समीकरण frac{dy}{dx} + y f^{prime}(x) - f(x) f | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y f^{\prime}(x) = f(x) f^{\prime}(x)$ है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है

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$y = f(x) - 1 + ce^{-f(x)}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y f^{\prime}(x) = f(x) f^{\prime}(x)$ है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = f^{\prime}(x)$ और $Q(x) = f(x) f^{\prime}(x)$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int f^{\prime}(x) dx} = e^{f(x)}$ है।व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ द्वारा दिया जाता है।मान रखने पर,$y \cdot e^{f(x)} = \int f(x) f^{\prime}(x) e^{f(x)} dx + C$ प्राप्त होता है।माना $u = f(x)$,तो $du = f^{\prime}(x) dx	ext{।}$ समाकलन $\int u e^u du$ बन जाता है।खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int u e^u du = u e^u - e^u$ होता है।अतः,$y \cdot e^{f(x)} = f(x) e^{f(x)} - e^{f(x)} + C$ है।$e^{f(x)}$ से भाग देने पर,$y = f(x) - 1 + C e^{-f(x)}$ प्राप्त होता है।

समीकरण $\frac{dy}{dx} + y f^{\prime}(x) - f(x) f^{\prime}(x) = 0$,जहाँ $y \neq f(x)$,का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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