int frac{sqrt{cos 2 x}}{sin x} d x= | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \frac{\sqrt{\cos 2x}}{\sin x} dx$.हम जानते हैं कि $\cos 2x = \frac{1-	an^2 x}{1+	an^2 x}$.अतः,$I = \int \frac{\sqrt{1-	an^2 x}}{

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$\frac{1}{\sqrt{2}} \log \left|\frac{\sqrt{2}+\sqrt{1-	an ^2 x}}{\sqrt{2}-\sqrt{1-	an ^2 x}}ight|-\frac{1}{2} \log \left|\frac{1+\sqrt{1-	an ^2 x}}{1-\sqrt{1-	an ^2 x}}ight|+c$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int \frac{\sqrt{\cos 2x}}{\sin x} dx$.हम जानते हैं कि $\cos 2x = \frac{1-	an^2 x}{1+	an^2 x}$.अतः,$I = \int \frac{\sqrt{1-	an^2 x}}{\sec x \sin x} dx = \int \frac{\sqrt{1-	an^2 x}}{	an x} dx$.माना $1-	an^2 x = t^2$,तो $-2	an x \sec^2 x dx = 2t dt$,जिसका अर्थ है कि $dx = \frac{-t dt}{	an x (1+	an^2 x)} = \frac{-t dt}{\sqrt{1-t^2}(2-t^2)}$.इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$I = \int \frac{t}{\sqrt{1-t^2}} \cdot \frac{-t dt}{\sqrt{1-t^2}(2-t^2)} = -\int \frac{t^2}{(1-t^2)(2-t^2)} dt$.आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर,$\frac{t^2}{(1-t^2)(2-t^2)} = \frac{2}{t^2-2} - \frac{1}{t^2-1}$.इस प्रकार,$I = -\int \left( \frac{2}{t^2-2} - \frac{1}{t^2-1} ight) dt = 2 \int \frac{1}{2-t^2} dt + \int \frac{1}{t^2-1} dt$.मानक समाकलन का उपयोग करने पर,$I = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left| \frac{\sqrt{2}+t}{\sqrt{2}-t} ight| + \frac{1}{2} \log \left| \frac{t-1}{t+1} ight| + c$.$t = \sqrt{1-	an^2 x}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{1}{\sqrt{2}} \log \left| \frac{\sqrt{2}+\sqrt{1-	an^2 x}}{\sqrt{2}-\sqrt{1-	an^2 x}} ight| - \frac{1}{2} \log \left| \frac{1+\sqrt{1-	an^2 x}}{1-\sqrt{1-	an^2 x}} ight| + c$.

$\int \frac{\sqrt{\cos 2 x}}{\sin x} d x=$

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यदि $f(x) = \int \left[ \tan^2 x + \cot^2 x + \frac{4(\sin^3 x + \cos^3 x)}{\sin^2 2x} \right] dx$ और $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$ है,तो $3 \left[ f\left(\frac{\pi}{6}\right) + 2 \right] = $

$\int \frac{dx}{(2\sin x + \cos x)^2} = $

$\int {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^4} + 1}}} \,dx = $

$\int \frac{dx}{2+\cos x} = $ (जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है।)

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