मान लीजिए a, b, c, p, q और r धनात्मक वास्तविक | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $a^{p} = b^{q} = c^{r} = k$ है। चूँकि $a, b, c$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,हम $a = k^{1/p}$,$b = k^{1/q}$,और $c = k^{1/r}$ लिख सकते ह

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$p, q, r$ $H.P.$ में हैं।

Vedclass · Answer

(C) मान लीजिए $a^{p} = b^{q} = c^{r} = k$ है। चूँकि $a, b, c$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,हम $a = k^{1/p}$,$b = k^{1/q}$,और $c = k^{1/r}$ लिख सकते हैं। दिया गया है कि $a, b, c$ $GP$ में हैं,इसलिए $\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$ है। $a, b, c$ के मान रखने पर,हमें $\frac{k^{1/q}}{k^{1/p}} = \frac{k^{1/r}}{k^{1/q}}$ प्राप्त होता है। इसका अर्थ है $k^{(1/q - 1/p)} = k^{(1/r - 1/q)}$। घातांकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{1}{q} - \frac{1}{p} = \frac{1}{r} - \frac{1}{q}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{2}{q} = \frac{1}{p} + \frac{1}{r}$ हो जाता है। यह दर्शाता है कि $\frac{1}{p}, \frac{1}{q}, \frac{1}{r}$ $A.P.$ में हैं। अतः,$p, q, r$ $H.P.$ में हैं।

मान लीजिए $a, b, c, p, q$ और $r$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,इस प्रकार कि $a, b$ और $c$ $GP$ में हैं और $a^{p} = b^{q} = c^{r}$ है। तब,

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