यदि (alpha+sqrt{beta}) और (alpha-sqrt{beta}) | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $(\alpha+\sqrt{\beta})$ और $(\alpha-\sqrt{\beta})$ समीकरण $x^{2}+px+q=0$ के मूल हैं।मूलों का योग: $(\alpha+\sqrt{\beta}) + (\alpha-

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$(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\sqrt{\beta}})$ और $(\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\sqrt{\beta}})$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $(\alpha+\sqrt{\beta})$ और $(\alpha-\sqrt{\beta})$ समीकरण $x^{2}+px+q=0$ के मूल हैं।मूलों का योग: $(\alpha+\sqrt{\beta}) + (\alpha-\sqrt{\beta}) = -p \Rightarrow 2\alpha = -p \Rightarrow \alpha = -\frac{p}{2}$.मूलों का गुणनफल: $(\alpha+\sqrt{\beta})(\alpha-\sqrt{\beta}) = q \Rightarrow \alpha^{2}-\beta = q \Rightarrow \beta = \alpha^{2}-q = \frac{p^{2}}{4}-q$.अतः,$p^{2}-4q = 4\beta$.समीकरण $(p^{2}-4q)(p^{2}x^{2}+4px)-16q=0$ में मान रखने पर:$4\beta(p^{2}x^{2}+4px) - 16q = 0$.चूंकि $p = -2\alpha$,इसलिए $p^{2} = 4\alpha^{2}$ और $q = \alpha^{2}-\beta$:$4\beta(4\alpha^{2}x^{2}-8\alpha x) - 16(\alpha^{2}-\beta) = 0$.$4$ से भाग देने पर:$\beta(\alpha^{2}x^{2}-2\alpha x) - (\alpha^{2}-\beta) = 0$.$\alpha^{2}\beta x^{2} - 2\alpha\beta x + \beta = \alpha^{2} \Rightarrow \beta(\alpha x - 1)^{2} = \alpha^{2}$.$(\alpha x - 1)^{2} = \frac{\alpha^{2}}{\beta} \Rightarrow \alpha x - 1 = \pm \frac{\alpha}{\sqrt{\beta}}$.$\alpha x = 1 \pm \frac{\alpha}{\sqrt{\beta}} \Rightarrow x = \frac{1}{\alpha} \pm \frac{1}{\sqrt{\beta}}$.

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