माना I = int_{0}^{100 pi} sqrt{1 - cos 2x} , | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $I = \int_{0}^{100 \pi} \sqrt{1 - \cos 2x} \, dx$.सर्वसमिका $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int

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$I = 200 \sqrt{2}$

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(B) दिया गया है $I = \int_{0}^{100 \pi} \sqrt{1 - \cos 2x} \, dx$.सर्वसमिका $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int_{0}^{100 \pi} \sqrt{2 \sin^2 x} \, dx$.$I = \sqrt{2} \int_{0}^{100 \pi} |\sin x| \, dx$.चूंकि $|\sin x|$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $\pi$ है,हम लिख सकते हैं $I = \sqrt{2} 	imes 100 \int_{0}^{\pi} |\sin x| \, dx$.अंतराल $[0, \pi]$ में,$\sin x \geq 0$,इसलिए $|\sin x| = \sin x$.$I = 100 \sqrt{2} \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$.$I = 100 \sqrt{2} [-\cos x]_{0}^{\pi}$.$I = 100 \sqrt{2} [-\cos \pi - (-\cos 0)]$.$I = 100 \sqrt{2} [-(-1) - (-1)]$.$I = 100 \sqrt{2} [1 + 1] = 100 \sqrt{2} 	imes 2 = 200 \sqrt{2}$.

माना $I = \int_{0}^{100 \pi} \sqrt{1 - \cos 2x} \, dx$,तो

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यदि $a > 0$ है,तो $\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{1+a^x} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

कथन $(A): \int_{-a}^a f(x) dx = \int_0^a (f(x) + f(-x)) dx$
कारण $(R): \int_a^b f(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(g(u)) g'(u) du$
निम्नलिखित में से सही विकल्प चुनें:

$\int_0^{\pi /2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$n > 0$ के लिए,$\int_0^{2\pi } {\frac{{x{{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}\,dx = } $

निश्चित समाकल $\int_{-3}^{1} (2(t+1)^5 - 5(t+1)^3 + t + 3) dt$ का मान ज्ञात कीजिए।

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