प्रथम कोटि के अवकल समीकरण $x^{2}(x^{2}-1) \frac{dy}{dx} + x(x^{2}+1)y = x^{2}-1$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f: [1, \infty) \to \mathbb{R}$ एक अवकलनीय फलन है जिसे $f(x) = \int_1^x f(t) \, dt + (1 - x)(\log_e x - 1) + e$ के रूप में परिभाषित किया गया है। तो $f(f(1))$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ का हल है जो $y(1) = 1$ को संतुष्ट करता है,तो $y\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $x \, dy = y(dx + y \, dy)$,$y(1) = 1$,$y(x) > 0$ है,तो $y(-3)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(xy-5x^2\sqrt{1+x^2})dx+(1+x^2)dy=0$ का हल है,जहाँ $y(0)=0$ है। तो $y(\sqrt{3})$ का मान ज्ञात कीजिए।

किन्हीं वास्तविक संख्याओं $\alpha$ और $\beta$ के लिए,मान लीजिए $y_{\alpha, \beta}(x), x \in R$,अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+\alpha y=x e^{\beta x}, y(1)=1$ का हल है। मान लीजिए $S=\{y_{\alpha, \beta}(x): \alpha, \beta \in R\}$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से फलन समुच्चय $S$ से संबंधित है/हैं?