मान लीजिए I = int_{0}^{1} frac{x^{3} cos 3x}{ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $I = \int_{0}^{1} \frac{x^{3} \cos 3x}{2+x^{2}} dx$. चूंकि $-1 \leq \cos 3x \leq 1$,इसलिए $-x^{3} \leq x^{3} \cos 3x \leq x^{3}$ है। $

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$-\frac{1}{2} < I < \frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $I = \int_{0}^{1} \frac{x^{3} \cos 3x}{2+x^{2}} dx$. चूंकि $-1 \leq \cos 3x \leq 1$,इसलिए $-x^{3} \leq x^{3} \cos 3x \leq x^{3}$ है। $2+x^{2} > 0$ से भाग देने पर,$\frac{-x^{3}}{2+x^{2}} \leq \frac{x^{3} \cos 3x}{2+x^{2}} \leq \frac{x^{3}}{2+x^{2}}$ प्राप्त होता है। $x \in [0, 1]$ के लिए $2+x^{2} > x^{2}$ है,इसलिए $\frac{x^{3}}{2+x^{2}} अतः,$-\int_{0}^{1} x dx समाकलन करने पर,$-\left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{1} जिससे $-\frac{1}{2} < I < \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

मान लीजिए $I = \int_{0}^{1} \frac{x^{3} \cos 3x}{2+x^{2}} dx$. तो

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$\int_{e^2}^{e^4} \frac{1}{x} \left( \frac{e^{((\ln x)^2+1)^{-1}}}{e^{((\ln x)^2+1)^{-1}} + e^{((6-\ln x)^2+1)^{-1}}} \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $f$ इस प्रकार है कि प्रत्येक वास्तविक $x$ के लिए $f(-x) = -f(x)$ और $\int_{0}^{1} f(x) dx = 5$,तो $\int_{-1}^{0} f(t) dt = $

$\int_{-1}^3 \left(\tan^{-1}\left(\frac{x}{x^2+1}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{x^2+1}{x}\right)\right) dx =$

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