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Question

(C) बिंदु $(2,0)$,$(0,3)$,और $(0,0)$ मूल बिंदु $(0,0)$ पर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं क्योंकि $x$-अक्ष और $y$-अक्ष के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।चूंकि

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$k = 1$

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(C) बिंदु $(2,0)$,$(0,3)$,और $(0,0)$ मूल बिंदु $(0,0)$ पर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं क्योंकि $x$-अक्ष और $y$-अक्ष के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।चूंकि $(2,0)$ और $(0,3)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड द्वारा $(0,0)$ पर अंतरित कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए यह रेखाखंड वृत्त का व्यास है।व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।$(2,0)$ और $(0,3)$ बिंदुओं को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$(x-2)(x-0) + (y-0)(y-3) = 0$$x^2 - 2x + y^2 - 3y = 0$$x^2 + y^2 - 2x - 3y = 0$चूंकि बिंदु $(2k, 3k)$ इस वृत्त पर स्थित है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:$(2k)^2 + (3k)^2 - 2(2k) - 3(3k) = 0$$4k^2 + 9k^2 - 4k - 9k = 0$$13k^2 - 13k = 0$$13k(k - 1) = 0$इससे $k = 0$ या $k = 1$ प्राप्त होता है।यदि $k = 0$ है,तो बिंदु $(2k, 3k)$ का मान $(0,0)$ हो जाएगा,जो दिए गए बिंदु $(0,0)$ से भिन्न नहीं है।अतः,चारों बिंदुओं के भिन्न होने के लिए $k = 1$ होना चाहिए।

यदि चार भिन्न बिंदु $(2k, 3k)$,$(2,0)$,$(0,3)$,और $(0,0)$ एक वृत्त पर स्थित हैं,तो:

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यदि बिंदुओं $(3,4)$,$(3,2)$ और $(1,4)$ से गुजरने वाले वृत्त के प्राचलिक समीकरण $x=a+r \cos \theta$ और $y=b+r \sin \theta$ हैं,तो $b^{a} r^{a}$ का मान ज्ञात कीजिए।

वृत्त $2x^2 + 2y^2 = 3x - 5y + 7$ की त्रिज्या और केंद्र ज्ञात कीजिए।

समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ द्वारा निरूपित वृत्त एक बिंदु वृत्त होगा,यदि

$x^2 - 8x + 12 = 0$ और $y^2 - 14y + 45 = 0$ रेखाओं द्वारा निर्मित वर्ग में अंतर्निहित वृत्त का केंद्र क्या है?

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