int frac{x^3+2 x}{x^4+4} d x= | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{x^3+2x}{x^4+4} dx$. समाकलन को दो भागों में विभाजित करें: $I = \int \frac{x^3}{x^4+4} dx + \int \frac{2x}{x^4+4} dx$. पहले भाग

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$\frac{1}{2}\left[	an ^{-1}\left(\frac{x^2}{2}ight)+\log \left(\frac{\sqrt{x^4+4}}{2}ight)ight]+C$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{x^3+2x}{x^4+4} dx$. समाकलन को दो भागों में विभाजित करें: $I = \int \frac{x^3}{x^4+4} dx + \int \frac{2x}{x^4+4} dx$. पहले भाग के लिए,$u = x^4+4$ लें,तो $du = 4x^3 dx$,जिससे $\int \frac{x^3}{x^4+4} dx = \frac{1}{4} \log|x^4+4| + C_1$. दूसरे भाग के लिए,$t = x^2$ लें,तो $dt = 2x dx$,जिससे $\int \frac{2x}{(x^2)^2+4} dx = \int \frac{dt}{t^2+2^2} = \frac{1}{2} 	an^{-1}(\frac{t}{2}) + C_2 = \frac{1}{2} 	an^{-1}(\frac{x^2}{2}) + C_2$. इन दोनों को जोड़ने पर,$I = \frac{1}{4} \log(x^4+4) + \frac{1}{2} 	an^{-1}(\frac{x^2}{2}) + C$. ध्यान दें कि $\frac{1}{4} \log(x^4+4) = \frac{1}{2} \log(\sqrt{x^4+4}) = \frac{1}{2} \log(\frac{\sqrt{x^4+4}}{2} 	imes 2) = \frac{1}{2} \log(\frac{\sqrt{x^4+4}}{2}) + \frac{1}{2} \log(2)$. अचर $\frac{1}{2} \log(2)$ को $C$ में समाहित करने पर,हमें $I = \frac{1}{2} \left[ 	an^{-1}(\frac{x^2}{2}) + \log(\frac{\sqrt{x^4+4}}{2}) ight] + C$ प्राप्त होता है।

$\int \frac{x^3+2 x}{x^4+4} d x=$

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यदि $\int \frac{1+\cos (4 x)}{\cot (x)-\tan (x)} d x=k \cos (4 x)+c$ है,तो

मान लीजिए $f(x) = \tan^{-1}\left(\frac{1+\cos x}{\sin x}\right)$ और $g(x) = \tan^{-1}\left(\frac{\sin x}{1-\cos x}\right)$ है। तो,$\int (f(x) + g(x)) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित समाकल ज्ञात कीजिए: $\int \frac{dx}{\sqrt{5x^{2}-2x}}$

$\int {\frac{{a{x^{ - 2}} + b{x^{ - 1}} + c}}{{{x^{ - 3}}}}} \,dx = $

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