MathematicsQ51–53 of 80 questions
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MathematicsEasyMCQWBJEE · 2012
एक कलश में $8$ लाल और $5$ सफेद गेंदें हैं। यादृच्छिक रूप से तीन गेंदें निकाली जाती हैं। तो,दोनों रंगों की गेंदें निकलने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{40}{143}$
B
$\frac{70}{143}$
C
$\frac{3}{13}$
D
$\frac{10}{13}$
Solution
(D) $13$ गेंदों में से $3$ गेंदें चुनने के कुल तरीके ${}^{13}C_{3} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286$ हैं।
दोनों रंगों की गेंदें निकलने की घटना का अर्थ है कि हम या तो ($2$ लाल और $1$ सफेद) या ($1$ लाल और $2$ सफेद) गेंदें चुनते हैं।
$2$ लाल और $1$ सफेद गेंद चुनने के तरीके $= {}^{8}C_{2} \times {}^{5}C_{1} = 28 \times 5 = 140$।
$1$ लाल और $2$ सफेद गेंद चुनने के तरीके $= {}^{8}C_{1} \times {}^{5}C_{2} = 8 \times 10 = 80$।
कुल अनुकूल परिणाम $= 140 + 80 = 220$।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{220}{286} = \frac{10}{13}$।
दोनों रंगों की गेंदें निकलने की घटना का अर्थ है कि हम या तो ($2$ लाल और $1$ सफेद) या ($1$ लाल और $2$ सफेद) गेंदें चुनते हैं।
$2$ लाल और $1$ सफेद गेंद चुनने के तरीके $= {}^{8}C_{2} \times {}^{5}C_{1} = 28 \times 5 = 140$।
$1$ लाल और $2$ सफेद गेंद चुनने के तरीके $= {}^{8}C_{1} \times {}^{5}C_{2} = 8 \times 10 = 80$।
कुल अनुकूल परिणाम $= 140 + 80 = 220$।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{220}{286} = \frac{10}{13}$।
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जब $1! + 2! + 95!$ को $15$ से विभाजित किया जाता है,तो प्राप्त शेषफल क्या है?
A
$14$
B
$3$
C
$1$
D
$0$
Solution
(B) हमें $(1! + 2! + 95!) \pmod{15}$ का शेषफल ज्ञात करना है।
सबसे पहले,फैक्टोरियल की गणना करें:
$1! = 1$
$2! = 2$
$3! = 6$
$4! = 24$
$5! = 120$
चूंकि $5! = 120$ और $120 = 15 \times 8$,इसलिए $5!$ का $15$ से पूर्णतः विभाज्य है।
परिणामस्वरूप,$n \geq 5$ के लिए सभी फैक्टोरियल $n!$ का $15$ से विभाज्य हैं।
अतः,$95! \equiv 0 \pmod{15}$।
व्यंजक $1! + 2! + 95! \equiv 1 + 2 + 0 \pmod{15} = 3 \pmod{15}$ हो जाता है।
इसलिए,शेषफल $3$ है।
सबसे पहले,फैक्टोरियल की गणना करें:
$1! = 1$
$2! = 2$
$3! = 6$
$4! = 24$
$5! = 120$
चूंकि $5! = 120$ और $120 = 15 \times 8$,इसलिए $5!$ का $15$ से पूर्णतः विभाज्य है।
परिणामस्वरूप,$n \geq 5$ के लिए सभी फैक्टोरियल $n!$ का $15$ से विभाज्य हैं।
अतः,$95! \equiv 0 \pmod{15}$।
व्यंजक $1! + 2! + 95! \equiv 1 + 2 + 0 \pmod{15} = 3 \pmod{15}$ हो जाता है।
इसलिए,शेषफल $3$ है।
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मान लीजिए $f(x)=ax^{2}+bx+c$ और $g(x)=px^{2}+qx+r$ इस प्रकार हैं कि $f(1)=g(1)$,$f(2)=g(2)$ और $f(3)-g(3)=2$ है। तो,$f(4)-g(4)$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$4$
B
$5$
C
$6$
D
$7$
Solution
(C) मान लीजिए $h(x) = f(x) - g(x) = (a-p)x^2 + (b-q)x + (c-r)\text{।}$
चूंकि $f(1) = g(1)$,इसलिए $h(1) = 0$ है।
चूंकि $f(2) = g(2)$,इसलिए $h(2) = 0$ है।
चूंकि $h(x)$ एक द्विघात बहुपद है जिसके मूल $1$ और $2$ हैं,हम इसे $h(x) = k(x-1)(x-2)$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
हमें $f(3) - g(3) = 2$ दिया गया है,जिसका अर्थ है कि $h(3) = 2$ है।
$h(x) = k(x-1)(x-2)$ में $x=3$ रखने पर,हमें $h(3) = k(3-1)(3-2) = k(2)(1) = 2k$ प्राप्त होता है।
चूंकि $h(3) = 2$,इसलिए $2k = 2$ है,जिसका अर्थ है कि $k = 1$ है।
अतः,$h(x) = 1(x-1)(x-2) = (x-1)(x-2)$ है।
हमें $f(4) - g(4)$ ज्ञात करना है,जो $h(4)$ है।
$h(4) = (4-1)(4-2) = (3)(2) = 6$।
चूंकि $f(1) = g(1)$,इसलिए $h(1) = 0$ है।
चूंकि $f(2) = g(2)$,इसलिए $h(2) = 0$ है।
चूंकि $h(x)$ एक द्विघात बहुपद है जिसके मूल $1$ और $2$ हैं,हम इसे $h(x) = k(x-1)(x-2)$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
हमें $f(3) - g(3) = 2$ दिया गया है,जिसका अर्थ है कि $h(3) = 2$ है।
$h(x) = k(x-1)(x-2)$ में $x=3$ रखने पर,हमें $h(3) = k(3-1)(3-2) = k(2)(1) = 2k$ प्राप्त होता है।
चूंकि $h(3) = 2$,इसलिए $2k = 2$ है,जिसका अर्थ है कि $k = 1$ है।
अतः,$h(x) = 1(x-1)(x-2) = (x-1)(x-2)$ है।
हमें $f(4) - g(4)$ ज्ञात करना है,जो $h(4)$ है।
$h(4) = (4-1)(4-2) = (3)(2) = 6$।
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