \frac{2 \pi}{4 n} + \ldots + \sec ^{2} \frac{n \pi}{4 n} \right\}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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