रेखा x=2y दीर्घवृत्त frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1 क | vedclass

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Question

(D) दिए गए समीकरण $x=2y$ $(i)$ और $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ (ii) हैं।(ii) में $x=2y$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:$\frac{(2y)^{2}}{4}+y^{2}=1$$\frac{4

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$x^{2}+y^{2}=\frac{5}{2}$

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(D) दिए गए समीकरण $x=2y$ $(i)$ और $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ (ii) हैं।(ii) में $x=2y$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:$\frac{(2y)^{2}}{4}+y^{2}=1$$\frac{4y^{2}}{4}+y^{2}=1$$y^{2}+y^{2}=1$$2y^{2}=1$ $\Rightarrow y^{2}=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow y=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.$(i)$ से,$x=2y$,अतः $x=\pm 2(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \pm \sqrt{2}$.इस प्रकार,प्रतिच्छेदन बिंदु $P(\sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ और $Q(-\sqrt{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।$PQ$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ है।$(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) + (y-\frac{1}{\sqrt{2}})(y+\frac{1}{\sqrt{2}}) = 0$$(x^{2}-2) + (y^{2}-\frac{1}{2}) = 0$$x^{2}+y^{2} = 2 + \frac{1}{2}$$x^{2}+y^{2} = \frac{5}{2}$.

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यदि बिंदु $P(5,3)$ से गुजरने वाली रेखा वृत्त $x^2+y^2-2x-4y+\alpha=0$ को $A(4,2)$ और $B(x_1, y_1)$ पर मिलती है,तो $PA \cdot PB$ का मान ज्ञात कीजिए।

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