माना कि $(1+x+x^2)^9=a_0+a_1 x+a_2 x^2 +\ldots+a_{18} x^{18}$. तो

अंतराल $[1005, 2010]$ में उन प्राकृतिक संख्याओं $n$ की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए बहुपद $1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{n-1}$,बहुपद $1+x^2+x^4+x^6+\ldots+x^{2010}$ को विभाजित करता है।

मान लीजिए कि $\lambda$ समीकरण $x^2-x-1=0$ का धनात्मक मूल है,और $n \in N$ के लिए $a_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\lambda^n - (1-\lambda)^n\right)$ निर्धारित करें,जहाँ $N$ सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। समुच्चय $A = \{ n \in N : a_n \text{ एक परिमेय संख्या है, लेकिन पूर्णांक नहीं} \}$ और $B = \{ n \in N : a_n \text{ एक अपरिमेय संख्या है} \}$ पर विचार करें। तो:

मान लीजिए $C_{r}$,$(1+x)^{n}$,$n \in N$,$0 \leq r \leq n$ के द्विपद विस्तार में $x^{r}$ का गुणांक है। यदि $P_{n} = C_{0} - C_{1} + \frac{2^{2}}{3}C_{2} - \frac{2^{3}}{4}C_{3} + \dots + \frac{(-2)^{n}}{n+1}C_{n}$ है,तो $\sum_{n=1}^{25} \frac{1}{P_{2n}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $(1+x+x^2)^{2014} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots + a_{4028} x^{4028}$. मान लीजिए $A = a_0 - a_3 + a_6 - \ldots + a_{4026}$,$B = a_1 - a_4 + a_7 - \ldots - a_{4027}$,और $C = a_2 - a_5 + a_8 - \ldots + a_{4028}$. तो,

यदि $\left(1+\frac{1}{x}\right)^6\left(1+x^2\right)^7\left(1-x^3\right)^8 ; x \neq 0$ के विस्तार में $x^{30}$ का गुणांक $\alpha$ है,तो $|\alpha|$ का मान ज्ञात कीजिए।