विस्तार (1+x+x^2)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + | vedclass

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Question

(D) दिया गया विस्तार: $(1+x+x^2)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_{2n} x^{2n}$।चरण $1$: $x=1$ रखने पर:$(1+1+1)^n = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_

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$(d) A-III, B-IV, C-II$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया विस्तार: $(1+x+x^2)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_{2n} x^{2n}$।चरण $1$: $x=1$ रखने पर:$(1+1+1)^n = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n} \implies 3^n = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n} \quad (i)$चरण $2$: $x=-1$ रखने पर:$(1-1+1)^n = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + a_{2n} \implies 1 = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + a_{2n} \quad (ii)$चरण $3$: $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:$3^n + 1 = 2(a_0 + a_2 + a_4 + \ldots) \implies a_0 + a_2 + \ldots = \frac{1}{2}(3^n + 1)$। अतः,$A \rightarrow III$।चरण $4$: $(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:$3^n - 1 = 2(a_1 + a_3 + a_5 + \ldots) \implies a_1 + a_3 + \ldots = \frac{1}{2}(3^n - 1)$। अतः,$B \rightarrow IV$।चरण $5$: विस्तार का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$n(1+x+x^2)^{n-1}(1+2x) = a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + \ldots + 2n a_{2n} x^{2n-1}$।$x=1$ रखने पर:$n(3)^{n-1}(3) = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2n a_{2n} \implies n \cdot 3^n = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2n a_{2n}$। अतः,$C \rightarrow II$।अतः,सही मिलान $A-III, B-IV, C-II$ है।

सूची-$I$	सूची-$II$
$(A)$ $a_0 + a_2 + \ldots + a_{2n}$	$(I)$ $n \cdot 3^{n-1}$
$(B)$ $a_1 + a_3 + \ldots + a_{2n-1}$	$(II)$ $n \cdot 3^n$
$(C)$ $a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2n a_{2n}$	$(III)$ $\frac{1}{2}(3^n + 1)$
	$(IV)$ $\frac{1}{2}(3^n - 1)$

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