वह न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक $n$ ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{\pi}{4} & \sin \frac{\pi}{4} \\ -\sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4}\end{array}\right)^{n}$ कोटि $2$ का एक तत्समक आव्यूह (identity matrix) है।

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & \alpha \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} \beta & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ है। मान लीजिए $\alpha_{1}$,$\alpha$ का वह मान है जो $(A + B)^{2} = A^{2} + \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$ को संतुष्ट करता है और $\alpha_{2}$,$\alpha$ का वह मान है जो $(A + B)^{2} = B^{2}$ को संतुष्ट करता है। तो $|\alpha_{1} - \alpha_{2}|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $a, b, c$ शून्येतर सम्मिश्र संख्याएँ हैं जो $a^2 + b^2 + c^2 = 0$ को संतुष्ट करती हैं और $\left| \begin{array}{ccc} b^2 + c^2 & ab & ac \\ ab & c^2 + a^2 & bc \\ ac & bc & a^2 + b^2 \end{array} \right| = k a^2 b^2 c^2$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 4 & -2 & 8 \\ 3 & 8 & -7 \end{pmatrix}$ और $\det(A - \alpha I) = 0$,जहाँ $\alpha$ एक वास्तविक संख्या है। यदि $\alpha$ का अधिकतम संभव मान $p$ है,तो वृत्त $(x - p)^2 + (y - 2p)^2 = 320$ निर्देशांक अक्षों को कितने बिंदुओं पर काटता है ($\text{बिंदु}$ में)?

मान लीजिए $\left| \begin{array}{ccc} (a-x)^2 & (a-y)^2 & (a-z)^2 \\ (b-x)^2 & (b-y)^2 & (b-z)^2 \\ (c-x)^2 & (c-y)^2 & (c-z)^2 \end{array} \right| = \frac{-351}{8}$. यदि $x, y, z$ समीकरण $8t^3 - 62t^2 + 43t - 7 = 0$ के मूल हैं और $a, b, c$ भिन्न संख्याएँ हैं,तो $|(a-b)(b-c)(c-a)|$ का मान ज्ञात कीजिए।

किसी भी $3 \times 3$ आव्यूह $M$ के लिए,$| M |$,$M$ का सारणिक दर्शाता है। मान लीजिए $E=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 8 & 13 & 18 \end{bmatrix}$,$P=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ और $F=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 8 & 18 & 13 \\ 2 & 4 & 3 \end{bmatrix}$ है। यदि $Q$ कोटि $3 \times 3$ का एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A)$ $F = PEP$ और $P^2 = I$
$(B)$ $| EQ + PFQ^{-1} | = | EQ | + | PFQ^{-1} |$
$(C)$ $|(EF)^3| > |EF|^2$
$(D)$ $P^{-1}EP + F$ के विकर्ण अवयवों का योग $E + P^{-1}FP$ के विकर्ण अवयवों के योग के बराबर है।