lim _{n rightarrow infty} frac{(n !)^{1 / n}} | vedclass

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Question

(D) माना $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n !)^{1 / n}}{n} = \lim _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{n!}{n^n} \right)^{1/n}$.दोनों पक्षों का

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$\frac{1}{e}$

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(D) माना $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n !)^{1 / n}}{n} = \lim _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{n!}{n^n} \right)^{1/n}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\ln L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \ln \left( \frac{n!}{n^n} \right) = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \ln \left( \frac{r}{n} \right)$.यह समाकलन $\int_{0}^{1} \ln(x) \, dx$ के लिए एक रीमान योग है।$\ln L = \int_{0}^{1} \ln(x) \, dx = [x \ln x - x]_{0}^{1}$.$x \rightarrow 0^+$ पर सीमा का मूल्यांकन करने पर,हमें $\lim_{x \rightarrow 0^+} x \ln x = 0$ प्राप्त होता है।अतः,$\ln L = (1 \ln 1 - 1) - (0) = -1$.इसलिए,$L = e^{-1} = \frac{1}{e}$.

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n !)^{1 / n}}{n}$ का मान है

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