$B$ एक दीर्घवृत्त के लघु अक्ष का एक सिरा है जिसके नाभियाँ $S$ और $S^{\prime}$ हैं। यदि $\angle SBS^{\prime}$ एक समकोण है,तो दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता ज्ञात कीजिए।

दीर्घवृत्त $x^2+16y^2=16$ के स्पर्शरेखा का समीकरण क्या है जो $X$-अक्ष के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाती है?

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{81} = 1$ के किसी भी स्पर्शरेखा और निर्देशांक अक्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज का न्यूनतम क्षेत्रफल क्या है?

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ पर स्थित बिंदुओं $A(\alpha)$ और $B(\beta)$ को मिलाने वाली रेखा एक नाभिलंब जीवा (focal chord) है,तो $\cot \frac{\alpha}{2} \cdot \cot \frac{\beta}{2}$ का एक संभावित मान क्या है?

माना एक दीर्घवृत्त $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a^{2}>b^{2}$,बिंदु $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, 1\right)$ से होकर गुजरता है और इसकी उत्केंद्रता $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है। यदि $E$ की नाभि $F(\alpha, 0), \alpha > 0$ पर केंद्रित और $\frac{2}{\sqrt{3}}$ त्रिज्या वाला एक वृत्त,$E$ को दो बिंदुओं $P$ और $Q$ पर काटता है,तो $PQ^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $4x+y+p=0$ $(p>0)$ दीर्घवृत्त $x^2+3y^2=3$ की स्पर्शरेखा है और $16x+qy+14=0$ $(q>0)$ दीर्घवृत्त $x^2+8y^2=33$ का अभिलंब है,तो $p+q=$