अंग्रेजी वर्णमाला का उपयोग करके बनने वाले $4$-अक्षर के क्रमचयों की संख्या ज्ञात कीजिए,जिसमें भिन्न स्वरों की संख्या और भिन्न व्यंजनों की संख्या समान हो,जब पुनरावृत्ति की अनुमति हो।

$\sum \limits_{r=0}^{22} {}^{22}C_{r} \cdot {}^{23}C_{r}$ का मान $.......$ है।

एक भाषाई क्लब में $6$ लड़कियाँ और $4$ लड़के हैं। इस समूह से $4$ सदस्यों की एक टीम चुनी जानी है,जिसमें टीम के लिए एक नेता का चयन (इन $4$ सदस्यों में से) भी शामिल है। यदि टीम में अधिकतम एक लड़का शामिल हो,तो टीम चुनने के तरीकों की संख्या क्या है?

मान लीजिए $S = \{0, 1, 2, 3, \ldots, 100\}$ है। $x, y \in S$ को चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि $x \neq y$ और $x + y = 100$ हो।

मान लीजिए $S$,$4$-अंकीय संख्याओं $abcd$ का समुच्चय है जहाँ $a > b > c > d$ है और $P$,$5$-अंकीय संख्याओं का समुच्चय है जिनके अंकों का गुणनफल $20$ है। तो $n(S) + n(P)$ का मान ज्ञात कीजिए:

$3$ लड़कों $B_i, i = 1, 2, 3$ और $6$ लड़कियों $G_i, i = 1, 2, . . . , 6$ को एक पंक्ति में बैठाना है। उन्हें कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है ताकि $B_1, B_2$ अलग-अलग रहें और $G_1, G_2$ भी अलग-अलग रहें?