मान लीजिए कि P और Q परवलय y^{2}=4x पर स्थित ब | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए परवलय $y^{2}=4x$ पर बिंदुओं $P$ और $Q$ के निर्देशांक क्रमशः $(t^{2}, 2t)$ और $(m^{2}, 2m)$ हैं। परवलय का शीर्ष $X(0, 0)$ है।चूंकि $PQ$ श

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$4$

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(C) मान लीजिए परवलय $y^{2}=4x$ पर बिंदुओं $P$ और $Q$ के निर्देशांक क्रमशः $(t^{2}, 2t)$ और $(m^{2}, 2m)$ हैं। परवलय का शीर्ष $X(0, 0)$ है।चूंकि $PQ$ शीर्ष $X$ पर समकोण बनाता है,इसलिए $XP$ और $XQ$ की प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल $-1$ है।$XP$ की प्रवणता $= \frac{2t-0}{t^{2}-0} = \frac{2}{t}$.$XQ$ की प्रवणता $= \frac{2m-0}{m^{2}-0} = \frac{2}{m}$.दिया है,$(\frac{2}{t}) 	imes (\frac{2}{m}) = -1 \Rightarrow tm = -4$.$(t^{2}, 2t)$ और $(m^{2}, 2m)$ से गुजरने वाली रेखा $PQ$ का समीकरण है:$y - 2t = \frac{2m-2t}{m^{2}-t^{2}}(x - t^{2})$$y - 2t = \frac{2(m-t)}{(m-t)(m+t)}(x - t^{2})$$y - 2t = \frac{2}{m+t}(x - t^{2})$.चूंकि $PQ$ परवलय के अक्ष ($x$-अक्ष) को $R(\alpha, 0)$ पर काटता है,इसलिए $y=0$ और $x=\alpha$ रखने पर:$0 - 2t = \frac{2}{m+t}(\alpha - t^{2})$$-t(m+t) = \alpha - t^{2}$$-tm - t^{2} = \alpha - t^{2}$$\alpha = -tm$.चूंकि $tm = -4$,इसलिए $\alpha = -(-4) = 4$.अतः,शीर्ष $X(0, 0)$ से $R(4, 0)$ की दूरी $4$ है।

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